g习题课定积分的应用PPT学习教案

1、会计学1 g习题课定积分的应用习题课定积分的应用PPT课件课件 一. 基本要求： 1.深刻理解定积分的基本思想，熟练运用公式计算平面图形的面积 、 平行截面面积已知的立体体积、旋转体体积和侧面积、曲线弧长等。 2.初步掌握运用“元素法”解决物理、力学及应用中的某些问题。 二. 重点、难点与例子（共11例）. 1. 几何应用方面： (1) 求面积 (2) 求体积 (3) 求弧长 (4) 求侧面 积 2. 物理应用方面： (1) 求平行力作功 (2) 求压力 3. 定积分其他应用: (1)求函数平均值 (2) 实际问题 三. 课堂练习(共7题) 四. 综合题(共3题) 综合题解答 第1页/共39页

2、 (1) 因为平面图形都是由曲边梯形或曲边扇形组成，所以定积分能 解决任意（边界是已知函数的）平面图形求面积的问题。 (2) 由于定积分是一维的积分，所以只能解决截面面积已知的立体 求体积问题。 旋转体是其中一种，所以各种旋转体的体积问题基本可以解决 。 一般立体的求体积问题以后用二重积分或三重积分可以解决。 (3) 利用弧微分（在局部，用切线长 ds 近似曲线长 s），可以解 决任意平面曲线（曲线函数已知）求弧长的问题。 一般空间曲线的求弧长问题以后用第一型曲线积分可以解决。 (4) 通过弧微分，求旋转体的侧面积问题也可以用定积分解决。 求一般曲面的面积问题以后用第一型曲面积分可以解决。 1

3、. 定积分的几何应用 第2页/共39页 (1) 怎样的量 U 可以用定积分计算？ 1o 量 U 与给定区间a, b有关； 2o 量 U 对区间a, b具有可加性. (2) 计算步骤： 1o 根据实际问题，选取坐标系、积分变量和积分区间a, b ； 2o x a, b,求小区间x, x+dx上的部分量 dU ; 称 dU= f (x)dx为元素 . . d)( b a xxfU计计算算定定积积分分 (3) 计算中的关键和难点： 找到 f (x) .f (x)的表示式与选择的坐标系有关。 3o 第3页/共39页 S b a xxfS d| )(| . d c yyS d| )(| . 2 d)(

4、2 1 S . S c d 直角坐标系极坐标系 边界 函数 图形 面积公式 y=f(x)x = (y) = ( ) S a b x = a, x = b, y = 0 y = c, y = d, x = 0 = , = 二. 重点、难点与例子. 1. 几何应用方面 第4页/共39页 的的区区域域的的面面积积。成成 轴轴所所围围轴轴、和和，直直线线求求曲曲线线 3 1 2 yxyxxy 解： 3 y x01 3 先画图. S1S2 联联立立，解解交交点点： 3 1 2 yx xy 2 1 y x 21 SSS 1 0 2 d)1(xx22 2 1 2 2 3 1 0 3 x x . 3 10 .

5、 需分块儿！ 1 第5页/共39页 面面积积。的的圆圆内内公公共共部部分分图图形形的的所所围围成成 ，求求三三条条圆圆曲曲线线 4)3( )1( , 4)2( 4 2 22222 y xyxyx 210 x y 3 解：先画图. 弓弓 SSS3 . 弓弓 主要是求主要是求 S 用极坐标： .cos4 4)2( 22 ryx即即 . r = 4 cos 3 2 3 2 d)cos4( 2 1 弓弓 S 2 3 )dcos2(14 .3 3 2 弓弓 SSS3 )3 3 2 (332 2 1 ).3 (2 . 还有别的方法吗？ 方法 I. 第6页/共39页 面面积积。的的圆圆内内公公共共部部分分图

6、图形形的的所所围围成成 ，求求三三条条圆圆曲曲线线 4)3( )1( , 4)2( 4 2 22222 y xyxyx 210 x y 3 解：方法 II. 弓弓 SSS3 . 弓弓 主要是求主要是求 S 用初等方法求图示部分： 3 SSS 扇扇弓弓 .3 3 2 弓弓 SSS3 )3 3 2 (332 2 1 ).3 (2 . 32 2 1 3 2 2 1 2 2 第7页/共39页 图图形形的的面面积积。 的的平平面面所所围围成成求求由由星星形形线线 sin ,cos 33 ayax 解： 0 x y aa a a 由由对对称称性性 0 2 33 )cosd(sin4tataS a xyS

7、0 d4 2 0 242 dcossin12ttta 2 0 642 d)sin(sin12ttta 2 642 531 2 42 31 12 2 a. 8 3 2 a . :作作变变量量代代换换 sin cos 33 ayax ， 第8页/共39页 1o 已知平行截面面积为A(x)的立体体积 b a xxAVd)( 2o 绕 x 轴旋转的旋转体体积 b a xxfVd)( 2 x A(x) x ba 曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x 轴 x f(x) b x a . . 第9页/共39页 y x0 3o 绕 y 轴旋转的旋转体体积 d c yygVd)( 2 y x

8、0 x=g(y) c d . 4o 用柱壳法求绕 y 轴旋转的旋转体体积 曲边梯形 y= f (x), x = a, x = b, y = 0 绕 y 轴. a f (x) b a xxxfVd)(2 . 如下例： b 第10页/共39页 2a ：方方法法 2 的的体体积积。轴轴旋旋转转一一周周所所得得旋旋转转体体围围成成的的图图形形绕绕 所所及及与与直直线线求求曲曲线线 0 2, )0( y yaxaxaaxy y x0 a b a xxxfVd)(2 21 VVV 解： 2 1 d)( 2 1 2 1 2 ay y a . 1轴轴：绕绕方方法法y a a x x a x 2 d 2.2 2

9、 a 由柱壳法的公式： . . . axy 分块儿求, 怎么分？ S1 S2 2 1 1 2 1 2 1 )2( 22 aa.2 2 a 显然柱壳法简便。 第11页/共39页 )( )( ty tx )( ab xxfl b a d)(1 2 tttl d)()( 22 22 d)()( l y = f (x) ()() . . . x y 0(t) (t) 0 (a b )( )( ) 第12页/共39页 . 2 223 lxyxy所所围围成成的的图图形形的的周周长长及及求求由由曲曲线线 解：先作图 .图形关于 y 轴对称. . 27 81313 . 0 x y 11 C BA 2 23 2

10、 xy xy 解解交交点点： 得A(1,1), B(1,1) 22 4 1 2 2 , 圆圆 记记圆圆的的周周长长为为 l 1 0 d 4 9 1yy 1 0 ) 4 9 d(1 4 9 1 9 4 yy . . 圆圆 lAB 4 1 ABOAl 2 1 0 2 d)(1yyxOA . 2 2 27 161326 2 ABOAl 23 xy 第13页/共39页 为为正正整整数数）的的全全长长求求曲曲线线nnxny n x ,0.( dsin 0 解： n x x y sin d d t n x 令令 0 d sin1 n x n x 0 d sin1ttn . 4n . 0 d sin1 |c

11、os| t t t n 2 2 0 d sin1 cos d sin1 cos t t t nt t t n xxfl b a d)(1 2 2 2 0 d sin1 )sin1d( d sin1 )sin1d( t t t nt t t n 第14页/共39页 曲线 y= f (x) 绕 x 轴旋转, b a xxfxfAd )(1 )( 2 2 侧侧面面积积 bxa . tx ty tx , )( )( 轴轴旋旋转转绕绕曲曲线线 ttttAd )()( )( 2 22 侧侧面面积积 . 曲线绕 y 轴旋转有类似的结果。 第15页/共39页 b ba x0 y . )( )( 222 A x

12、baabyx 面面的的面面积积 轴轴旋旋转转而而成成的的圆圆环环绕绕求求曲曲线线 解： 曲线用极坐标： taby tax sin cos 2 0 2222 d cossin)sin( 2ttatatab 20 t ttttAd )()( )( 2 22 侧侧面面积积 由已知公式： . 4 2ab . 第16页/共39页 平行力：指大小变而方向不变的力。 一般变力（大小、方向都变）的作功问题用第二型 曲线积分解决。 x F(x) a b 作作功功：求求平平行行力力 )( )1(xF b a xxFWd)( 0 . 一般情况下，力函数F(x)需要自己寻找。 如下例： 第17页/共39页 解法 I：

13、选择图示坐标系. .1 , 0 x . x y 2 米 1 0 x x+dx 上所消耗的功近似地为： )1(d 8 . 9d 2 xxyW xxxd)1)(1( 2 xxxxd)1( 32 1 0 32 d)1(xxxx 12 11 8 . 9 = 9.8 = 9.8 W = 9.8 ./9.8 3 米米千千牛牛设设水水的的比比重重为为 ).(2 .28千千焦焦 . 将这薄层水抽到地面 耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的 内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2 第18页/共39

14、页 解法 II： 选择图示坐标系. ,0 , 1 y . y x 2 米 1 0 y y+dy 将这薄层水抽到地面上所消耗的功 近似地为： )1(d 8 . 9d 2 yyxW yyyd)1)(1( 2 yyyyd)1( 32 0 1 32 d)1(yyyy 耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的 内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2 = 9.8 = 9.8 W = 9.8 ).(2 .28千千焦焦 第19页/共39页 解法 III： 选择图示坐标系. ,1 , 0 y . y

15、x 2 米 1 0 y y+dy 将这薄层水抽到地面上所消耗的功 近似地为： )2(d 8 . 9d 2 yyxW yyyd)2()1(1 2 yyyyd)44( 32 1 0 32 d)44(yyyy 显然，选择方法 I和方法 II的坐标系计算功比用方法 III简便一些. 例8 =9.8 =9.8 W = 9.8 ).(2 .28千千焦焦 耗耗的的功功。水水全全部部抽抽到到地地面面上上所所消消装装满满水水。求求将将容容器器中中的的 内内米米的的半半球球形形容容器器，容容器器米米深深处处埋埋有有一一半半径径为为离离地地面面 1 2 第20页/共39页 比如，求水对闸门的压力。压力在不同深度是不

16、同 的。水对闸门的总压力等于闸门在不同深度处所受压力 之总和。因此，可以用定积分求压力。 那么，如何求垂直竖立的一块面积所受的压力呢？ 由物理学中“帕斯卡定律”：在同一深度，液体在各 个方向产生同样的压强。因此，垂直竖立的一块面积所 受的压力等于把此块面积水平放置在同一深度所受的压 力，即此块水平面积上承受的液体重量。 看下例： 第21页/共39页 是是多多少少？求求闸闸门门所所受受压压力力水水的的比比重重为为 ，高高为为。已已知知三三角角形形底底边边长长它它的的底底边边与与水水平平面面相相齐齐 在在水水中中，闸闸门门，这这闸闸门门垂垂直直竖竖立立某某水水坝坝中中有有一一个个三三角角形形 P

17、ha , . 解： 选择图示坐标系. x o y a h x+dx x , , 0hx 先求这一薄层的长 b : b h xh a b 由由 h xha b )( 得得 这一薄层的面积约为:x h xha xbd )( d 所以这一薄层受的水压力约为:xx h xha xxbPd )( d d h xx h xha P 0 d )( . 6 2 ah . 第22页/共39页 的的平平均均值值： 上上连连续续函函数数闭闭区区间间求求 1 1 )(, )(xfba ab f (x) b a xxf ab xfd)( 1 )( . )( xf . . , 10 的的平平均均值值求求在在这这个个过过程

18、程中中压压力力膨膨胀胀到到 由由在在等等温温过过程程中中，若若体体积积一一定定质质量量的的理理想想气气体体，例例 PV V b a 由由物物理理学学知知： 解： 压压力力的的平平均均值值为为. ln a b ab V V VV k . V k P .是是常常数数k是是体体积积，V b a V V ab V V k VV P d 1 第23页/共39页 , 20 4 )( ,2000 11. 2 r rp其其人人口口密密度度为为年年进进行行人人口口普普查查统统计计某某城城市市例例 解： . 的的单单位位为为每每平平方方公公里里人人口口密密度度表表示示距距城城市市中中心心的的距距离离其其中中)(,

19、rpr 数数。公公里里圆圆形形区区域域内内人人口口总总半半径径为为万万人人。试试求求距距城城市市中中心心210 2 r 0 ,2 , 0 r 对对应应一一个个圆圆环环，小小区区间间 , rrr 数数的的近近似似值值为为：此此圆圆环环域域上上对对应应的的人人口口 ,d rr 一一个个增增量量给给 rrrpNd2)(d 2 0 d2)(rrrpN 2 0 2 d 20 2 4r r r 2 0 2 )20ln( 4 r ).10( 5 6 ln 4万万人人 具具有有可可加加性性，因因总总人人口口数数对对区区间间2 0 dr 第24页/共39页 的的一一段段弧弧长长。到到从从 求求曲曲线线4 4.

20、. 积积。与与其其渐渐近近线线间间图图形形的的面面曲曲线线求求 面面积积。的的所所围围图图形形: :求求三三条条曲曲线线 面面积积。 的的轴轴所所围围图图形形上上与与在在求求曲曲线线 3 4 4 3 1 e 3. 2, 1 2. 2 , 0 cos . 1 2 2 r xy xxy x y xxy x 第25页/共39页 。轴轴旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 10, ,2 . 6 22 xyxxyxy 旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积. . 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 1 1 , 2 , 1 , 2 2 y yxx x y 积积。曲曲面面面面的

21、的成成 生生旋旋转转，求求轴轴旋旋转转极极) )绕绕( (1 1 线线将将心心形形 cos . 7a 第26页/共39页 ).()( 2 d)()(, ,)( . 2 1 bfaf ab xxfxfbaCxf b a 非非减减，则则 .2004 )( )( ), ,( )()( ,0)(,0)( ,)( .3 B A ba hBhA afxfbaDxf 使使唯唯一一 ，与与试试证证：对对图图示示两两块块面面积积 ，且且 的的面面积积最最小小。两两点点处处的的法法线线所所围围图图形形 及及在在曲曲线线，使使这这条条曲曲线线和和它它 中中试试选选一一条条在在曲曲线线族族 )0 , 1()0 , 1

22、( )0)(1( 1. 2 axay f (x) ab B(h) A(h) f (h) h 0 y x x y 0 11 a )1( 2 xay 第27页/共39页 返回首页 第28页/共39页 轴轴所所围围图图形形面面积积。 上上与与在在求求曲曲线线xxy 2 , 0 cos . 1 = 4 xxSd |cos| 2 0 xxdcos4 2 0 解： 第29页/共39页 2ln 2 3 . 2 1 d) 1 (x x xS 所所围围面面积积。: :求求三三条条曲曲线线 2, 1 xxy x y 12 2 1 x y 0 解交点：解交点： 解： . )2 , 2( ),1 , 1( 得得 第3

23、0页/共39页 积积。与与其其渐渐近近线线间间图图形形的的面面求求 2 2 e x xy 曲线有渐近线： y = 0 . = 2 0 2 de2 2 xx x 线线：近近渐渐先先求求 S 面面积积 解： x y 0 0elim 2 2 x x x 由对称性 0 2 2 e2 x 第31页/共39页 的的一一段段弧弧长长。到到从从 求求曲曲线线 3 4 4 3 1 r . 3 4 4 3 2 2 d1 1 . 解： 22 d )()( rrl 这是一条双曲螺线.由弧长公式. 3 4 4 3 2 ) 1 d(1 3 4 4 3 2 3 4 4 3 2 d 1 1 1 1 3 4 4 3 2 )1l

24、n( 3 5 4 5 2 3 ln 12 5 第32页/共39页 x y 0 . 1 1 , 2 , 1 , 2 2 旋旋转转所所得得立立体体的的体体积积 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 yyxx x y . . 1 2 2 x y则抛物线方程变成则抛物线方程变成 解： 12 1 x 把 x 坐标轴平移至 y = 1处. 2 1 2 4 1)d 4 (xx x . 60 293 2 1 2 2 d1) 2 (x x V 第33页/共39页 得得立立体体的的体体积积。 轴轴旋旋转转所所 所所围围图图形形绕绕求求曲曲线线 10, ,2 22 xyxxyxy 体积： )52( 3 20 . . x

25、 y o y = 2x y = x 2 5 解： 左锥左锥右锥右锥 55 3 2)22( 3 d)(10 2 2 5 2 xxV 第34页/共39页 积积曲曲面面面面 的的生生成成旋旋转转，求求轴轴旋旋转转极极) )绕绕( (1 1 线线将将心心形形 . cos A a 解： d)( 2 22 yA 由极坐标和直角坐标的关系： 2 cos 2 sin2 2 cos2 2 a 2 sin 2 cos4 3 a . d)(d 22 S d sin)cos1( 2222 aa d )cos1(2 2 a d 2 cos4 22 a d 2 cos2a 0 3 d 2 cos2 2 sin 2 cos4 2 aaA 0 42 d 2 sin 2 cos 16 a 2 5 32 a . sin)cos1(sin ay 第35页/共39页 的的面面积积最最小小。两两点点处处的的法法线线所所围围图图形形 及及在在曲曲线线，使使这这条条曲曲线线和和它它 中中试试选选一一条条在在曲曲线线族族 )0 , 1()0 , 1( )0)(1( 2 axay x y 0 11 a )1( 2 xay 2 S 解： 处处的的法