提升优等生数学能力的方法及知识补充提纲

1、提升优等生数学能力的方法及知识补充提纲2017年是执行新课程标准的第一届高考，新高考方案（考试科目减少）使数学的竞争空前的激烈。如何提升学生的数学能力？特别是，如何为优等生参加自主招生提供有效的帮助？纵观高考试题与自主招生试题，许多能力题都有一定的课外知识背景，其中相当一部分体现高等数学中的思想、方法。本文结合高考题与自主招生试题，按照高等数学体系，尝试列出相关补充知识提纲，共分四个部分。第一部分 数域1.1计数1.1.1自然数（自然数的构造；算术）1.1.2整数（零和负正整数的性质）1.1.3有理数（序；使有序）1.1.4从一到无穷大（无穷集的比较） 1.1.5超越 1.2实数1.2.1怎样

2、产生无理数；1.2.2有多少个实数；1.2.3代数数与超越数（1）代数数就是一个整系数多项式方程的实数解；超越数就是不是代数数的实数。（2）刘维尔数： 它的整数部分是0，第位小数是1，其余均为0；这是一个典型的超越数1.2.4连续统假设和更大的无穷大。1.3复数及其高维同伴 1.3.1复数 的发现（明） 1.3.2复平面（复数在几何中的应用） 1.3.3棣莫弗定理 1.3.4多项式和代数基本定理代数基本定理：任何一个次多项式正好有个有可能重复的复数解。 1.3.5还有其它的数吗？（1）四元数集（即哈密尔顿数集）（2）八元数集（即凯莱数集）1.4素数1.4.1计算机、算法和数学（1）计算机能处理

3、的问题：能表示为算法的问题，因而计算机能处理的数学问题是非常 有限的。（2）算法：精准而明确的可一步一步执行的方法或方案。1.4.2素数的性质（1）算术基本定理：每一个大于1的自然数都可唯一地分解成一些素数的乘积，这些素数称为这个自然数的素因数。（2）素数有无穷多个。（3）素数定理：小于自然数的素数大约有个随，而且随着的增大，其近似程度也越来越好。（4）欧几里得算法（长除法）：求两个自然数 的最大公约数 。若，则1.4.3连分数(1)有理数都可表示为有限连分数；（2）无理数都可表示为无限连分数。几个例子：例1. 例2；例3. 例4. ；例5. 1.4.4贝祖引理两个整数互素的充要条件是存在整数

4、使1.5模整数（1） （2）（3）如果是素数，那么每一个正整数有唯一的一个乘法逆元素。（4）如果是素数，而，那么 的充要条件是或。（5）威尔逊定理：如果是素数，那么；如果不是素数，那么（6）费马小定理：如果是素数，那么对于任意整数， 1.6RSA密码第二部分 分析2.1无穷极限2.1.1例子（1） ；（2） （3） ；（4） 2.1.2极限的数学描述（1）定义（2）数列收敛的一般准则：为一实数或复数序列，收敛于某个值的充要条件是：对于任意 存在正整数，当 时，恒成立。2.2无穷和的收敛与发散（1）调和级数： ；注：（1）设，则 ；（2）当 时，发散；当 时，收敛。（2）收敛判别法：比较判别法，

5、交错级数判别法，绝对收敛，比率判别法。（3）无穷级数的重新排列：绝对收敛的级数可对其中的无穷多项进行重新排列，而不影响这个和式的总值。2.3实函数（1）连续的极限定义；（2）光滑（即可微）的极限定义；（3）科赫雪花曲线：是一条分形曲线；处处连续但无数处不光滑；曲线上任意两点间的曲线长度是无穷大。（4）微分中值定理（5)洛必达法则（6）微积分基本定理第三部分 代数3.1线性性(1)线性方程组：高斯消元法(2)向量空间（3）线性映射与矩阵（4）行列式与逆矩阵注：矩阵是算子，是变换。3.2最优化（1）线性约束，（2）单纯形法（单纯形指约束区域的顶点集合）3.3距离、长度与角度（1）向量的数量积（内积

6、）与叉积（2）柯西施瓦茨不等式： （3）三角形不等式：3.4几何与代数（1）一个二元二次方程表示的平面曲线有且仅有七种情形：空集、点、直线、圆 、椭圆、椭圆 、双曲线、抛物线。非标准的情形可通过矩阵变换化为标准形。（2）三维空间中的二次曲面（3）实对轴矩阵的特征向量与特征值（4）等矩变换：平移、旋转、反射（5）行列式与伸缩变换：维线性映射的行列式的绝对值是维单位立方体的体积在作用下发生伸缩的比例因子。例：由向量张成的平行四边形的面积 ，据此可得三角形面积的行列式公式。若的顶点 ，则 （6）对称与群论第四部分 概率4.1概率论的基本概念（1）事件：必然事件、随机事件、不可能事件、基本事件、等可能

7、事件（2）两个事件的关系：独立、互斥（含对立）（3）关于理解“等可能事件的两个例子：例1.比赛中止问题：张一与李二进行一场斯诺克比赛，他们两人技艺相当，谁先拿下10局谁胜，并可获得1000英磅的奖金。然而，在比赛中，有几局打得时间过长，比赛不得不中止，这时的比分为，张一领先。请问这笔奖金该如何分配？解：明智的做法并不是根据已赛成绩来分配奖金，而是考虑比赛如果继续下去直到结束所会发生的的有可能的情况。（错解）：用A、B分别表示张一、李二赢得一局。张一胜的情形有AA;ABA；BAA；ABBA;BABA;BBAA共6种，而李二胜的情形有BBB;ABBB;BABB;BBAB;所以应按6：4的比例分配奖

8、金。（帕斯卡的解）如果将打满四局的权重记为1，则两局就获胜的情形的权重应为4，而三局获胜的权重应为2，所以张一获胜的情形有11种，李二获胜的情况有5种，所以应按11：5的比例分配奖金。例2.门与山羊问题；（来自频道的电视节目）节目场景是这样的，一并排有三扇门，每扇门后是一个房间，其中有一个房间里有一只山羊，另两个房间是空的，主持人事先知道山羊放在哪个房间。主持人请你在三个房间中选一个，方式是把一个山羊图案贴在这个房间的门上。当你选定后，在余下的两扇门中打开了一扇空房间的门。这时主持人要求你在两扇没有打开的门之间做选择，如果你猜出哪个房间放有山羊，山羊就归你！分析：坚持你的第一选择，你赢得山羊的概率是 ；而改变第一选择，你赢得山羊的概率是（即第一次选择错误的概率）4.2严格的概率论（1）容斥公式（2）换座位问题：个人座在把椅子上，现在调换座位，至少有一个人座原座位的概率是多少？答： （3）条件概率(全概率定律和贝叶斯公式)（4）随机变量（离散与连续；分布列与密度函数；期望与方差）注1：离散性随机变量：二项分布；几何分布；超几何分布；注2：连续性随机变量：正态分布；泊松分布；（5）极限定理（切比雪夫不等式；大数律；中心极限定理和正态分布）中心极限定理的真谛：任何含有大量独立同分布事件的随机过程都将以一个正态分布为模型。4.