水力学5.1(2、3)实际流体的动力学基础(N-S方程,能量方程)

1、5 实际实际(粘性粘性)流体的动力学基础流体的动力学基础 本章主要任务本章主要任务: 实际实际(粘性粘性)流体流体 给出实际给出实际(粘性粘性)流体的运动微分方程流体的运动微分方程 (N-S方程方程),在此基础上讨论元流和恒定在此基础上讨论元流和恒定 总流的伯努利方程总流的伯努利方程(能量方程能量方程),动量方程动量方程 的推导以及它们的意义和应用的推导以及它们的意义和应用 仅有连续性方程远远不能解决实际仅有连续性方程远远不能解决实际 问题问题,如如:作用力作用力,能量问题等能量问题等 5 实际实际(粘性粘性)流体的动力学基础流体的动力学基础 5.1 粘性流体的运动方程粘性流体的运动方程:N-

2、S方程方程 5.2 恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程(能量方程能量方程) 5.3恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程(能量方程能量方程) 5.1 粘性流体的运动方程粘性流体的运动方程:N-S方程方程 z u u y u u x u u t u u x p X x z x y x x x x 2 1 z u u y u u x u u t u u y p Y y z y y y x y y 2 1 z u u y u u x u u t u u z p Z z z z y z x z z 2 1 (5.1) N-S方程仅适用于牛顿流体方程仅适用于牛顿流体,不可压缩的流体运动不可压缩的

3、流体运动 实际流体的运动微分方程实际流体的运动微分方程纳维埃纳维埃斯托克斯斯托克斯 方程方程(N-S(N-S方程方程) ) 5.2 恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程(能量方程能量方程) g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1 对于实际流体对于实际流体,因具有粘滞性因具有粘滞性,流体在流动过程流体在流动过程 中内摩擦阻力作功而消耗了一部分机械能中内摩擦阻力作功而消耗了一部分机械能 不可逆地转变为热能而消耗掉。不可逆地转变为热能而消耗掉。 对于理想流体对于理想流体,其伯努利方程：其伯努利方程： 所以流体的机械能将沿程减小。所以流体的机械能将沿程减小。 5.2恒定元流的

4、伯努利方程恒定元流的伯努利方程(能量方程能量方程) w h g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1 5.2恒定元流的伯努利方程恒定元流的伯努利方程(能量方程能量方程) (5.6)式只适应于式只适应于同一恒定元流同一恒定元流的任意两个过流断面的任意两个过流断面 w h g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1 5.3恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程(能量方程能量方程) 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 5.3.3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 5.3.2 实际流体

5、恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 Z X G dn dZ P P+dp 在渐变流中任一过水断在渐变流中任一过水断 面上面上,任两相邻流线间取任两相邻流线间取 一微小圆柱体一微小圆柱体,高高dn,底面底面 积积dA,因为流线近似平行因为流线近似平行, 所以圆柱体在所以圆柱体在n方向上所方向上所 受的惯性力受的惯性力=0,于是于是n方方 向的平衡方程向的平衡方程: n 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 X G dn dZ P+dp P Z pdA-(p+dp

6、)dA+dAdncos=0 - -dp+dncos=0 n 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 - -dp- -dzdz=0 dp+ +dzdz=0 X G dn dZ P+dp P Z dncos=-dz-dz 积分后得积分后得: C p z n - -dp+dncos=0 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 C p z 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 注意注意:(5.9)式与式与(2.8)(p11)式的区别式的区别: C p z (2.8) (2.8

7、) 式式:静压强的分布规律静压强的分布规律,静止液体中各静止液体中各 处的处的 均相等均相等. p z 5.3.1 渐变流及其过流断面上动水压强的分布渐变流及其过流断面上动水压强的分布 如图如图 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 wi ii i ii i h g up z g up z 22 2 22 2 2 11 1 (5.10) 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 QQQQQ iwii i i i ii i i i i dQhdQ g u dQ p zdQ g u

8、 dQ p z 2 )( 2 )( 2 22 2 2 11 1(5.11) 上式中有三种类型的积分上式中有三种类型的积分: (1)第一类积分第一类积分: Q dQ p z )( 若所取断面为渐变流断面若所取断面为渐变流断面,则则 C p z 于是于是 Q p zudA p zdQ p zdQ p z AQQ )()()()( (5.12) 上式表明总流重量流量上式表明总流重量流量Q所具有的势能所具有的势能 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 QQQQQ iwii i i i ii i i i i dQhdQ g u dQ p zdQ g u dQ p z 2 )(

9、 2 )( 2 22 2 2 11 1(5.11) (2)第二类积分第二类积分: 一般地一般地,过流断面的流速过流断面的流速u不等不等,但总流分析法中但总流分析法中 只注重断面平均流速只注重断面平均流速v, v可能大于或小于实际流可能大于或小于实际流 速速u,差值为差值为u.即即u=vu 于是于是 上式表明总流重量流量上式表明总流重量流量Q所具有的动能所具有的动能 Q dQ g u 2 2 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 AAAAA dAuvAdAuvdAdAuvudAvAQ)()()( A AAQ dAuuvuvv g dAuv g udAu g dQ g

10、u )()(3)(3 2 )( 222 3223 32 2 因为因为 所以所以 0)( A dAu 于是于是 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 )(3(0 2 )()(3)(3 2 )()(3)(3 22 23 3223 3223 2 dAuuvAv g dAudAuvdAuvdAv g dAuuvuvv g dQ g u A AAAA AQ 则则 令令 于是于是 Av dAuuv Av dAuuvAv AA 3 2 3 23 )(3( 1 )(3( Q g v vAv g Av g dQ g u Q 2222 2 23 2 (5.16) (5.15) 5.3.

11、2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 流速分布越均匀流速分布越均匀,越接近于越接近于1. 流速分布越不均匀流速分布越不均匀,的值越大的值越大. 为简便，常常取为简便，常常取 动能修正系数动能修正系数1 一般渐变流一般渐变流, 1.051.10 其具体大小取决于断面流速分布其具体大小取决于断面流速分布: 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 QQQQQ iwii i i i ii i i i i dQhdQ g u dQ p zdQ g u dQ p z 2 )( 2 )( 2 22 2 2 11 1(5.11) (3)第三类积分第三类积分: 元流

12、的水头损失元流的水头损失,不同的元流不一定相等不同的元流不一定相等 代表总流中各元流重量流量代表总流中各元流重量流量dQ流经流经 各自的流段时，因克服阻力所损失的机各自的流段时，因克服阻力所损失的机 械能的总和。械能的总和。 Q w dQh Q w dQh hw 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 (3)第三类积分第三类积分: hw总流总流1-1至至2-2流段流段,单位重量流体能量损失的单位重量流体能量损失的 平均值平均值水头损失水头损失 于是（于是（5.11）式）式 Q w dQh Q ww Q w QhdQhdQh则则 QQQQQ iwii i i i ii

13、i i i i dQhdQ g u dQ p zdQ g u dQ p z 2 )( 2 )( 2 22 2 2 11 1 （5.17） 5.3.2 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程 QQQQQ iwii i i i ii i i i i dQhdQ g u dQ p zdQ g u dQ p z 2 )( 2 )( 2 22 2 2 11 1 于是（于是（5.11）式化为）式化为 （5.11） QhQ g v Q p zQ g v Q p z w 21 2 222 2 2 111 1 2 )( 2 )( 所以所以 21 2 222 2 2 111 1 22 w h g v

14、p z g vp z （5.18） 实际流体恒定总流的能量方程实际流体恒定总流的能量方程(伯努利方程伯努利方程) 5.3.3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 物理意义：物理意义： 21 2 222 2 2 111 1 22 w h g vp z g vp z （5.18） 能量方程能量方程(伯努利方程伯努利方程) (1)能量方程是动能定理的表达式能量方程是动能定理的表达式 能量方程改写为能量方程改写为: g v g v h pp zz w 22 )()( 2 11 2 22 21 21 21 能量方程中各项的物理意义和几何意义类似于实能量方程中各项的物理意义和

15、几何意义类似于实 际流体元流的伯努利方程式中的对应项际流体元流的伯努利方程式中的对应项,所不同所不同 的是指平均值的是指平均值. 5.3.3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 (2)能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式 g v g v h pp zz w 22 )()( 2 11 2 22 21 21 21 单位重力功单位重力功 单位压力功单位压力功 单位阻力功单位阻力功 单位动能的变化单位动能的变化 所有的外力在沿流方向对单位重量流体所作所有的外力在沿流方向对单位重量流体所作 的功等于该流体动能的增量的功等于该流体动能的

16、增量 A.单位重量流体所具有的机械能和其他形式的单位重量流体所具有的机械能和其他形式的 能能(主要是热能主要是热能)守恒守恒 表明表明: 5.3.3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 (2)能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式 A.单位重量流体所具有的机械能和其他形式的能单位重量流体所具有的机械能和其他形式的能 (主要是热能主要是热能)守恒守恒 consth g vp z hh g vp zh g vp z g vp z w www 2 222 2 3221 2 333 321 2 222 2 2 111 1 各断面所有能

17、量保持守恒各断面所有能量保持守恒,即在给定的即在给定的 液流中其总能量是保持不变的液流中其总能量是保持不变的. 上式表明上式表明: 5.3.3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 (2)能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式 B.总总机械能互相转化过程中机械能互相转化过程中,有一部分由于克服有一部分由于克服 液流阻力液流阻力,转化为能量损失转化为能量损失,这种转化是不可逆的这种转化是不可逆的 212121 2 222 2 2 111 1 ) 2 ( 2 jfw hhh g vp z g vp z 21f h 沿程水头损失沿程水

18、头损失 21 j h 局部局部水头损失水头损失 5.3.3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 (2)能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式能量方程是能量守恒及其转化定律的表达式 C.总总机械能中机械能中势能和动能可互相转化势能和动能可互相转化,互相消长互相消长, 这种转化不是等量的这种转化不是等量的,有一部分转化为水头损失有一部分转化为水头损失. 同样同样,如机械能中动能不变如机械能中动能不变,则则位能和压能可相互位能和压能可相互 转化转化,互相消长互相消长,但也不是等量的转化但也不是等量的转化,其中有一部其中有一部 分转化为水头损失分转化为水头损失. 5.3.

19、3 实际流体恒定总流的能量方程的意义实际流体恒定总流的能量方程的意义 能量方程的几何意义能量方程的几何意义: 能量方程中的各项均是能量方程中的各项均是 长度量纲长度量纲,可用长度表示可用长度表示. 1.总流的中心线表示位总流的中心线表示位 置水头置水头z沿流的变化沿流的变化 2.测压管水头线测压管水头线:表示液表示液 流的势能沿程变化的情流的势能沿程变化的情 况况. 测管水头线在中心线以上测管水头线在中心线以上,压压 强为正强为正,反之反之,为负为负. 5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义实际流体恒定总流能量方程的意义 能量方程的几何意义能量方程的几何意义: 反映液流总机械能沿程反映液流

20、总机械能沿程 变化的情况变化的情况.也反映水头也反映水头 损失沿程变化的情况损失沿程变化的情况. 3.总水头线总水头线: 5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义实际流体恒定总流能量方程的意义 能量方程的几何意义能量方程的几何意义: (1)总水头线总是沿程下总水头线总是沿程下 降的降的(除非有外加能量除非有外加能量) 总水头线的坡度总水头线的坡度.代表单代表单 位流程上的水头损失位流程上的水头损失. 水力坡度水力坡度J: 5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义实际流体恒定总流能量方程的意义 能量方程的几何意义能量方程的几何意义: 水力坡度水力坡度J: 当总水头线为曲线时当总水头线为曲线时

21、, dl dH dl dh J w 当总水头线为直线时当总水头线为直线时, l h J w 5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义实际流体恒定总流能量方程的意义 能量方程的几何意义能量方程的几何意义: (2)测管水头线可沿程降测管水头线可沿程降 低或升高低或升高.为什么为什么? dl p zd J P )( 测管水头线测管水头线坡度坡度JP: 水力学中规定水力学中规定:所有沿所有沿 程下降的坡度为正程下降的坡度为正,所所 以式中有一负号以式中有一负号. 5.3.3 实际流体恒定总流能量方程的意义实际流体恒定总流能量方程的意义 能量方程的几何意义能量方程的几何意义: (3)在流速不变的流段内

22、在流速不变的流段内, 测管水头线与总水头线测管水头线与总水头线 平行平行.为什么为什么? 5.3.4 实际流体恒定总流能量方程的应用实际流体恒定总流能量方程的应用 能量方程的应用条件及注意事项能量方程的应用条件及注意事项: (1)必须是恒定流必须是恒定流,且为不可压缩的均质流体且为不可压缩的均质流体. (2)作用于流体上的质量力只有重力作用于流体上的质量力只有重力,所研究的流所研究的流 体边界是静止的体边界是静止的. (3)所取的两个过流断面一般应该是渐变流断面所取的两个过流断面一般应该是渐变流断面, 但两个断面之间可以不是渐变流但两个断面之间可以不是渐变流. (4)一般地一般地,所取两个断面

23、间没有流量的汇入和分所取两个断面间没有流量的汇入和分 出出;也无能量的输入和输出也无能量的输入和输出. 5.3.4 实际流体恒定总流能量方程的应用实际流体恒定总流能量方程的应用 能量方程的应用注意事项能量方程的应用注意事项: 一般选在较低位置一般选在较低位置,使使z0,各断面的各断面的z值应取同一值应取同一 基准面基准面. (2)压强水头压强水头p/r,同一方程中应采用同一标准同一方程中应采用同一标准.一般一般 用相对压强用相对压强. (3)对于渐变流断面对于渐变流断面,断面上任意点的断面上任意点的z+p/r=C,故故 取便于计算的点取便于计算的点. 一般地一般地,对于管流对于管流,取管轴中心线上的点为代表点取管轴中心线上的点为代表点. 对于明渠对于明渠,取表面上的点为代表点取表面上的点为代表点 (1)选择好基准面选择好基准面. 5.3.4 实际流体恒定总流能量方程的应用实际流体恒定总流能量方程的应用 能量方程的应用注意事项能量方程的应用注意事项: (4)严格地说严格地说,断面不同断面不同,其其不同不同,也也1.0,但在实用但在实用 上对渐变流大多数情况下上对渐变流大多数情况下,可