二重积分的概念及几何意义精编版

1、 一、问题的提出 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 顶柱体顶柱体 做曲做曲上连续这样的立体叫上连续这样的立体叫在在 且且，这里，这里面面 轴的柱面，它的顶是曲轴的柱面，它的顶是曲平行于平行于 线线的边界曲线为准线而母的边界曲线为准线而母是以是以 ，它的侧面，它的侧面面上的闭区域面上的闭区域 设有一立体，它的底是设有一立体，它的底是 D yxfyxfz z D Dxoy 0),(),( x z o ),(yxfz y D 定义定义 体积体积= = 曲边梯形面积的求法曲边梯形面积的求法 “分割、近似、求和、取极限分割、近似、求和、取极限”的思想方法的思想方法 平顶柱体的体积计算平顶柱体的体积计算 底面

2、积底面积高高 曲顶柱体的体积计算曲顶柱体的体积计算 以直线代曲线以直线代曲线 以平面代曲面以平面代曲面 步骤如下：步骤如下： 个小闭区域个小闭区域分成分成先用曲线网把先用曲线网把nD ., 21n x z y o x y z o ),(yxfz 并取典型小区域并取典型小区域, , D i D ),( ii 用若干个小平用若干个小平 顶柱体体积之顶柱体体积之 和近似表示曲和近似表示曲 顶柱体的体积顶柱体的体积 . . .),(lim 1 0 ii n i i fV 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 . .求平面薄片的质量求平面薄片的质量 将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其

3、近似取典型小块，将其近似 看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和 近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量 .),(lim 1 0 ii n i i M . 0),(),(),( , 计计算算该该薄薄片片的的质质量量续续 上上连连且且在在处处的的面面密密度度为为点点 它它在在面面上上的的闭闭区区域域有有设设有有一一平平面面薄薄片片占占 Dyxyxyx DxOy ),( ii i D x y O 二、二重积分的定义 ,),(),( . , .),( 21 iiiii iii n f DDi DDDnD Dyxf 作乘积作乘积任取一点任取一点 上上在每个在每个的面积的面积个小闭

4、区域个小闭区域表示第表示第用用 并并个小闭区域个小闭区域任意划分成任意划分成区域区域 将闭将闭上的有界函数上的有界函数是有界闭区域是有界闭区域设设 n i iii f 1 .),( 并并作作和和 定义定义 即即记记作作的的二二重重积积分分 上上在在闭闭区区域域则则称称此此极极限限为为函函数数的的极极限限存存在在 该该和和时时径径中中的的最最大大值值如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直 ,d),(, ),(, ,0 D yxf Dyxf .),(limd),( 1 0 i n i ii D fyxf 对二重积分对二重积分(double integral)定义的说明定义的说明 ,ddd , d

5、, ,)1( yx D i 积元素积元素 在直角坐标系中面在直角坐标系中面和中的和中的 表示积分表示积分面积元素面积元素是任意的是任意的 的划分的划分对闭区域对闭区域在定义中在定义中 x y o 此此时时二二重重积积分分为为 .dd),(d),( DD yxyxfyxf . ,),()2( 上的二重积分必定存在上的二重积分必定存在 那么它在那么它在上连续上连续在闭区域在闭区域如果函数如果函数DDyxf 三、二重积分的几何意义三、二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积的负 值值 二重积分的几何意义二重积分的几何意义 二重积分是各部分区域二重积分是各部分区域 上柱体体积的代数和，在上柱体体积的代数和，在xoy 平面上方的取正，在平面上方的取正，在xoy平面平面 下方取负下方取负 x y z 0 例例 根据二重积分的几何意义判断下例积分的值根据二重积分的几何意义判断下例积分的值. . ， 222222 :,dayxDyxa D 3 4 2 1 d 3 222 a yxa D 解解投影区域为圆域投影区域为圆域 ，