平面几何体积的计算

1、a b c a b 以三个不共面的非零向量以三个不共面的非零向量 为邻边，作一个平行六面体，那为邻边，作一个平行六面体，那 么这个平行六面体的体积是多少么这个平行六面体的体积是多少 呢？呢？ , ,a b c 7：体积（混合积）：体积（混合积） h =体积(V) 底面积(S) 高(h). |,Sa b | |coshc 而而 | |cos,|Va b ca b c =|.a b c | |cos,|.ca b c a b c a b 体积体积a b c 的绝对值表示以的绝对值表示以 为边的六面体为边的六面体 的体积，的体积， 的正负表示的正负表示 是右手系是右手系 还是左手系还是左手系. .

2、a b c , ,a b c ( , , )a b c a b c 三个向量三个向量 的体积的体积 ., ,a b ca b c .a b cb c aa b c 其中其中 应理解成应理解成 a b c ().ab c 如果如果 是右手系，则是右手系，则 也是右手也是右手 系，所以系，所以 ( , , )a b c( , , )b c a 即，外积和内积连乘时，只能先算外积再算即，外积和内积连乘时，只能先算外积再算 内积内积. 坐标表示下体积的计算公式坐标表示下体积的计算公式 111222333 ( ,),(,),(,),ax y zbxyzcxy z设设 ?a b c a b 122 11

3、()y zy z e 12122 ()z xx z e 12123 () .x yy x e a b c 122 13 ()y zy z x 12123 ()z xx zy 12123 ().x yy xz 因为因为 所以所以 1：两列对换，则行列式变号：两列对换，则行列式变号. 2：一列乘上一个数，行列式就乘上一个数：一列乘上一个数，行列式就乘上一个数. 3：把一列加到另一列去，行列式不变：把一列加到另一列去，行列式不变. 123111 123222 123333 xxxxyz yyyxyz zzzxyz a b c ().a bcaa b ca b aa b c 行列式的性质行列式的性质:

4、 验证验证3 三个向量 共面的条件：, ,a b c 111 222 333 0. xyz xyz xyz 例例1：写出四点：写出四点 共面的条件共面的条件 11112222 ( ,),(,),P x y zP xyz 33334444 (,),(,)P xy zP xyz =a b c 例例2：求顶点为：求顶点为 的四面体的体积的四面体的体积. 123 (1,2,3),(2,4,1),(1, 3,5),PPP 4 (4, 2,3)P 例例3: 直线直线 经过点经过点 并沿着方向并沿着方向 ，直线，直线 经经 过点过点 沿着方向沿着方向 ，假设，假设 不平行不平行 ，求它们，求它们 之间的距离

5、之间的距离. 1 l 1 P 1 v 2 l 2 P 2 v 1 l 2 l 1212 12 | | vv PP d vv 12 T ,T假设之间的距离 就是两条直线的距离 1 T 2 T 2 l 1 l 1 v 2 v 1 P 2 P 2 v 如何求两条直线的公垂线? 12 TT . l如图,公垂线 是所在 的直线 , ,1,2. i i ll i 设 和 所决定的平面 是 1 T 2 T 2 l 1 l 1 v 2 v 1 P 2 P l 12 ,.l那么 12112212 ,(),()vvvvvv 的法向量分别为 例例4 用向量运算把一个向量用向量运算把一个向量 表示成三个不共表示成三个

6、不共 面的向量面的向量 的线性组合的线性组合, ,a b c d 解解 问题是要解一个向量方程问题是要解一个向量方程 .xaybzcd 附注附注1 1 如果取定一个直角坐标系，设如果取定一个直角坐标系，设 123 (,),aa a a 123 ( ,),bb b b 123 ( ,),cc c c 123 (,).dd d d (1) 方程方程 转化成一个方程组转化成一个方程组(1) 1111 2222 3333 , , . a xb yc zd a xb yc zd a xb yc zd 这说明，向量分解的这说明，向量分解的 问题和解方程组的问问题和解方程组的问 题，本质上是一回事题，本质上

7、是一回事. . 附注附注2 2；设是；设是 三个任意不共面的向量，那三个任意不共面的向量，那 么例么例4 4说明空间中任何一个向量说明空间中任何一个向量 都可以唯一都可以唯一 地分解成它们的线性组合地分解成它们的线性组合: : , ,a b c d .dxaybzc ( , , )dx y z所以所以 如果再取定一点如果再取定一点 , ,那么任意一点那么任意一点 就可以用就可以用 向量向量 来确定了来确定了. .从而一点从而一点 和三个不共面的和三个不共面的 向量向量 也可以构成一个坐标系也可以构成一个坐标系. . OP OP O , ,a b c 点点 和三个不共面的向量和三个不共面的向量

8、也构成一个坐标也构成一个坐标 系系 ，把这样的坐标系叫做，把这样的坐标系叫做平行坐标系平行坐标系. 也叫也叫基本向量，基本向量，相应的坐标叫做相应的坐标叫做平行坐标平行坐标. O 123 ,a a a 123 ,O a a a 123 ,a a a 在平行坐标系中在平行坐标系中,任何任何 一个向量也可以写成一个向量也可以写成 基本向量的线性组合基本向量的线性组合. 平行坐标系平行坐标系 123 ,O a a a O 3 a 2 a 1, a 平行坐标系平行坐标系 123 ,O a a a 123. dxayaza d ( , , ).ddx y z可记为 平行坐标系下向量的内积平行坐标系下向量

9、的内积 在平行坐标系中向量在平行坐标系中向量 的内积的内积 123123 ( ,),(,)xx x xyy yy 1 122331 12233 () ()x yx ax ax ay ay ay a 1 11 12233 ()x ay ay ay a 221 12233 ()x ay ay ay a 331 12233 ()x ay ay ay a 3 ,1 . ijij i j g x y ( ,1,2,3). ijij ga a i j其中 如果是直角坐标如果是直角坐标 系：系： ijij ge e 1,; 0,. ij ij 当 当 x y向量的内积向量的内积 112233 x yx yx

10、 y 1231 12 23 3 ( ,).xx x xx ex ex e 在直角坐标系在直角坐标系 中，向量的坐标就中，向量的坐标就 是向量和基本向量的内积，即是向量和基本向量的内积，即 ,1,2,3. ii xx e i其中 123 ,O e e e 但在平行坐标系里面，这一结论不一定成立但在平行坐标系里面，这一结论不一定成立. . 为了解决这一问题，接下来为了解决这一问题，接下来我们我们引入平行坐引入平行坐 标系的标系的对偶坐标系对偶坐标系这一概念这一概念. . 对偶坐标系对偶坐标系 给定平行坐标系给定平行坐标系 123 ,.O a a a 233112 123 123123123 ,.

11、aaaaaa aaa aaaaaaaaa 那么 1, . 0, ijij ij a a ij 令 把坐标系把坐标系 叫做叫做 的的对偶坐标系对偶坐标系. 123 ,O aaa 123 ,O a a a 平行坐标系平行坐标系 123 ,O a a a 123 ,O a a a 对偶坐标系 123 ( ,)x x x 123 (,)xx x 123 (,)y yy 123 (,)y yy 向量向量x 向量向量y 那么那么 112233 x yx yx yx y 112233. x yx yx yx y或者 即即 1 122331 12233 ,xx ax ax ax ax ax a 1 12233

12、1 12233 .yy ay ay ay ay ay a 1 122331 12233 () ()x yx ax ax ay ay ay a 112233. x yx yx y 1 11 12233 ()x ay ay ay a 221 12233 ()x ay ay ay a 331 12233 ()x ay ay ay a ,1,2,3. ii xx a i所以， 1 12233 () iii x ax ax ax aax ,1,2,3. ii xx a i ,1,2,3. ii xx a i 向量的坐标也可以表示成内积向量的坐标也可以表示成内积, 即即 因为因为 即即 向量和平行坐标系中的基本向量做内积得到的是对偶坐标系向量和平行坐标系中的基本向量做内积得到的是对偶坐标系 中的相应坐标中的相应坐标,和对偶坐标系中的基本向量做内积得到的是平行和对偶坐标系中的基本向量做内积得到的是平行 坐标系中相应的坐标坐标系中相应的坐标. 1:,0, ,. a ba b bxa b xx 设都是非零向量 并且为任意的 数 并知,求 练习 :()()()bbxa bb x bb b x解 2 | ba b x b 0, , , , , , ()()