结构力学——力矩分配法

1、学习内容学习内容 转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。转动刚度、分配系数、传递系数的概念及确定。 力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和力矩分配法的概念，用力矩分配法计算连续梁和 无侧移刚架。无侧移刚架。 无剪力分配法的概念及计算。无剪力分配法的概念及计算。 超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。超静定结构影响线及超静定结构的内力包络图。 利用对称性简化力矩分配法计算。利用对称性简化力矩分配法计算。 第七章第七章渐近法渐近法力矩分配法力矩分配法 学习目的和要求学习目的和要求 目的目的：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种：力矩分配法是计算连续梁和无侧移刚架的一种 实用计算方法

2、。它不需要建立和求解基本方程，直接得到实用计算方法。它不需要建立和求解基本方程，直接得到 杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。杆端弯矩。运算简单，方法机械，便于掌握。 要求要求：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无：熟练掌握力矩分配法的基本概念与连续梁和无 侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩侧移刚架的计算。掌握无剪力分配法的计算，了解用力矩 分配法计算有侧移刚架。分配法计算有侧移刚架。 第一节力矩分配法的基本概念第一节力矩分配法的基本概念 一、引言一、引言 对于超静定结构的内力计算，我们前面学习了两种基本的对于超静定结构的内力计算，我们前面学习了两种基本的 方法方法力法

3、和位移法，二者的共同特点是都要建立和求解联立力法和位移法，二者的共同特点是都要建立和求解联立 方程组，当未知量太多时，计算量也相应的增大，同时，在求方程组，当未知量太多时，计算量也相应的增大，同时，在求 得未知量后，还需要利用杆端弯矩的叠加公式求得杆端弯矩，得未知量后，还需要利用杆端弯矩的叠加公式求得杆端弯矩， 整个计算求解过程较繁琐。整个计算求解过程较繁琐。 为了寻求计算超静定刚架更简捷的途径，自为了寻求计算超静定刚架更简捷的途径，自20世纪世纪30年代年代 以来，又陆续出现了各种渐近法，如力矩分配法、无剪力分配以来，又陆续出现了各种渐近法，如力矩分配法、无剪力分配 法、迭代法等。而这些方法

4、的理论基础都是位移法，共同特点法、迭代法等。而这些方法的理论基础都是位移法，共同特点 是避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆是避免了组成和解算典型方程，而以逐次渐近的方法来计算杆 端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于端弯矩，其结果的精度随计算轮次的增加而提高，最后收敛于 精确值。精确值。 二、力矩分配法的概念二、力矩分配法的概念 1、力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移、力矩分配法：主要用于连续梁和无结点线位移(侧移侧移) 刚架的计算，其特点是不需要建立和求解联立方程组，刚架的计算，其特点是不需要建立和求解联立方程组， 而在其计算简图上直接进行计算或列表计

5、算，就能直接而在其计算简图上直接进行计算或列表计算，就能直接 求得个杆端弯矩。求得个杆端弯矩。 理论基础：位移法理论基础：位移法 力矩分配法力矩分配法计算对象：杆端弯矩计算对象：杆端弯矩 计算方法：逐次逼近的方法计算方法：逐次逼近的方法 使用范围：连续梁和无结点线位移的刚架使用范围：连续梁和无结点线位移的刚架 力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆力矩分配法的理论基础是位移法，故力矩分配法中对杆 端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相端转角、杆端弯矩、固端弯矩的正负号规定与位移法相 同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结点的同，即都假设对杆端顺时针旋转为正号。作用于结

6、点的 外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为外力偶荷载、作用于附加刚臂的约束反力矩，也假定为 对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号对结点或附加刚臂顺时针旋转为正号。 2、力矩分配法的正负号规定、力矩分配法的正负号规定 3 3、力矩分配法的三要素、力矩分配法的三要素 （1 1）计算单跨超静定梁的固端弯矩）计算单跨超静定梁的固端弯矩 固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁，固端弯矩：常用的三种基本结构的单跨超静定梁， 在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力在支座移动和几种常见的荷载作用下的杆端弯矩，可用力 法计算或在计算表中查得。法计算或在计算表中查得。 （2 2）计算结点各

7、杆端的弯矩分配系数）计算结点各杆端的弯矩分配系数 （3 3）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数）计算杆件由近端向远端传递的弯矩传递系数C C （用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先（用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架，需要先 解决三个问题：）解决三个问题：） 4、相关参数的概念、相关参数的概念 （1）转动刚度）转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力，在：表示杆端对转动的抵抗能力，在 数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩数值上等于杆端产生单位转角时所需要施加的力矩。 ABEI l AB ABAB 11 1 1 AB Si =4 =iAB S =3i SAB AB S =0 远端固

8、定，远端固定，SAB =4i；远端铰支，；远端铰支，SAB =3i 远端滑动，远端滑动，SAB =i；远端自由，；远端自由，SAB =0 说明：在说明：在SAB中，中，A端是施力端，也称为近端，端是施力端，也称为近端，B端称为远端端称为远端 杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度杆端转动刚度不仅与杆件的线刚度i有关，而且与远端有关，而且与远端 的支承情况有关。的支承情况有关。 （2）弯矩分配系数）弯矩分配系数和弯矩分配和弯矩分配 ADACAB iiir34 11 MR P 1 0 11 11 P Rr )( 1 1 34 11 A ADACABADACAB P S M SSS M iii M r R

9、)( 1 4 A AB ABAB S MS iM )( 1 3 A AC ACAC S MS iM )( 1 A AD ADAD S MS iM 可以看出，刚结点可以看出，刚结点A A在外力偶荷载作用下，结点在外力偶荷载作用下，结点A A上各杆在上各杆在A A 端的弯矩与各杆的转动刚度成正比，由此我们进入分配系端的弯矩与各杆的转动刚度成正比，由此我们进入分配系 数数 )( )( DCBj S MS A Aj Aj 、 定义：结点处，某杆的转动刚度与汇交于该结点的所有杆定义：结点处，某杆的转动刚度与汇交于该结点的所有杆 件的转动刚度之和的比值。件的转动刚度之和的比值。 特性：相交于的所有杆件的分

10、配系数之和为特性：相交于的所有杆件的分配系数之和为1 弯矩分配：弯矩分配： 近端弯矩近端弯矩= =分配系数结点弯矩分配系数结点弯矩 远端弯矩远端弯矩= =近端弯矩传递系数近端弯矩传递系数 （3 3）弯矩传递系数和弯矩传递）弯矩传递系数和弯矩传递 传递系数传递系数C C：表示当杆端发生转角时，杆件远端弯矩：表示当杆端发生转角时，杆件远端弯矩 与近端弯矩的比值。与近端弯矩的比值。 当杆件的某一端发生转角时，在该端产生的弯矩称为当杆件的某一端发生转角时，在该端产生的弯矩称为 近端弯矩，另一端产生的弯矩称为远端弯矩。近端弯矩，另一端产生的弯矩称为远端弯矩。 远端弯矩与近端弯矩的比值称为远端弯矩与近端弯

11、矩的比值称为弯矩传递系数弯矩传递系数。 A C B D MAB AD M AC M A 待分配力矩 MA A M Z1 1 Z Z1 1 ZiM ADDA AABBA iM20 CA M 2 1 AB AB BA C M M 0 AC AC CA C M M 1 AD AD DA C M M Aj jA Aj M M C 在等截面杆件中，弯矩传递系数在等截面杆件中，弯矩传递系数C随远端的支承情况随远端的支承情况 而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下：而不同。三种基本等截面直杆的传递系数如下： 远端固定远端固定 2 1 Aj C 远端铰支远端铰支 0 Aj C 远端滑动远端滑动 1 Aj C

12、 固定状态固定状态: : F2 1 100 kN m 12 AB Mql F 100 kN m BA M 0 FF CBBC MM 放松状态放松状态: : P ()57.1 BABAB MR P ()42.9 BCBCB MR 不平衡力矩变号，再乘以不平衡力矩变号，再乘以 分配系数即为分配弯矩分配系数即为分配弯矩 PB R A B m10 EI kN/m12 q C m10 EI A B kN/m12 q C PPBB RR A BC 2/1 2 ql2/1 2 ql 例题：例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。用力矩分配法求图示结构弯矩图。 P 100 kN m B R 杆端弯矩固端杆端弯矩固

13、端 弯矩弯矩+ +分配弯矩分配弯矩+ + 传递力矩传递力矩 10028.6128.6 AB M 10057.142.9 BA M 042.942.9 BC M 0 CB M 最终状态最终状态: : PB R A B m10 EI mkNq/12 C m10 EI A B mkNq/12 C PPBB RR A BC 2/1 2 ql2/1 2 ql P 100 kN m B R A B m10 EI mkNq/12 C m10 EI F M 分分 配配 传传 递递 M 571. 0429. 0 10010000 57.1 42.928.6 0 128.69 .429 .42 0 9 .4261

14、28. M 通常采用列通常采用列 表方式计算表方式计算 kN 40 A B m4 EI kN/m 10 q CEI m4m6 练习：练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。用力矩分配法求图示结构弯矩图。 F M 分分 配配 传传 递递 M F M 分配分配 传递传递 M 结点结点 杆端杆端 BA1C B1A11A1B1CC1 1/2 3/8 1/8 q B A C 1 l/2 l 2ql l/2 l iS A 4 1 2/1 34 4 1 iii i A iS B 3 1 iS C 1 8/3 34 3 1 iii i B 8/1 34 1 iii i C 例题：例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图

15、用力矩分配法求图示结构弯矩图(EI=常数常数) 。 000 F M 分配分配 传递传递 M 结点结点 杆端杆端 BA1C B1A11A1B1CC1 1/2 3/8 1/8 1/4 -1/4 -1/8 3 16 9 64 3 64 3 32 0 3 64 0 11 32 1 16 1 64 3 64 3 64 q B A C 1 2ql ql2/8 ql2/4 ql2/4 B A C 1 ql2/64 ql2/16 11ql2/32 3ql2/64 M 所得结果是所得结果是 近似解吗近似解吗? kN 40 A B m4 EICEI2 m4m6 mkN 10 M P 40 1050 kN m B

16、R 注注1 1、力偶不引起固端弯矩、力偶不引起固端弯矩 注注2 2、杆端最终弯矩、杆端最终弯矩 C MMMM F 注注3 3、由于内力只与各杆相、由于内力只与各杆相 对刚度有关，故可用对刚度有关，故可用 相对值计算（相对值计算（EI 可取可取 任意值）任意值） 练习：练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图。用力矩分配法求图示结构弯矩图。 F M 分分 配配 传传 递递 M 60kN.m kN 10 A B m8 EICEI m6 30kN.m M 练习：练习：用力矩分配法求图示结构弯矩图用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念利用传递系数的概念)。 A B m8 EICEI m6 mkN

17、100 M F M 分分 配配 传传 递递 M 70.30. 501000 0 10015 15 0 M 100 51 15 35 15 15 例题：例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念利用传递系数的概念)。 第三节第三节 多结点力矩分配法多结点力矩分配法 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架， 只需人为制造只有一个分配单元的情形。只需人为制造只有一个分配单元的情形。 方法：方法：先固定，然后逐个放松。应用单结点的基先固定，然后逐个放松。应用单结点的基 本运算，就可逐步渐近求出杆端弯矩。本运算，就可

18、逐步渐近求出杆端弯矩。 第三节第三节 多结点力矩分配法多结点力矩分配法 经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较接经过一轮固定与放松，变形曲线与实际变形曲线已比较接 近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需要近，但还不是实际的变形，因为刚臂上还残存约束力矩，需要 再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约束再次进行一轮固定、放松过程。由于每次放松都是将一个约束 力矩分解（因为力矩分解（因为 11，C 11），所以几个轮回约束力矩就会小），所以几个轮回约束力矩就会小 到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。到可以忽略了。通过逐渐逼近的方式直接求出杆端力矩。

19、 1 . 1 . 变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。变形逐渐趋于真实变形；刚臂反力逐渐趋于零。 3 . 3 . 一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确一般最终的杆端力矩与固端力矩是同量级的，要求精确 到三位有效数字，计算中取到三位有效数字，计算中取4 4位计算，以保证前三位的位计算，以保证前三位的 精确度精确度 2 . 2 . 释放顺序是任意的，但通常先释放不平衡力矩较大的分释放顺序是任意的，但通常先释放不平衡力矩较大的分 配单元（这样收敛快）配单元（这样收敛快） 第三节第三节 多结点力矩分配法多结点力矩分配法 计算的指导思想由两个步骤说明：计算的指导思想由两个步骤说明： 固

20、定状态的计算（与单点固定一样）。固定状态的计算（与单点固定一样）。 即刚臂即刚臂荷载荷载固端力矩固端力矩约束力矩；约束力矩； 放松状态的计算（与单点放松不同）。放松状态的计算（与单点放松不同）。 力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的，力矩的分配和传递是在远端约束已知的情况下进行的， 因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能因此，分配单元的相邻结点不应同时放松。每次只能 放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个放松一个结点，同时相邻结点保持固定，所以，整个 放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。放松过程是轮流放松每一个结点来逐步完成的。 第三节第三节 多结点力矩分配法多

21、结点力矩分配法 加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁加入刚臂，锁住刚结点，将体系化成一组单跨超静定梁 （基本体系），计算各杆固端弯矩（基本体系），计算各杆固端弯矩 MF，由结点力矩平，由结点力矩平 衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基衡求刚臂内的约束力矩（称为结点的不平衡力矩），基 本体系与原结构的差别是：在受力上，结点本体系与原结构的差别是：在受力上，结点1、2上多了上多了 不平衡力矩；在变形上结点不平衡力矩；在变形上结点1 1、2 2不能转动不能转动. . 为了取消结点为了取消结点1 1 的刚臂，放松结点的刚臂，放松结点1 1（结点（结点2 仍锁住），仍锁住）， 在

22、结点在结点1 1 加上负的加上负的不平衡力矩，不平衡力矩，此时梁只有一个角位移，此时梁只有一个角位移， 并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配并且受结点集中力偶作用，可按基本运算进行力矩分配 和传递。结点和传递。结点1 1 处于暂时的平衡。此时处于暂时的平衡。此时2 2 点的不平衡力矩点的不平衡力矩 是原不平衡力矩加上是原不平衡力矩加上1 1 点传递来的传递力矩。点传递来的传递力矩。 计算过程详述计算过程详述 第三节第三节 多结点力矩分配法多结点力矩分配法 传递弯矩的到来，又打破了传递弯矩的到来，又打破了1 1 点的平衡，点的平衡，1 1 点又有了点又有了 新的约束力矩新的约束力矩M

23、传，重复、两步，经多次循环后各传，重复、两步，经多次循环后各 结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状结点的约束力矩都趋于零，恢复到了原结构的受力状 态和变形状态。一般态和变形状态。一般2 23 3个循环就可获得足够的精度。个循环就可获得足够的精度。 (5) (5) 叠加：最后杆端弯矩：叠加：最后杆端弯矩： M = = M F F+M 分配 分配 M 传递 传递 为了取消结点为了取消结点2 2 的的刚臂，放松结点刚臂，放松结点2 2 ，在结点，在结点2 2 加上加上 新的负不平衡力矩，为了只在新的负不平衡力矩，为了只在2 2 点产生一个角位移，点产生一个角位移， 结点结点1 1 再锁住，

24、按基本运算进行力矩分配和传递。结再锁住，按基本运算进行力矩分配和传递。结 点点2 2 处于暂时的平衡。处于暂时的平衡。 6m6m EI=1EI=1 80 kN 3m3m EI=1ABCD 8 kN/m 0.50.50.50.5 MF -2424-242460-60 M MC & -18-18-9-9 4.54.5 2.2 -1.1-1.1 2.2 -0.6 -0.6 0.30.30.10.1 M-40.8 40.9 -69.6 19.2-19.226.3 70 41 19 26 120 3636 M 例题：例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。用力矩分配法求图示结构弯矩图。 kN/m10 q m

25、52.m53.m02.m84. 513. 0487. 0 363. 0637. 0 762. 0238. 0 781102010203333332880 6061941972 116123 58 1094623 547312 417130160152 76208 10951095 423423 21182118 . . . . f M M M C M 2 . 不相邻不相邻 点可同时点可同时 释放释放. 1 . 为避免小为避免小 数运算，可数运算，可 先将固端弯先将固端弯 矩扩大矩扩大100倍；倍； 对结果再缩对结果再缩 小小100倍。倍。 EI=const 21.2 4.2 11.0 M 例题：例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图。用力矩分配法求图示结构弯矩图。 A B m 10 EIEI12EI3 kN 1000 m 10m 10m 1 3B是悬臂梁，是悬臂梁， 转动结点转动结点3 时，时， 悬臂可自由转悬臂可自由转 动，固其转动动，固其转动 刚度为零刚度为零 M3B1000 A EIEI12EI kN 1000kN 1000 1 0 M F1000 0.50.50.570.43 -1000-500 0.430.570.570.43 M F 或或 例题：例题：用力矩分配法求图示结构弯矩图用力矩分配法求图示结构弯矩图(利用传递系数的概念利