数列压轴题(高考)24页

1、高考数列压轴题选讲一、填空题1.已知数列中，且是递增数列，求实数的取值范围（答：）；2.首项为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围是_（答：）3.函数由下表定义：若，,则的值_x12345f (x)3452112. 1 4.将正偶数按如图所示的规律排列：2468101214161820 则第n（n4）行从左向右的第4个数为 10 5.根据下面一组等式：可得 12本题是课本中的习题考查推理与证明中归纳猜想，数学能力是观察、归纳意识方法一：猜想方法二：先求出，然后求和（对文科学生要求较高，不必介绍）6.13五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位

2、同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2010个被报出的数为 134 7. （第7题图）把数列的所有项按照从大到小，左大右小的原则写成如图所示的数表，第k行有2k1个数，第k行的第s个数（从左数起）记为(k，s)，则 可记为 8.（1）正整数按下列方法分组：记第组中各数之和为；由自然数的立方构成下列数组：记第组中后一个数与前一个数的差为则 （2）、设，将的最小值记为，则其中=_ .解析：本题主要考察了合情推理，利用归纳和类比进行简单的推理，属容易题13（10，494）（3）13（4）.观察下列等式： ， 由此得到第个等式为 .9.数列 中，前n

3、项和，则_，_（答：，）；10. 设等差数列的首项及公差均是正整数，前项和为，且，则=_ _12. 【4020】 11设等差数列的前项和为,若，则的取值范围是 ；11【解析】由题知则由不等式性质知或线性规划知识可得，令同样得.12.等差数列中，则通项（答：）；13.设数列中，则通项 _。14.已知等差数列的首项及公差d都是整数，前n项和为（）.若，则通项公式n+115.数列满足：，若数列有一个形如的通项公式，其中均为实数，且，则 .（只要写出一个通项公式即可）14解：，故周期为314数列满足,其中为常数若存在实数,使得数列为等差数列或等比数列,则数列的通项公式 14 【解析】本题是等差等比数列

4、的综合问题，可采用特殊化的方法来解决。由题意可知: 。若是等差数列，则2a2=a1+a3,得p2-p+1=0;若是等比数列，则（2p+2）2=2p(2p+2)+4,解得p=2.故an=2n.点评：对于客观题可以采用特殊化的方法，避免复杂的计算。求前项和16.设an是等比数列，公比，Sn为an的前n项和。记设为数列的最大项，则= 。【答案】4【解析】本题主要考查了等比数列的前n项和公式与通项及平均值不等式的应用，属于中等题。因为8，当且仅当=4，即n=4时取等号，所以当n0=4时Tn有最大值。【温馨提示】本题的实质是求Tn取得最大值时的n值，求解时为便于运算可以对进行换元，分子、分母都有变量的情

5、况下通常可以采用分离变量的方法求解.17.设，则等于 18.在等差数列中，若，则该数列的前2011项的和为 201119在数列中，若对任意的均有为定值（），且，则此数列的前100项的和.299解：此数列只有三个数：2；9；3循环（第10题图）结束 开始输入n n5 Tnn29n 输出Tn Y N 20.已知数列 的前n项和，求数列的前项和（答：）.类题：已知是等差数列，设某学生设计了一个求的部分算法流程图（如图），图中空白处理框中是用n的表达式对赋值，则空白处理框中应填入： 10 21.设是等差数列，求证：以bn= 为通项公式的数列为等差数列。22. 等差数列中，是其前n项和，则的值为_13；

6、23已知成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三数依次成等比数列，则的值为 142024.设等比数列的前n项和为Sn，若，则_.分析：本题要求等比数列的通项，可以先由求出，再利用求出公比q.思路正确，问题在怎样求出q？如果将的两边分别求和，得到q的方程，再解方程求出q，显然计算量大，容易出错.如果仔细观察命题，可以发现是等比数列前2n项的和，其中是前2n项中所有奇数项的和，是前2n项中所有偶数项的和，从整体考虑，可以发现在等比数列中（ ）q，利用这个关系可使结构简单，便于求解.解：由是等比数列，得，因为，所以2.由，得2（），因为（ ）q，所以q=2. .25若数列满足：对任意的，只有有限个正

7、整数使得成立，记这样的的个数为，则得到一个新数列例如，若数列是，则数列是已知对任意的，则 ， 26已知数列满足：，（），若前项中恰好含有项为，则的值为 .14、或解:必然存在一个,当时,数列为0,1,1, 0,1,10,1,1,0,1,1,若，则，;若，不成立;若，;27.已知数列满足则的最小值为_.【答案】【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1=21+2+(n-1)+33=33+n2-n所以设，令，则在上是单调递增，在上是递减的，因

8、为nN+,所以当n=5或6时有最小值。又因为，所以，的最小值为28.数列满足下列条件：，且对于任意的正整数，恒有，则的值为 14. 29. 设函数, A0为坐标原点，An为函数y=f（x）图象上横坐标为的点，向量，向量i=（1，0），设为向量与向量i的夹角，则满足 的最大整数n是 13.3解:所以,又是关于的单调递减函数,所以单调递增,当1,2,3时,满足题意,当4时,从而当时,所以满足的最大整数是3.30.设是公比为的等比数列，令若数列有连续四项在集合中，则 .【答案】【解析】将各数按照绝对值从小到大排列，各数减1，观察即可得解.31设首项不为零的等差数列前项之和是，若不等式对任意和正整数恒

9、成立，则实数的最大值为 . 12解:由不等式得由于,所以，所以32在数列中，且，则该数列中相邻两项乘积的最小值为_.33从等腰直角三角形纸片上，按图示方式剪下两个正方形，其中，则这两个正方形的面积之和的最小值为 136 34、已知函数是定义在上恒不为0的单调函数，对任意的，总有成立若数列的n项和为，且满足， ，则= .14、.35已知等差数列的前n项和为，若，则下列四个命题中真命题的序号为 . ； ； ； 36. 数列满足，（），记，若对恒成立，则正整数的最小值为 18. 10 37、等比数列中，函数，则 38、设等差数列的前项和为，若，则 二、解答题 1、已知函数的图象经过点和，记（1）求数

10、列的通项公式；（2）设，若，求的最小值；（3）求使不等式对一切均成立的最大实数.解：（1）由题意得，解得， （2）由（1）得， -得. ，设，则由得随的增大而减小时， 又恒成立， （3）由题意得恒成立 记，则 是随的增大而增大 的最小值为，即. 2、设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上 （）求的值，猜想的表达式，并用数学归纳法证明；（）将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，），（，）；（），（，），(，），（，）；（），分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；（）设为数列的前项积，是否存在实数，使得不等式对一切都成立？若

11、存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由解：（）因为点在函数的图象上，故，所以令，得，所以；令，得，所以；令，得，所以由此猜想：用数学归纳法证明如下： 当时，有上面的求解知，猜想成立 假设时猜想成立，即成立，则当时，注意到， 故，两式相减，得，所以由归纳假设得，故这说明时，猜想也成立由知，对一切，成立 （）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），. 每一次循环记为一组由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内

12、各数之和由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，所以 又=22，所以=2010.（）因为，故，所以又，故对一切都成立，就是对一切都成立设，则只需即可由于，所以，故是单调递减，于是令，即 ，解得，或综上所述，使得所给不等式对一切都成立的实数存在，的取值范围是3、已知点列满足：，其中，又已知，.(1)若，求的表达式；(2)已知点B，记，且成立，试求a

13、的取值范围；(3)设（2）中的数列的前n项和为，试求： 。解：（1），. （2），. 要使成立，只要，即为所求.（3） ， ，4、已知在上有定义，且满足时有 若数列满足 。 （1）求的值，并证明在上为奇函数； （2）探索 的关系式，并求的表达式；（3）是否存在自然数m，使得对于任意的，有恒成立？若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由。 5、数列满足（）求数列的通项公式；（）设数列的前项和为，证明解：()方法一：，所以 所以是首项为，公差为的等差数列 所以，所以 方法二：，猜测 下用数学归纳法进行证明当时，由题目已知可知，命题成立； 假设当()时成立，即，那么当，也就是说，当时命题也成立

14、综上所述，数列的通项公式为 （）设 则 函数为上的减函数，所以，即从而 6、已知二次函数同时满足：不等式0的解集有且只有一个元素；在定义域内存在，使得不等式成立，设数列的前项和（1）求函数的表达式；(2) 设各项均不为0的数列中，所有满足的整数的个数称为这个数列的变号数，令（）,求数列的变号数；（3）设数列满足：，试探究数列是否存在最小项？若存在，求出该项，若不存在，说明理由解（）不等式0的解集有且只有一个元素解得或当时函数在递增，不满足条件当时函数在（，）上递减，满足条件综上得，即.（）由（）知当时，当时由题设可得，都满足当时，即当时，数列递增，由，可知满足数列的变号数为.（）,由（）可得：

15、当时数列递增，当时，最小, 又，数列存在最小项或,由（）可得：对于函数函数在上为增函数，当时数列递增，当时，最小，又，数列存在最小项7、已知数列的前n项和满足：（a为常数，且） （）求的通项公式；（）设，若数列为等比数列，求a的值；（）在满足条件（）的情形下，设，数列的前n项和为Tn .求证：解：（）当时，即是等比数列 ； （）由（）知，若为等比数列， 则有而故，解得， 再将代入得成立， 所以 （III）证明：由（）知，所以， 由得所以， 从而即 8、已知数列的前n项和为，点在曲线上且. （1）求数列的通项公式； （2）数列的前n项和为且满足，设定的值使得数列是等差数列； （3）求证：.解：(1)