平均变化率与瞬时变化率讲练

1、欢迎阅读平均变化率与导数定义一：问题提出问题1气球膨胀率问题：我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的 半径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？4气球的体积V (单位：L)与半径r (单位:dm)之间的函数关系是V(r)=上廿3如果将半径r表示为体积V的函数,那么. 当V从0增加到1时，气球半径增加了 .气球的平均膨胀率为 当V从1增加到2时，气球半径增加了 .气球的平均膨胀率为后的时间t些时间段可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考：当空气容量从Vi增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？ _ 问题2高台跳水问题： 在高

2、台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳2内的平均速度V粗略地描述其运动状态？(单位：s)存在函数关系h(t)= -4.9t+6.5t+10.如何用运动员在某在0乞t乞0.5这段时间里，V =在仁t乞2这段时间里，v =下问题:探究：计算运动员在0哄空65这段时间里的平均速度，并思考以49运动员在这段时间内使静止的吗？你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h(t)= -4.9 t2+6.5t+10的图像，结合图形可知，h(65)=h(0)，49所以65.虽然运动员在0 t 这段时间里的平均速度为0(s/m)，但实际情况是运动员49仍然运动，并非静

3、止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.结论：平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态; 二平均变化率概念：1.上述问题中的变化率可用式子 数f(x)从X1到X2的平均变化率f（X2）- f（X1）X2 一 X1表示,称为函欢迎阅读2 .若设x二x2 -x1, . f二f (x2)f (x)(这里厶x看作是对于xi的一个“增量”可用xi+ x代替X2,同样 f = :y = f (x2) - f (x1)3.则平均变化率为 级上=.lx lx思考：观察函数f(x)的图象(1)平均变化率 =f(x2)-f(x1

4、)表示什么？_xx -x1计算平均变化率的步骤：求自变量的增量 X=X2-X1；求函数的增量 f=f(x 2)-f(X 1)；求平均变化率竺(X2)- f(X1).xX2 _ X!注意：厶x是一个整体符号，而不是与x相乘；X2= x 1+Ax；厶f= y=y2-y 1 ；三. 典例分析例1.已知函数f(x)= x2 x的图象上的一点A(1, 2)及临近一点B( 1 rx, 2 ry),则yL解：例2 .求y二x2在x = xo附近的平均变化率。解：四. 有效训练1. 质点运动规律为 t2 3，则在时间(3,3 *：t)中相应的平均速度为2. 物体按照s(t)=3t2+t+4的规律作直线运动，求

5、在4s附近的平均变化率.3. 过曲线y=f(x)=x3上两点P (1, 1)和Q(1+ A x,1+ A y)作曲线的割线，求出当A x=0.1时割线的 斜率.1. 1.2导数的概念.I一：问题提出问题：我们把物体在某一时刻的速度称为 。一般地，若物体的运动规律为S = f(t)，则物体在时刻t的瞬时速度V就是物体在t到t+筑这段时间内，当寸平均速度的极限，即s八叭石=二：导数的概念函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率是：我们称它为函数y=f(x)在x=Xo处的，记作f(Xo)或 即:求导数的步骤：求增量 ：y = f(x0 咲)-壮怡);(即_变化率)欢迎阅读即“一差；二比；三极限”。三

6、.典例分析 求y =x22在点x=1处的导数.附注：导数即为函数y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率；与上一节的平均变化率不同定义的变化形式:fx = lima = lim f(X0)-f(X0x)； 店_0 (心x)Xfx=limd=lim 少 d0 (也x)J0x x0f fx f (xo -也 X)- f (xo)；f x .o-；x =X X0，当 也XT 0 时，XT X，所以 f (x0) = jjm f (X)f (X0)四有效训练1、已知函数y二f(x)，下列说法错误的是()A、二y = f(X。；二X)- f (X0 )叫函数增量XB、負=f (x十I - f (x)叫函数在

7、x-,x- +Ax上的平均变化率 xC、f(x)在点X0处的导数记为yf(x)在点Xo处的导数记为f(X。)2若质点A按规律S =2t2运动，则在t =3秒的瞬时速度为()A、B、18设函数f(x)可导，则f (1)C、 54D、 81.f(1+Ax) f(1)(、 lim=().X )01 f (1)33xC 、不存在 D、以上都不对平均变化率与导数的定义1、2函数f x=x在区间-1,3上的平均变化率是A、2、经过函数y =-2x2图象上两点A、B的直线的斜率(Xa =1.5,Xb =1 )为;函数y = 2x2在区间1，1.5上的平均变化率为 3、如果质点M按规律s=3+t2运动，则在时

8、间2，2.1中相应的平均速度等于 欢迎阅读14、函数y = x + 在X =1处的导数是X5已知函数f （x -X2 1，分别计算f X在下列区间上的平均变化率（1）1，1.01（2）0.9,16已知一次函数y = f（x）在区间-2，6上的平均变化率为2，且函数图象过点（0, 2），试求此一次函数的表达式。2Av7已知函数v = f（x）=2x -1的图象上一点（1，1）及邻近一点（1+处，f（1十也X ）,求二8. 将半径为 R 的球加热，若球的半径增加 R ， 则球 的体积增量243也 V =4nR（人 R）2 + 兀（也R）3 +（_39. 求函数y=x2在x=1,2,3附近的平均变化率，取Ax都为丄，哪一点附近的平均变化率最大？31 210.