直角三角形在二次函数中的存在性问题

1、复习课 二次函数与几何图形存在性问题直角三角形的存在性问题教学设计普定县第二中学 孙家坤二次函数与几何图形存在性问题课题 学科 数学直角三角形的存在性问题教材背景及学情分析本节课的内容是人教版义务教育课程标准实验教科书数学九年级（上）二次函数的复习综合内容。 本节课主要是研究抛物线与直角三角形存在性的综合问题， 是在学生了解了抛物线及其性质的基础上进行的， 它是前面所学知识的应用。因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用。1. 知识与技能通过探索理解并掌握 :（1）在平面直角坐标系表示线段的长。教学（2）探究直角三角形在抛物线中的存在性问题。2. 过程与方法 目标重难 通过动

2、手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、点分发现新问题，探究和解决问题的能力。析3. 情感态度与价值观（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣。（2）在师生之间、 生生之间的合作交流中进一步树立合作意识， 培养合作能力，体验学习的快乐。（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。4. 教学重点：探索直角三角形在抛物线中的存在性问题， 并利用其解决相关问题。5. 教学难点： 在抛物线中探究直角三角形的存在。教学环节教师活动学生活动设计意图媒体使用例2如图，已知抛物线 y12x bxc 经过点观察B(4，0)和点 C(0，2)，

3、与 x 轴的另一个交点为思考，点A，其对称轴 l 与 x 轴交于点 E，过点 C且平行带着问题 x 轴的直线交抛物线于点 D，连接 A D。进入 多媒学习。 体展示课件学 生 能够 根 据已 知 条活动 1：典 例 精讲(1) 求该抛物线的解析式；【思路点拨】件 求 出二 次 函数 的 解析式。解：略(2) 判断ABD的形状；【思路点拨】能 够 由点 的 坐 判断三角形形状， 一般为特殊三角形， 若两边相等， 则为等腰三角形； 若三边相等， 则为等边三 标 求 出角形；若两条边的平方和等于第三边的平方， 则为 三 角 形直角三角形。解：略(3)P 为线段 AD上一点，连接 P E，若APE是直

4、角三角形，求点 P的坐标；的边长，再 由 三边 满 足勾 股 定【思路点拨】理 的 逆定 理 判断 三 角 电子形 的 形 白板状。 书写学生 解答书写 过程。求解过程。会 分 类讨论，求出 满 足条 件 的 解：略点 的 坐标。(4) 抛物线的对称轴上是否存在一点 P，使APD是直角三角形，若存在，求出 P 点坐标；若不存在，请说明理由【思路点拨】会 利 用两 点 间的 距 离公 式 表示 处 三角 形 的分别利用勾股定理， 列出方程求解 若有解， 则存在；若无解，则不存在解：略边长，能熟 练 进行 分 类讨论，从而 求 出满 足 条件 的 点的坐标。活动 2：归 纳 总结（满分让 学 生经

5、 历 从总结生 活 中技法） 对于抛物线与直角三角形的综合问题， 解题时， 一 般需做好以下几点：归纳，抽 象 出得出数 学 知1利用坐标系中两点距离公式，得到所求三角形 三边平方的代数式；解决识 的 过多媒体展示。这类程，使他 2确定三角形中的锐角，若存在锐角，则只需使问题们 体 会得另外两个角中任意一个角为直角，并利用的方到 学 习 勾股定理列方程求解；若无法确定哪个角是法。数 学 的 锐角，则需要讨论三个角；3根据勾股定理得到方程，并解方程即可，若方乐趣。程有解，此点存在；否则不存在；4有时也可以考虑运用所求三角形与已知的直角三角形相似， 利用比例关系求出对应的参数1. 如图，已知抛物线

6、 yax2bxc(a 0)的对称轴为直线 x1，且抛物线经过 A(1，0)，C(0，3)两点，与 x 轴交于点 B. 通 过 练 白学 生(1) 若直线 ymxn 经过 B、C两点，求直线分 析习，进一 板书B C和抛物线的解析式；题意，步 巩 固 写解(2) 设点 P为抛物线的对称轴 x1上的一个动点，求使 BPC为直角三角形的点 P的坐标探 究思路，并 完成 解学 生 解决 此 类问 题 的答过程。投 熟 练 程 影仪答 过活动 3：程。 度，提高 展示针对分 析 问 学生演练题、解决 的解问 题 的 答结 第 1 题图能力。 果。解：(1) 依题意得b12a，解得abc0c3a1b2，c

7、3抛物线解析式为 yx22x3，对称轴为 x1，抛物线经过 A(1，0)，B(3，0) ，把B(3，0) ，C(0，3)分别代入 ymxn 得，3mn0n3，解得m1n3，直线 BC的解析式为 yx3；第 1 题解图(2) 设 P(1，t) ，B(3，0) ，C(0，3) ，2BC18，PB2( 13) 2t 24t 2，PC2( 1) 2(t 3)2t 26t 10，2 2 2若PBC90 ，则 BCPBPC，即184t 12， 2t 26t 10，解得 t2t 26t 10，解得 t点P 的坐标为( 1，2)；2 2 2若PCB90 ，则 BCPCPB，即18t 24，点 26t 104t

8、 2，解得 t26t 104t 2，解得 tP的坐标为( 1，4)；2 2 2若BPC90 ，则 PBPCBC，即4t2t 26t 1018. 解得 t 3 173 ， 23 17t 4 ，点 P的坐标为( 1，32 3 171， ) 217) 或( 2综上所述，满足条件的点 P共有四个，分别为：( 1，2)，3 17 3 17( 1，4) ，( 1， ) ，( 1， ) (102 2分)2. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 yx2bxc 过 A，B，C三点，点 A的坐标是 (3，0)，点 C的坐标是(0 ，3) ，动点 P在抛物线上(1) 求抛物线的解析式及点 B的坐标；(2) 是否存

9、在点 P，使得ACP是以 A C为直角边的直角三角形？若存在， 求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；解：(1) 把点 A(3，0) 、C(0，3)的坐标分别代入抛物线的解析式 yx2bxc 得出方程组93bc0 b2，解得 ，c3 c3抛物线的解析式是 yx22x3，令 x22x30，解得 x11，x23，点 A的坐标为 (3，0) ，第 2 题解图点 B 的坐标是( 1，0); (2) 存在如解图， 过点 C作 AC的垂线与抛物线交于点 P，与 x 轴交于点 N，OCO A3，ONOC3，N(3，0)，直线 CN经过 C(0，3)，N(3，0)，直线 CN的解析式是 yx3，抛物线与直线 CN交于一点，x 11，x20，22x3x3，解得 x当x0 时，点 P 与点 C重合，不合题意，当x1 时，y4，此时点 P 的坐标是 (1，4).过点 A作AC的垂线，交 y 轴于点 M，点 M 的坐标为(0，3) ，直线 A M经过 A(3，0)，M(0，3) ，直线 A M的解析式是 yx3，抛物线