数字信号处理课件胡广书第11章

1、11.1 概述 11.2 自相关函数的估计 11.3 经典谱估计的基本方法 11.4 经典谱估计的质量 11.5 经典谱估计的改进 11.6 经典谱估计算法比较 11.7 短时傅里叶变换 请抓住并搞清楚如下四个问题： 功率谱为什么要估计？ 如何估计？ 如何评价估计质量？ 如不理想，如何改进？ 11.1 11.1 概述概述 2 2 1 ()lim( ) 21 () lim 21 M jj n X M nM j M P eEx n e M X e E M 随机信号的 单个样本 求均值运算求极限运算 ()( ) jj m Xx m P er m e 集总平均 两者等效 平稳信号 ( )X n 单一样

2、本 ( , )( )x n ix n 可将 看作能量信号，因此，可对它作 傅立叶变换，并得到功率谱： 2 1 ()( ) 21 M jj n MM nM Pexn e M ( ) M xn 问题 ： 的功率谱 和单个样本的 功率谱 有何关系？和整个随机信号的 功率谱 有何关系？ ( ) M xn () j x P e () j M Pe () j X P e () j x P e () j X P e ( ) M xn 截短 () j M Pe 1. 求极限： 2 1 ()lim()lim( ) 21 M jjj n xMM MM nM P ePexn e M ()() jj Xx P eE

3、P e 2. 求均值： 2 1 ()lim( ) 21 M jj n XM M nM P eExn e M 单一样本的功率谱不能收敛到所有样本的 功率谱，因此必须有求均值运算，此即如 下定义的来历： 各态遍历信号也是如此。 2 () () 1 ()lim( ) 21 1 lim( )( ) 21 1 lim() 21 M jj n XM M nM MM jm n MM M nM mM MM jm n x M nM mM P eExn e M Exm xn e M r mn e M 2 2 ()(21) ( ) MMM nM mMkM g mnMk g k 双求和变成 单求和： 2 2 ()li

4、m(1) ( ) 21 ( ) M jj k Xx M kM j k x k k Per k e M r k e 证明了两个公 式等效。所以 自相关函数是 集总自相关。 证明： 功率谱的两个定义都要求：样本无穷多，时 间无限长，即需要集总平均。 实际工作中，我们往往能得到的是： 1. 单一的样本； 2. 单一样本的有限长数据； 问题：如何用这单一样本的有限长数据去估 计原随机信号真实的自相关函数和功 率谱 目的：自身估计的需要； 功率谱估计的需要 * ( )( )() x r mE Xn X nm 集总自相关 * 1 ( )lim( ) () 21 N x N nN r mx n x nm N

5、 时间自相关 定义： 在实际应用中，我们所遇到的大都是实际 物理信号，因此是因果性的，即当n0时， x(n)0，且x(n)是实信号，这样，其自相关函数 r(m)可表示为 r(m)的估计方法通常有两种，一是利用公式 直接计算，二是先计算出 的能量谱，然后 对该能量谱作反变换。 1 0 )()( 1 lim)( N n N mnxnx N mr )(nxN x 如果观察值的点数N为有限值，则求r(m)估计 值的一种方法是 由于x(n)只有N个观察值，因此，对于每一个固定 的延迟m，可以利用的数据只有N-1-|m|个，且在 0N-1的范围内， x(n),所以在实际计算时， 上式变为 它的长度为2N-

6、1，是以m=0为偶对称的。 1 0 )()( 1 )( N n NN mnxnx N mr )(nxN )(nxN 1 0 1 ( ) ( ) () Nm x n r mx n x nm N 1 0 1 ( ) ( ) () Nm x n r mx n x nm N 实际求出的 自相关函数 近似质量如何 Estimation Estimate Estimator（估计子） 估计方法： 从估计方法上看，实际上是把随机信号“视 为”单样本有限长的确定性信号。问题是： 偏差 自相关函数估计的质量： 1 0 1 ( ) ( ) () Nm x n r mx n x nm N 估计方法 单个样本 1.

7、偏差 bir ( ) ( )( )r mE r mr m 来自定义 所有样本 1 0 1 0 1 ( )( ) () 1 ( ) () ( ) Nm n Nm n E r mEx n x nm N E x n x nm N Nm r m N (1),bia ( )0mNr m 固定， bia ( )( ) m r mr m N 所以：含义 (2), ( )( )NmN r mr m给定，接近 (3) ( )( ) ( )E r mw m r m 渐近无偏估计 对固定的N，此结论 给出了m的选取原则 在数据上加矩形窗，长度为 N ，该矩形窗函数 的自相关函数正是三角窗！注意矩形窗加在数 据上，三

8、角窗加在相关函数上，体现在估计的 自相关函数的均值上。 ( ) (1) (1) Nm w m N NN , 三角窗: (3) ( )( ) ( )E r mw m r m 那儿来的 三角窗？ 方差 2 22 var ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) r mEr mE r m E rmE r m 2.方差 来自定义 包含两项 2 2 )() ( mr N mN mrE 前面结果 11 2 2 00 2 1 ( ) ( ) ()( ) () 1 ( ) ( ) () () NmNm nk nk E rmEx n x nmx k x km N E x n x k x nm x km N 四阶统

9、计量！ 22 ( ) ( ) () () ()( )() () E x n x k x nm x km rnkrmr nkm r knm 由： 1 (1) 2 1 var( )1 ( )() () Nm iNm mi r m NN rir im r im 最后 导出 ,var ( )0Nr m 有： ,bia ( )0 ,var ( )0 Nr m Nr m 渐近一 致估计 零均值高 斯分布 3.自相关函数的计算 ) 1(,),1 (),0(Nxxx 已知单个样本的 N 点数据 估计 ( ) x r m 两个方法两个方法: : （1 1） 直接按定义：直接按定义： ( )() ( ),(1)

10、( 1) xx x r mrm r m mNN 利用 1 0 1 ( ) ( ) () Nm x n r mx n x nm N 最大长度 （2） 利用FFT： Step1: 将 补 个零得 ;( ) N xnN 2 ( ) N xn Step2: 对 做FFT,得 ； 2 ( ) N xn 2 ( ) N Xk 2 2 ( ) N XkStep3: 对 求幅平方，得 ； 2 ( ) N Xk Step4: 由 得 ， 对其作IFFT,得得 。 2 2 1 ( ) N Xk N 2 2 ( ) N Xk )( 0 mr 思考： 和 有何关系 )( 0 mr ( ) x r m )(0mr mN

11、 n NN mnxnx mN mr 1 0 )()( 1 ) ( 自相关函数的另一个估计方法（估计子）： ( ) x r m( ) x r m 很容易证明： 是 的无偏估计， 但方差性能不好。在一些谱估计的方法中， 有时用到该公式。 要求：很好掌握自相关函数 的估计方法及估计性质。 信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于确定性信号，信号的频谱分析是研究信号特性的重要手段之一，对于确定性信号， 可以可以FourierFourier变换来考察其频谱性质，而对于广义平稳随机信号，由于它变换来考察其频谱性质，而对于广义平稳随机信号，由于它 一般既不是周期的，又不满足平方可积，严格来说不能进行

12、一般既不是周期的，又不满足平方可积，严格来说不能进行FourierFourier变换，变换， 通常是求其功率谱来进行频谱分析。通常是求其功率谱来进行频谱分析。 功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信功率谱反映了随机信号各频率成份功率能量的分布情况，可以揭示信 号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，应用极其广泛，例如，号中隐含的周期性及靠得很近的谱峰等有用信息，应用极其广泛，例如， 在语音信号识别、雷达杂波分析、地震勘探信号处理、水声信号处理、系在语音信号识别、雷达杂波分析、地震勘探信号处理、水声信号处理、系 统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波

13、分析、统辨识中非线性系统识别、物理光学中透镜干涉、流体力学的内波分析、 太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。太阳黑子活动周期研究等许多领域，发挥了重要作用。 然而，然而，实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长实际应用中的平稳随机信号通常是有限长的，只能根据有限长 信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计问题。信号估计原信号的真实功率谱，这就是功率谱估计问题。功率谱估计分为功率谱估计分为 经典谱估计和现代谱估计，本章主要研究经典谱估计。经典谱估计和现代谱估计，本章主要研究经典谱估计。经典谱估计又称非经典谱估计又称非 参数模型谱估计，主要方法有：周期图法，相关图法及

14、改进的周期图估计参数模型谱估计，主要方法有：周期图法，相关图法及改进的周期图估计 法。法。 问题的提出：对随机信号 ，我们往往 只能得到它的： 1. 单一的样本 ； 并且仅是 2. 单一样本的有限长数据； 如何用这 N 数据去估计原随机信号真实的功 率谱 ( )X n ( , )( )x n ix n ) 1(,),1 (),0(Nxxx () j x P e 1.周期图（Periodogram）法： 1 2 0 1 ( )( ),( )( ) N j n NPERN n Xx n ePX N 经典谱估计中有两个基本的方法： 1 2 0 1 ( )( ),( )( ) N nk NNPERN

15、n Xkx n WPkXk N 思路：对 做DTFT(DFT),得到频谱；对 该频谱求幅平方，再除以N，即得到“周期图” 功率谱，以此作为对真谱的估计。 ( ) N xn 2.自相关（Blackman-Tukey BT法）法: 1 0 1 ( ) ( ) () Nm x n r mx n x nm N Step1 ( )( ),1 M j m BTx mM Pr m eMN Step2 因为先要估计自相关函数，所以 又称间接法。与此相对应，周期 图法又称直接法。 3.直接法和间接法的关系： 需要考虑两种情况： （一）1MN （二）1MN ( ):, , x r mmMM ( ):0,1,1x

16、nnN 数据的范围 自相关函数 的范围 （一） 1MN 比较用两种方法的估计出的离散谱： 2 (1) 2 2 (1) 2 21 2 0 0 ( )( ) ( ), 0,1,21 N jmk N N BTx mN N jmk N m Pkrm e r m ekN 2N 点的谱，把所能估计出的自相关函数都使 用上了，而估计自相关函数时，把 N 点数据 也全都使用上了。 2 2 2 1 ( )( ) N PERN PkXk N 21 ( )( ) PERN PkXk N 对 补N 个 零，做DFT,得到 ( ) N xn IFFT )( 0 mr 2 21 2 2 0 ( ),0,1,21 N jm

17、k N N BT k Pk emN 结论： 在 时，直接法和间接法 估计的结果是一样的。 1MN 使用间接法时，往往取 ， 这时二者是不一样的。因此，直接法可看 作是间接法的特例。 1MN 不补零，思考：( ) N xn 即： 21 ( )( ) PERN PkXk N N点离散谱 如何和 相等？ 2 ( ) N BT Pk 2 (1) 2 2 (1) ( )( ) 0,1,21 N jmk N N BTx mN Pkrm e kN N点离散谱 2 1 0 0 ( )2Re( )(0) 0,1,1 N jmk N N BT m Pkr m er kN （二）1MN ( )( ) ( ),( )

18、: M rmr m v mv mMM ( )( ) BTPER PP所以： ( ):v mMM 加在自相关函数上。目的是将 其截短。第二次加窗。 相当于只用了部分自相关函数 1 (1) ( )( ) ( ) ( )( )* ( ) N j m BT mN M j m MPER mM Pr m v m e rm ePV 直接法和间接法之间的关系 直接法 间接法 11.4经典谱估计的质量 也分两种情况讨论 1MN 1MN 主要考察的是 均值 方差 无偏估计 一致估计 ( )( )( ) BTPER PPP （一）1MN周期图和 自相关法 是等效的， 统一考虑 bia ( ) ( )( )PE PP

19、 1. 偏差 估计值的均值 1 (1) ( ) ( ) N j m mN r m w m e 自相关 函数估 计的性 质 1 (1) 1 (1) ( )( ) ( ) ( ) PERBT N j m mN N j m mN E PE P Er m e E r m e 2 0 1 ( )( )*( )( )*( ) PER E PPWPD N 于是有： ( ):( )PX n的真实功率谱； 00 ( ):( )Dd n 0 ( ),0,1d nnN 的频谱谱； ( ):( )Ww n的频谱谱； 0 ( )( )* ()w nd ndn三角窗； 注意： 三角窗频谱恒为正 2 0 bia ( )(

20、)*( )( ) 1 ( )*|( )|( ) PPWP PDP N 最后有： 2 0 1 ( )( )*( ) PER E PPD N bia ( ) ( )( )PE PP 由于 如何理解这一结果 lim( )lim( )() BTPER NN E PE PP lim bia ( )0 N P 所以： 2 0 1 bia ( )( )*|( )|( )PPDP N 周期图和自相关法 都是渐近无偏估计 1MN 0 2 0 ,( )( ) 1 ( )|( )|( ) ND WD N 因为： 2 Var ( ) ( ) ( ) PEPE P 2. 方差 又遇到四阶矩问题，直接求解困难。 （1）假

21、定 是高斯零均值的随机过程； 思路： ( )X n （2）求 在 处的协方差 ： 12 , P( ) 定义： 12 1122 cov PP EPE PPE P (), () ()()()() 有关方差公式的推导不作要求。主要 是掌握结论，并用来说明问题。 （3）令 ，则 12 11 cov (), ()var ( )PPP 12 1122 1212 cov PP EPE PPE P E PPE PE P (), () ()()()() () ()()() 求解的关键 2 2 00 var( ) 1 ( )()()( ) 2 P PDDdE P N 推导的结果：方差 （1） 时 2 00 1 (

22、 )()()0 2 PDDd N N 22 lim Var ( ) ( ) ( )0 N PE PP 经典功率谱估计不是一致估计 0( ) D 2B2B 2 00 1 ( )()()0 2 PDDd N 解释： 22 BB 00 ()()0DD 0( )D 0( )D 12 2 0102 2 0102 cov(), () 1 ( )()() 2 1 ( )()() 2 PP PDDd N PDDd N 推导的结果：协方差 假定 在主瓣外为零； 那么，在频率范围 内： 12 cov (),()0PP 12 |B B 0( ) D 0( ) D 有 （2） 若 的主瓣宽度为 ； 0( ) D 2B

23、2B 0201 ()()0DD 01 ()D 1 2 12 B02 ()D 12 B 01 ()D 1 2 02 ()D 0102 ()()0DD 在 12 |B处， 12 cov (), ()0PP 说明：随机变量 在 处不相关; 12 (), ()PP 12 , 原因：功率谱的定义中即要求极限，又要求均 值；而实际的估计方法，仅靠单次实现 的有限长，无极限、又无均值运算，因 此产生上述问题。 设想：增大数据长度，效果如何 后果：使估计出的谱曲线起伏加剧； 增大， 的主瓣（ ）将变窄，因 此，引起不相关的区域进一步增多，从而引 起谱曲线的更加起伏，实际上是方差变大。 N 0( ) D 分辨率

24、和方差（体现在曲线起伏上），是 经典谱估计中的一对矛盾。 B N N通常，增加 ，会提高谱的分辨率，对经 典谱估计来说，增加 固然会有利于提高 分辨率，但谱曲线的起伏令使用者难以接受， 这是经典谱估计的一个致命缺点。 对白 噪声 在不 同长 度情 况下 估计 出的 谱曲 线： 00.250.5 -40 -30 -20 -10 0 10 00.250.5 -20 -10 0 10 00.250.5 -40 -30 -20 -10 0 10 00.250.5 -40 -30 -20 -10 0 10 N16 N 32 N64 N 128 经典谱估计质量的讨论： (二) 1 NM )(*)( )(

25、VPP PERBT ( )v m：加在估计的自相关函数上 ， 1,|NMMm ( ) x r m 周期图谱估计和自相关法的谱估计 不再一样！ ( )( )* ( ) ( )*( )* ( ) BTPER E PE PV PWV 1. 偏差 bia( )( )( ) BTBT PE PP 谁的主瓣比较宽 )(),(VW ( )( )NW ( )( )* ( ) BT E PPV bia( ) ( )( )0 lim BT N P PP 假定1： 是慢 变谱，在 的主瓣内近似为 一个常数 ( )P ( )V ( )P 假定2 1 ( ) 2 (0)1 Vd v 窗函数的一般要求 ( ) ( )*

26、( ) 1 ( ) () 2 lim BT N E P PV PVd 1 ( )( ) 2 PVd 也是渐近无偏估计！ 2.方差 考虑特殊情况， 为白噪序列，其 功率谱应为常数，即 ),()(nunx 2 4 22 4 sin () var( )1 sin ( ) var( ) lim PER PER N N P N P 时 对白噪声功率 谱估计的方差 2 ( )P 1MN 4 2 var( ) ( ) 2 BT PVd N 时 对白噪声功率 谱估计的方差 1MN ： 方差改 进之比 2 2 var( )1 ( ) 2var( ) 1 ( )1 BT r PER M mM P KVd NP v

27、m N 两种情况下估计的方差之比： r K N M K r 8 ) 12(3 /2,3/8 /4,3/16 r r MNK MNK 若则 若则 取哈明窗： 1. 在 加上 后，估计的谱 的偏差劣于 M=N1 时估计的谱，而方 差优于 M=N1 时估计的谱； )( mr)(mv ( ) BT P （2）在在 的范围上， 因为B变大， 不相关的点变少。 12 |B 12 (),(), BTBT PP 2. 上加窗 以后，估计谱 方差的改进体现在两个方面： ( ) BT P)( mr)(mv )(*)( )( VPP PERBT （1） 估计的谱 曲线变得 平滑些 原主瓣宽，取决于 2 ( ),Wk

28、 N 现主瓣宽，取决于 2 ( ),Vk M 3. 方差的减小是以牺牲分辨率为代价的！ 若分辨率能满足要求，则这样做 是有意义的，即既保证了分辨率，又 使估计出的谱较为平滑。 间接法缺点： 由第10章的讨论可知，功率谱应恒为正值，否 则便失去了“功率”的意义。但由于窗函数的频谱 在某些频率下可能是负值，因此计算 时，有 可能出现负值，失去了功率谱的物理意义。 解决： 使用恒为正的窗函数使用恒为正的窗函数 )( BT P )(*)( )( VPP PERBT （1） 直接法缺点： 周期图法应用比较广泛，主要是由于 它与序列的频谱有直接的对应关系，并 且可以采用FFT快速算法来计算。但是， 这种方

29、法需要对无限长的平稳随机序列 进行截断，相当于对其加矩形窗，使之 成为有限长数据。同时，这也意味着对 自相关函数加三角窗，使功率谱与窗函 数卷积，从而产生频谱泄漏，容易使弱 信号的主瓣被强信号的旁瓣所淹没，造 成频谱的模糊和失真，使得谱分辨率较 低。 11.5 直接法估计的改进 任务：改进 对 估计的性能； 2 1 ( )|( )| PERN PX N ( )P 目标：主要是改进方差的性能 方法：平滑与平均； )(*)( )( VPP PERBT 用 对 的加窗来实现)(mv)( mr 1. 平滑（Smoothing) 平滑 12 22 :;:/ L i XXXX XXL 理论依据: L个独立

30、同分布随即变量和的 分布，方差减小 倍，即：L 将一个较长的信号分成若干段，对每一段求功 率谱，每一段的功率谱都是随机变量，然后平 均之。类似相干平均，用以弥补经典谱估计中 缺少的求均值运算。注意：信号应是平稳的， 且每一段的统计特性基本一样。 2. 平均（Average） （1） Bartlett平均 将 分成 段，每段 点，即)(nxLM NL M )(nx 1 ( )x n ( ) i x n 2 ( )xn 3 ( )x n ( ) L xn 1( ) d n ?ML思考：如何确定或者 2 1 0 1 ( )( ),1, M iijn PER n Px n eiL M 每一段谱 平均后

31、谱 2 1 10 11 ( )( )( ) LM iij n PERPER in PPx n e LML 平均后估计出的功率谱的性能如何？ 在数据上加了数据窗 宽度是 ),( 1 nd M 结果，在自相关函数上引入了窗函数)( 1 mw ?ML思考：如何确定或者 ： 的自相关； 类似 引入的)(mw 1 ( )( )*( ) PER E PPW )( 0 nd )( 1 mw)( 1 nd 统计性能分析： （1）偏差增大，分辨率进一步下降； （2）方差减小，但到不了 倍 L 的均值为 上式中 是矩形窗 的频谱， 是由 做自相关所得到的三角窗 的频谱， 的 长度是2M-1。可见，不取平均的周期图

32、和取 平均后的都是有偏估计，且当N时，二者 都是渐近无偏的。但因为 主瓣的宽度远 大于 ，所以取平均后，偏差加大，分辨 率下降。 )( PER P )()(| )(| 1 )( )()( 1 )( 1 2 1 1 WPD M P PEPE L PE L i i PER i PERPER )( 1 D )( 1 nd)( 1 nd )( 1 m )( 1 W )( 1 m )( 1 W )(W 如果x(n)为一白噪声序列，有 因此，分的段数越多，方差越小。如若L能趋于，则 是P()的一致估计。由上面的分析我们再一次看到， 方差性能的改善是以牺牲偏差和分辨率为代价的。方差性能的改善是以牺牲偏差和分

33、辨率为代价的。 每段数据长度M的选择主要取决于所需的分辨率。 因为 主瓣的宽度是4/M,若P()中有两个相距 为BW的谱峰，为了要分辨它们，需要4/M4/BW。如果数据长度N已确定，根据所需的M， 段数L也就自然被确定。如果N可以变化，则应根据 方差要求确定L，然后再确定要记录的数据长度N。 | )(sin)( )/(sin |)(var 22 24 L N LN L P PER )( PER P )( 1 W Bartlett法 （2） Welch平均 特点：交叠分段 0 1N M . . . . . )(nx 1 ( )x n ( ) i x n 2 ( )xn )( 2 nd 若重叠一半

34、，段数 /2 /2 NM L M 变大 1 2 2 10 1 2 2 0 1 ( )|( )( )| 1 ( ) LM ijn PER in M n Px n dn e MUL Udn M ：不一定是矩形窗，如Hamming窗)( 2 nd 归一化因子， 保证无偏估计 Welch 平均是常用的经典谱估计方 法，MATLAB中有相应的命令 ( )( ) PER E PP Welch平均法的方差比Barttlett方法有明显 的减小，而偏差几乎没有减小 3. Nottall 法：平滑与平均相结合 假定1： 是慢 变谱，在 的主瓣内近似为 一个常数） ( )P 2( ) W ( )P 假定2 2 1

35、 ( )1 2 Wd 2 2 ( ) ( )*( ) ( ) ( ) 2 PER E P PW P Wd Welch法 三种改进方法: 如何比较每一个估计方法性能的好坏？ 想办法产生一个已知功率谱的标准数据: H(z) )( 2 nu 01. 0 2 u H(z) )( 1 nu 01. 0 2 u )( 1 nv )( 2 nv 11.6 总结与比较 请掌握如下的方法： 白噪 声1 白噪 声2 两个输 出都是 随机信 号 由自 己指定 ( )H z 12 2 4 2 1 ( )( )( ) ()21 jj k yuk k y nv njv n P eh e 令： 则： 构成一 复信号 得到

36、的功率谱； ( )y n 在 的基础上再加上四个复正弦，归 一化频率分别是： ( )y n 1234 0.15,0.16,0.252,0.16ffff 4 1 2 )()( k nfj k k eAnynx 即 调整 ，可以得到不同的信噪比，本例取 这样， 的真实功率谱可得到，并可画 出。我们可以此作为比较各种算法的依据。 k A 12 34 64dB,54dB 2dB,30dB ff ff 处为处为 处为处为 )(nx 实际工作中，对信号 总取有限长，如 ，由这128点去“求”功 率谱，得到的当然是估计值。 127, 1 ,0，n )(nx 4 2 1 ( )( )2()k xyk k PP

37、A -0.5-0.2500.250.5 -60 -40 -20 0 (a) -0.5-0.2500.250.5 -60 -40 -20 0 (b) -0.5-0.2500.250.5 -60 -40 -20 0 (c) -0.5-0.2500.250.5 -60 -40 -20 0 (d) （a）真实谱；（）真实谱；（b）周期图；（）周期图；（c）Welch平均，四平均，四 段，无迭合，段，无迭合，Hamming窗；（窗；（d）同）同c, 但迭合但迭合16点点 -0.5-0.2500.250.5 -60 -40 -20 0 (e) -0.5-0.2500.250.5 -60 -40 -20 0

38、 (f) （e）BT法，法，M32；（；（f）BT法，法，M16 经典功率谱估计的特点经典功率谱估计的特点： 1. 物理概念明确，可用FFT快速算法。所以 是大众化的谱估计方法； 2. 对周期图，分辨率受到 的限制； 对自相关法，分辨率受到 的限制； 2 / N 2 /M 3. 方差性能不好，不是一致估计， N 增 大时谱曲线反而起伏加剧； 4. 改进方法是“平滑”与“平均”，改进的 目 的是减小方差，但牺牲了分辨率； 5. 注意窗函数的作用与影响： 加在数据上的窗函数： 012 ,d d d 产生加在自相关函数上的延迟窗： 12 ( ),( ),( )w m w m w m 各个窗 函数的 作用及 影响是 什么？ 平稳信号：均值、方差及均方都不随时间变 化，自相关函数仅和两个观察时间的差有关， 和观察的具体位置无关 ； 非平稳信号：均值、方差都随时间变化，自相 关函数也和观察的时间位置有关，信号的频率 也随时间而变化，如语音、脑电及其他含有较 多突变分量的信号 。其一阶、二阶统计量和 功率谱的估计显然不能简单地使用平稳信号的 估计方法，必须考虑其时变因素。 方法：分段，每一小段可看作是平稳的。 * , * STFT ( , )( )( ) ( )() ( ), () xt j j txgd xgt ed xgt e )()( 2 RLtx 1|)(|g 其STFT定义为: