1[1]32函数的极值与导数

1、1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数 a o h t 0h a ht 问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图象的图象 2 ( )4.96.510h ttt 单调递增单调递增 单调递减单调递减 0)( t h 0 ) (th 归纳归纳: 函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近, 当当 时时,函数函数h(t)单调递增，单调递增， ; 当当 时时,函数函数h(t)单调递减单调递减, 。 ( )h tata0)( a h at at 0)( t h 0)( t h y x a o b yf x （3 3）在点）在点

2、 附近附近, , 的导数的符号有什么规律的导数的符号有什么规律? ?,a b yf x （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点附近的的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系函数值有什么关系? yf x,a b （2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少? ? yf x,a b (图一图一) 问题：问题： 0)( x f 0)( x f 0)( x f 0)( a f 0)( b f y x a o b yf x (图一图一) 0)( x f 0)( x f 0)( x f 0)( a f 0)( b f 极大值极大值f(b) 点点a a叫做函数叫做函数y=f(x)的的极

3、小值点极小值点,f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值. 点点b b叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值. 极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值. 极小值极小值 f(a) 思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？ x y yfx oh g f e dc (图二图二) （1）极值是一个）极值是一个局部概念局部概念。由定义，极值只是某个。由定义，极值只是某个 点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，点的函数值与它附近点

4、的函数值比较是最大或最小， 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。 （2）函数的极值）函数的极值不是唯一的不是唯一的。即一个函数在某区间。即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。 （3）极大值与极小值之间）极大值与极小值之间无确定的大小关系无确定的大小关系。即一个。即一个 函数的极大值未必大于极小值。函数的极大值未必大于极小值。 （4）函数的极值点）函数的极值点一定出现在区间的内部一定出现在区间的内部，区间的端，区间的端 点不可能成为极值点。点不可能成为极值点。 yfx 6 x 5 x

5、 4 x 3 x 2 x 1 xabx y 课后练习课后练习1.1.如图是函数如图是函数 的图象的图象, ,试找出函数试找出函数 的的 极值点极值点, ,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, ,哪些是极小值点？哪些是极小值点？ o yf x yf x 答：答：x1,x3,x5,x6是函数 是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函 数数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。 导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ? 导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极

6、值点吗? ? 是是 为可导函数为可导函数 的极值点的的极值点的 必要不充分条件必要不充分条件。 0)( a f( )yf xxa x y O y = x3 yc x y O 下面分两种情况讨论下面分两种情况讨论: : （1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时; ; （2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。 例例4：求函数求函数 的极值的极值. 3 1 44 3 f xxx 3 1 44 3 f xxx 2 422fxxxx 0fx 0,fx 解解: : 0fx 当当x x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： ,fxf x x fx f x , 2 2,2

7、 2, 28 3 4 3 当当x=-2x=-2时时, f(x, f(x) )的极大值为的极大值为 28 ( 2) 3 f 4 2 3 f 令令解得解得x=2,或或x=-2. 00 22 单调递增单调递增单调递减 当当x=2时时, f(x)的极小值为的极小值为 2 2 (4)(4)检查检查 在在 的根左的根左, ,右两边值的符号右两边值的符号, , 如果左正右负如果左正右负( (或左负右正或左负右正),),那么那么f(xf(x) )在这个根在这个根取得取得 极大值极大值( (或极小值或极小值) ) 归纳归纳：求函数求函数y=f(x)极值的方法是极值的方法是: (1)确定函数的确定函数的定义域定义

8、域 (2)求方程求方程 的的全部解全部解 (3)用用 的全部根顺次将函数的全部根顺次将函数 的定义的定义 域分成若干开区间域分成若干开区间,并并列成表格列成表格. ( )0f x ( )0f x ( )yf x ( )0f x( )fx 巩固练习巩固练习： 1、求函数、求函数 的极值的极值 3 3f xxx 解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论： （1）当）当 ，即，即 时；时； （2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。 当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 3 3f xxx x fx f x , 1 1,1 1, 2 00 1

9、 1 单调递增单调递减单调递减 当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2. 0fx 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为 2 3 3fxx 2 3 30fxx 1x 1.x 0fx 11x 1x 1x 2 )(xf )(xf 2.1x 1x x ,fxf x 课堂总结课堂总结: 一、方法一、方法: : (1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域 (2)(2)求导数求导数f f (x(x) ) (3)(3)求方程求方程f f (x(x) ) =0=0的全部解的全部解 (4)(4)检查检查f f (x(x) )在在f f (x(x) ) =0=0的

10、根左的根左, ,右两边值的符号右两边值的符号, ,如果左正如果左正 右负右负 ( (或左负右正或左负右正),),那么那么f(xf(x) )在这个根取得极大值在这个根取得极大值( (或极小值或极小值) ) 二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极 值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业：作业： 今天我们学习函数的极值今天我们学习函数的极值, ,并利用导数求函数的极值并利用导数求函数的极值 思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值处取得极值 求函数求函数 的解析式的解析式 32 2

11、f xaxbxx2,1xx f x f x 解解： 在在 取得极值，取得极值， 即即 解得解得 2 322fxaxbx 2,1xx 12420 3220 ab ab 11 , 32 ab 32 11 2 32 f xxxx 0) 1 (, 0)2( ff 已知函数已知函数 其中其中 32 3 ( )43coscos , 16 f xxx ,02xR为参数，且 (1)当当 时时,判断函数判断函数 是否有极值是否有极值cos0 ()fx (2)要使函数要使函数 的极小值大于零的极小值大于零,求参数求参数 的的 取值范围取值范围 ( )f x 谢谢 谢谢 大大 家家 yfx 6 x 5 x 4 x

12、3 x 2 x 1 xabx y （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象, ,试找出函数试找出函数 的的 极值点极值点, ,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, ,哪些是极小值点？哪些是极小值点？ o （2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的图象的图象? ? yfx yf x yf x 答：答： yfx 1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函 数数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。 2、x2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x

13、2是函数是函数y=f(x) 的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。 导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ? （1）极值是一个）极值是一个局部概念局部概念。由定义，极值只是某个。由定义，极值只是某个 点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小， 并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。 （2）函数的极值）函数的极值不是唯一的不是唯一的。即一个函数在某区间。即一个函数在某区间 上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。