141变量与函数

1、变量【目标导航】1、知识与技能：（1）理解变量、常量的概念以及相互之间的关系；能指出一个变化过程中的变量与常量。（2）能找出变量之间的简单关系，列出简单关系式。2、过程与方法：（1）通过小组合作探究，得出常量与变量的概念，为学习函数定义作准备；（2）通过实际问题的探究，学生能准确地认识常量与变量，理解两个概念之间的联系与区别。3、情感、态度与价值观：学生通过对实际问题的讨论和分析，感受函数的普遍性，体会事物之间的相互联系与制约。重点难点：1、重点：理解变量的实际意义。2、难点：常量与变量之间的关系，准确判断变量。【知识梳理】变量常量【问题探究】1正方形的边长为a，那么它的周长是，面积是，正方形

2、的边长越大，其周长越，其面积越2摩托车以每小时60千米的速度行驶，2小时所行路程为，m小时行驶的路程是，行驶时间越长，行驶路程越3汽车行驶前油箱中有油55升，已知每百千米汽车耗油10升，油箱中的余油量Q升与它行驶的距离s（百千米）之间的关系是4 请讨论下面的问题：（1）圆的周长公式为，请取的一些不同的值，算出相应的的值： cm c= cm cm c= cm cm c= cm 在计算半径不同的圆的周长的过程中，哪些量在改变，哪些量不变？（2）假设钟点工的工资标准为6元/时，设工作时数为t,应得工资额为m,则m=6t 取一些不同的的值，求出相应的的值： 在根据不同的工作时数计算钟点工应得工资额的过

3、程中，哪些量在改变？哪些量不变？【例题讲解】例 1圆的半径改变时，圆的周长也随之改变，这个改变可按公式来计算，其中C是圆的周长，r是圆的半径，是常数（1）在这个变化过程中，变量和常量各是什么？（2）求半径分别是1，2，5，10时的周长例2（1）设圆柱的底面半径r不变，圆柱的体积V与圆柱的高h的关系式是，在这个式子中常量和变量分别是什么？（2）设圆柱的高h 不变，圆柱的体积V与圆柱的底面半径r的关系式中，常量和变量分别又是什么？例3四川的横段山脉属典型的高山气候，山脚鸟语花香，山顶白雪皑皑一科研小组想研究气温随山高的变化规律，已知测定地面气温是20，如果每升高1 km，气温下降6写出气温t()与

4、高度h(km)的关系，并求出高度分别为1km和7km时的气温例4ABC底边BC上的高是6cm，当三角形的顶点C沿底边BC向点B运动时，三角形的面积发生了变化，如图所示（1）如果三角形的底边BC长为xcm，那么三角形的面积ycm2可以表示为 ；（2）在这个变化过程中，常量是 ，变量是 ；（3）当底边长从12cm变化到3cm时，三角形的面积从 cm2变化到 cm2例5 刘明学习小组利用同一块木板,测量了小车从不同高度下滑的时间,他们得到如下数据:支撑物高度cm1020304050小车下滑时间s423300245213189(1) 支撑物高度为40 cm时,小车下滑的时间是多少?(2) 如果用h表示

5、支撑物高度,t表示小车下滑时间,随着h逐渐变大,t的变化趋势是什么?(3) h每增加10cm,t的变化情况相同吗?(4) 估计当h= 60cm时,t的值是什么?【课堂操练】1写出下列各问题中所满足的关系式，并指出各个关系式中，哪些量是变量，哪些量是常量？(1)用总长为60m的篱笆围成矩形场地，求矩形的面积S（m2）与一边长x(m)之间的关系式； (2)购买单价是04元的铅笔，总金额y（元）与购买的铅笔的数量n(支)的关系； (3)运动员在4000m一圈的跑道上训练，他跑一圈所用的时间t(s)与跑步的速度v(m/s)的关系；(4)银行规定：五年期存款的年利率为279%,则某人存入x元本金与所得的

6、本息和y（元）之间的关系2写出下列各问题中所满足的关系式（1）每张电影票的售价为10元，如果早场售出票150张，日场售出票205张，晚场售出票310张，三场电影的票房收入各多少元？设一场电影受出票x张，票房收入为y元，怎样用含x的式子表示y?（2）用10m长的绳子围成长方形，试改变长方形的长度，观察长方形的面积怎样变化记录不同的长方形的长度值，计算相应的长方形面积的值，探索它们的变化规律，设长方形的长为xm,面积为Sm2,怎样用含x的式子表示S？【课后巩固】1n箱苹果重p千克，每箱重_千克2甲同学身高a厘米，乙同学比甲同学高6厘米，则乙同学身高为_厘米3全校学生总数是x，其中女生占40%，则女

7、生人数是_4一个两位数，个位数是x，十位数是y，这个两位数为_，如果个位数字与十位数字对调，所得的两位数是_5在边长为a的正方形内，挖出一个底为b，高为05a的正三角形，则剩下的面积为_6在西部大开发的过程中，为了保护环境，促进生态平衡，国家计划以每年10%的速度栽树绿化，如果第一年植树绿化是a公顷，那么到第三年的植树绿化为_公顷7我们知道： 1+3=4=22； 1+3+5=9=32； 1+3+5+7=16=42； 1+3+5+7+9=25=52 根据前面各式规律，可以猜测： 1+3+5+7+9+（2n-1）=_（其中n为自然数）8夏季高山上温度从山脚起每升高100米降低07，已知山脚下温度是

8、23，则温度y与上升高度x之间关系式为_9汽车开始行驶时油箱内有油40升，如果每小时耗油5升，则油箱内余油量升与行驶时间t小时的关系是_10某种报纸的价格是每份04元，买x份报纸的总价为y元，先填写下表，再用含x的式子表示y份数/份1234价钱/元x与y之间的关系是_11“龟兔赛跑”讲述了这样一个故事:领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟,骄傲起来,睡了一觉当它醒来时,发现乌龟快到终点了,于是急忙追赶,但为时已晚,乌龟还是先到达了终点用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路程,t为时间,则如图所示的图象中与故事情节相吻合的是 ( )12写出下列问题中的关系式，并指出其中的变量和常量 （1）用20cm的铁

9、丝所围的长方形的长x（cm）与面积S（cm2）的关系 （2）直角三角形中一个锐角与另一个锐角之间的关系 （3）一盛满30吨水的水箱，每小时流出05吨水，试用流水时间t（小时）表示水箱中的剩水量y（吨）13思考：瓶子或罐头盒等物体常如下图那样堆放试确定瓶子总数y与层数x之间的关系式14如图，足球由正五边形皮块（黑色）和正六边形皮块（白色）缝成，试用正六边形的块数x表示正五边形的块数y，并指出其中的变量和常量（提示：每一个白色皮块周围连着三个黑色皮块）15我市出租车价格是这样规定的：不超过25千米，付车费5元，超过的部分按每千米13元收费已知某人乘坐出租车行驶了x（x25）千米，付车费y元，请写出

10、出租车行驶的路程x（千米）与所付它费y（元）之间的关系式函 数【目标导航】1.了解自变量、函数的概念2会写出有关实例中的函数关系式，会求函数值，会确定自变量的取值范围【要点梳理】活动1 函数的定义1函数的定义：设在某变化过程中有 ，对于x的 ，y都有 ，那么就说y是x的函数，x是自变量 2下列关于变量x，y的关系：，其中x是y的函数的是： 3下列变量之间的关系不是函数关系的是（ ）A长方形的面积一定，其长与宽 B正方形的周长与面积C等腰三角形的周长与面积 D圆的面积与圆的半径活动2 确定自变量的取值范围4求下列函数中自变量x的取值范围：； ； ； ； 5今有400本图书借给学生阅读，每人借8本

11、，求余下的书本数y与学生数x之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围指出：函数关系式中自变量的取值范围必须使函数解析式都有意义当函数解析式是整式时，自变量的取值范围可取全体实数当函数解析式是分式（分母中含有字母）时，自变量的取值范围要使分母不为零当函数解析式是偶次根式时，自变量必须使被开方数是非负数对于实际问题中的函数，除使解析式有意义外，还要使实际问题有意义活动3 根据要求确定函数解析式6已知等腰三角形周长为80cm，一腰长为x（cm），底边长为y（cm），求y与x的函数关系式并求出自变量x的取值范围7弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）有如下关系：x/

12、kg0123456y/cm1212.51313.51414.515请写出弹簧总长y（cm）与所挂物体质量x（kg）之间的函数关系式；当挂物重10千克时，弹簧的总长是多少？活动4 函数的值8求下列函数当时的函数值：； 9一辆汽车的油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶里程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油是为0.1 L/km写出表示y与x的函数关系式指出自变量x的取值范围汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？【课堂操练】10下列式子中的y是 x的函数吗？为什么？； ； ； ； 11求下列函数中自变量x的取值范围：； ； ； ；12写出等腰三角形中顶角

13、的度数y与底角度数x之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围13当x为何值时，函数中 y的值为0？14已知：等腰三角形的周长为30cm，设底边长为y cm，腰长为x cm，试写出y与x的函数关系式，并确定x的取值范围若底边长为6cm，求腰长是多少？15学校创建多媒体教学中心，备有资金180万元，现计划分批购进电脑x台，每台电脑售价6千元求所剩资金y与电脑台数x之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围；求当x100台时所剩资金y的值【课后巩固】1下列变量间的关系不是函数关系的是（ ）A等式中的x与y B正方体中的棱长与表面积C一个人的年龄与体重 D某公园十月份的天数与累计游园的人数2下列函数中，

14、自变量x的取值范围选取错误的是（ ）A，x取全体实数B，x取全体实数C中，x取的全体实数D中，x取的全体实数3以等腰三角形底角的度数x为自变量（单位：度），则顶角的度数y与 x的关系式为（ ）A B C D4下列函数中，自变量x的取值范围不是全体实数的是（ ）A B C D5某超市为了促销，推出“国庆销售大酬宾”活动，其内容为“凡在该超市一次购物超过50元者，超过50元的部分按9折优惠”在大酬宾活动中，小明到该超市为单位购买单价为30元的办公用品x件（x2），则应付货款y（元）与商品件数x的函数关系式是（ ）A B C D6下列函数中，与函数表示同一函数的是（ ）A B C D7下列关于x与y

15、的四个关系式：；其中y是x的函数是：8甲乙两地相距100km，一辆汽车以每小时40km的速度从甲地开往乙地，t小时与乙地相距S km，S与t的函数关系式是 ；自变量t的取值范围是 ；通过2 h汽车与乙地的距离是 km；通过 h，汽车与乙地相距19 km9某物体从上午7时到下午4时的温度m（）与时间t（h）的函数关系式是（其中t 0时表示中午12时，t 1时表示下午1时），则上午10时此物体的温度为 10写出下列函数自变量的取值范围：；11某种活期储蓄的月利率是0.16%，存入10000元本金，按国家规定，取款时应缴纳利息部分5%的利息税，则这种活期储蓄扣除利息税后实得本息和y（元）与所存月数x

16、之间的函数关系式为 当存入20个月，本息和为 元12将代入函数中，所得的函数值记为，又将代入函数中，所得函数值记为，再将代入函数中，所得函数值记为，如此继续下去，则 13已知：函数，当x2时，y3求k的值；当时，求y的值14某车间有工人20名，已知每名工人每天可制造甲种零件6个或乙种零件5个，每制造一个甲种零件可获利150元，每制造一个乙种零件可获利260元在这20名工人中，每天按排x名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件写出y与x的函数关系式；若要使车间每天所获利不低于24000元，则至少派多少名工人去制造乙种零件才合适 15如图，在矩形ABCD中，AB2，BC7，P是BC边上与B点不重合

17、的动点，过点P的直线交CD的延长线于E，交AD于Q（Q与D不重合），且EPC45，设BPx，梯形CDQP的面积为y，求当0x2时，y与x之间的函数关系式【课外拓展】16某学校新建阶梯教室，第一排有25个座位，后面每排都比前一排多一个座位，若第n排有m个座位，教室共有p个座位求m与n，p与n之间的函数式；若教室座位共有15排，座位总数将达到多少个？17如图，正方形ABCD的边长为1，E是CD的中点，P为正方形ABCD边上一个动点，动点P从A点出发，沿ABCD运动，到达E点若点P经过的路程为x，APE的面积为y，则当时，求x的值函数的图象（1）【目标导航】1会由函数的图象获取函数的性质，判断点与函

18、数图象的位置关系；会用描点法画函数图象；2了解函数的三种表示方法，学会观察、分析函数图象信息【要点梳理】活动1正方形的边长x与面积s的函数关系为s=x2，其中自变量x的取值范围是 .利用在坐标系中画图的方法来表示s与x的关系。活动2一般地，对于一个函数，若把自变量与函数的每对对应值分别作为点的 、 ，则坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的 。活动3思考：下图是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温如何随时间t的变化而变化你从图象中得到了哪些信息？9活动3例1 下图反映的过程是小明从家去菜地浇水，又去玉米地锄草，然后回家其中x表示时间，y表示小明离他家的距离根据图象回答下列问题

19、：（1）菜地离小明家多远？小明走到菜地用了多少时间？（2）小明给菜地浇水用了多少时间？（3）菜地离玉米地多远？小明从菜地到玉米地用了多少时间？（4）小明给玉米地锄草用了多长时间？（5）玉米地离小明家多远？小明从玉米地走回家平均速度是多少？例2 下列式子中，对于x的每一个确定的值，y有唯一的对应值，即y是x的函数，画出这些函数的图象：（1）y=x+0.5；（2）y= 活动4描点法画函数图象的一般步骤：第一步： （ ）；第二步： （ ）；第三步： （ ）。活动6阅读课本103页【课堂操练】1下列曲线中，表示不是的函数是（ ）2已知点A（2，a）在函数图象上，则a的值为（）A1B1 C2 D23下列

20、函数中，图象一定经过原点的函数是（ ）Ay3x2 B C D4某住宅小区六月份中1日至6日每天用水量变化情况如折线图所示，那么这6天的平均用水量是 。5在所给的直角坐标系中画出函数的图象6画出函数的图象【课后巩固】1正常人的体温一般在37左右，但一天中的不同时刻不尽相同.下图反映了一天24小时内小明体温的变化情况，下列说法错误的是（ ）A清晨5时体温最低 B下午5时体温最高C这一天中小明体温T(单位：)的范围是36.5T37.5D从5时至24时，小明体温一直是升高的2某游客为爬上3千米高的山顶看日出。先用1小时爬了2千米，休息0.5小时后，再用1小时爬上山顶。游客爬山所用时间t与山高h间的函数

21、关系用图形表示是（）3今年又是海南水果的丰收年，某芒果园的果树上挂满了成熟的芒果，一阵微风吹过，一个熟透的芒果从树上掉了下来下面四个图象中，能表示芒果下落过程中速度与时间变化关系的图象只可能是（ ）4均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示(图中OABC为一折线)，这个容器的形状是图中（ ）5某人骑车外出，所行的路程S（千米）与时间t（小时）的函数关系如图所示，现有下列四种说法：第3小时中的速度比第1小时中的速度快；第3小时中的速度比第1小时中的速度慢；第3小时后已停止前进；第3小时后保持匀速前进。其中说法正确的是 （ ）A、 B、 C、 D、6

22、一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发，图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s（米）与登山所用的时间t（分钟）的关系（从爸爸开始登山时计时）。根据图象，下列说法错误的是（ ）A爸爸开始登山时，小军已走了50米 B爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面C小军比爸爸晚到山顶D爸爸前10分钟登山的速度比小军慢， 10分钟之后登山的速度比小军快7如图（1）是某蓄水池的横断面示意图，分深水区和浅水区，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面图（2）中哪个图象能大致表示水的深度h和时间t之间的关系是（ ）8汽车在行驶过程中，速度往往是变化的，如图4的

23、图象表示一辆汽车的速度随时间变化而变化的情况观察图象回答：(1)汽车从出发到最后停止共经过了多少时间？它的最高时速是多少？(2)汽车在哪些时间匀速行驶？时速分别是多少？(3）出发后8分到10分之间可能发生了什么？(4)用自己的语言大致描述这辆汽车的行驶情况91某班同学在探究弹簧的长度与拉力的变化关系时，记录实验得到的相应数据如下表所示：则y关于x的函数图象是图中的（ ）10一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为，两车之间的距离为，图中的折线表示与之间的函数关系根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km；（2）请解释图中点的实际意义

24、；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；问题解决（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？函数图象（2）【要点梳理】1.函数的表示方法为列表法、解析式法和图象法，这三种方法在解决问题时是可以相互转化的。有时为全面地认识问题，需要同时使用几种方法。 2.强化从图形中分析变量的相互关系，寻找对应的现实情境，预测变化趋势等问题【问题探究】例1一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记录了这5个小时水位高度.(1) 由记录表推出

25、这5个小时中水位高度y(单位米)随时间t （单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象；(2) 据估计这种上涨的情况还会持续2个小时，预测再过2个小时水位高度将达到多少米？解：（1） 。（2） 例2 已知函数y=2x-3，（1）按列表、描点、连线的步骤，画出函数图象；（2）求：函数图象与x轴、y轴的交点坐标；【课堂操练】1. 用列表法与解析式法表示n边形的内角和m（单位：度）是边数n的函数.解：n34nmm= 2.用解析式法与图象法表示等边三角形的周长l是边长a的函数。解：3点A（1，m）在y=2x的图象上，则m的值是（ ）A1 B。2 C。 D。04M（1，2）、N（3，1.5）、（，-）、

26、Q（-2，-4）四点中，在函数图象上的点是（ ） AM点 B。N点 C。P点 D。Q点如图所示，四个图象分别给出了变量与的对应关系，其中是的函数图象是（） 6设点（）是函数的图象上一点，则（）。7若点（）（a0）在函数的图象上，那么常数 （）。难定8已知函数的图象经过点（2，5），则当=3时，的值为（）。4。5。6。79如果点（1,2）既在函数的图象上，又在函数的图象上，那么的值为（）。2。2 。4 。410函数有种表示法，它们是、和11画函数图象一般按下列步骤：（），（），（）12已知点在函数的图象上，则=13函数的图象与轴的交点的坐标为，与轴交点的坐标为14若=2时，函数和函数的值相等，则15设点，都在函数的图象上，则的值为16已知函数，当时，函数图象在第四