积分基本公式.doc

1、(5) F (11) / cscxcotxdx=-cscx+ C注.(1):-不是 |-0)艸i +1= ln|x|+C(aO,a 工 1)(6) / cosxdx=sinx+C(7) / sinxdx=-cosx+C(8) / secxdx=tanx+C2(9) / cscxdx=-cotx+C(10) / secxtanxdx=secx+CT 在 m=-1 的特例.事实上，对 x0, (ln|x|) =1/x； 若 x0，则1 1 (ln |x|) =(l n(-x)=.一工x要特别注意|I-与J匕的区别：前者是幂函数的积分，后者是指数函数的积分.F面我们要学习不定积分的计算方法，首先是四

2、则运算.6.复合函数的导数与微分大量初等函数含有复合函数的成分，它们的导数与微分计算法则具有特别重要的意义.定理.(链锁法则)设z=f(y), y= (x)分别在点y= (xo)与xo可导，则复合函数z=f (x)在Xo可导，且dz或(f o ) (xo)=f (yo)(xo).证.对应于自变量xo处的改变量lx,有中间变量y在y= ：(xo)处的改变量.旳及因 变量z在zo=f(yo)处的改变量込(注意：y可能为0) 现=z= f (yo) I y+ v，-尸 (xo) =x+ u,Vu. v=C且I令上F,心0 &片0却成立).y在Xo可导又蕴含y在Xo连续，即则v=u y,(注意，当二y

3、=0时，v=u y仍It. y=0.于是陥匕fa/5)如+空如 塚峠o & 仍m&=1O 门恥曲 + lo =XU)=f (yo) ： (Xo)+O (xo)=f(yo) (xo)为理解与记忆链锁法则，我们作几点说明：(1)略去法则中的x=xo与y=yo，法则成为公式dz dy_ ,dy dz其右端似乎约去dy后即得左端，事实上，由前面定理的证明可知，这里并不是一个简单的约分过程.(2)计算复合函数的过程：x，y z复合函数求导的过程:z y X：/ :各导数相乘 dy d兀例求y=sin5x的导数. 解. 令 u=5x，贝V y=sinu.于是y = ： j =cosu 5=5cos5x.

4、血 dx例求y=lncosx的导数.解. 令 u=cosx，贝V y=lnu. 于是dy da1 ,., sin x= (- sin x) = = - tan xy :血 二:,1 :;例求幂函数y=xm的导数，m为任意实数.解. 因 y=：L； ，令 u=mlnx,贝V y=eu.uy = e m -da dx xxxm是正整数n时，即例.(3)链锁法则可以推广到多层次中间变量的复合函数:复合函数的求值： X，y，z，uv，w复合函数的求导： w u zyx:：- 工：汀：各导数相乘dv dz drz, y等可不必写出,(4)在熟练掌握链锁法则以后，为简便写法，中间变量v, u,只要做到心中

5、有数.例 求的导数解.:Vx2 + 11 + 1 fx2 +X + 1(5)链锁法则的微分形式是:df( (x)=f ( (x)d (x)例求函数y=厂的微分解.dy =巴 一： dsin2x=巴： 2sinxdsinx2sinx cosxdx= sin2xdx思考题.请你仔细研究例的解题过程，函数丁-；-：亠- J的构成 除由基本初等函数复合之外还包含四则运算，因此求导的过程也应遵循四则运算与链锁法则，两个方面必须同时考虑5.导数与微分的四则运算设u=u(x)，v=v(x)为可导函数，c是常数，则有公式 (u _v) = u _v， d(u _v) = du _dv.公式(2) (uv) =

6、 u v+uv, d(uv) = vdu+udv.公式(3) (cu) = cu, d(cu) = cdu.公式vdu - udv(v=0).点击此处看公式(1) - (4)的证明.例2.3.11求y=tanx的导数解.(tanx)=(sin x)Jcos a - sin a(cosx)?coszk.JCOS Xi : t. r I T :12=secx. cosJ xCOS X 同理可得(cotx) = -csc2x.例2.3.12求y=secx的导数.解.I1 COS X- ! (cosx)=secx tanx.0 +sin xcos2 X同理可得(cscx) =cscx cotx.例 2

7、.3.13 求 y=(1+4x)(2x2-3x3)的导数.解一 .y =(1+4x) (2x-3x3)+(1+4x)(2x3x3)232=4(2x2_3x3)+(1+4x)(2 2x_3 3x2)2322323=8x2_12x3+4x -9x2+16x2 -36x3=4x+15x2_48x3解二.因 y =2x2+5x_12x4,故2323y =2 2x+5 3x2_12 4x3=4x+15x2/8x3.例求函数y=(x+sinx)lnx的微分.解.dy=lnxd(x+sinx)+(x+sinx)dlnx=ln x(dx+ds in x)+(x+s in x) dx=ln x (dx+cosx

8、dx)+dxdx.2.导数的定义从曲线的切线斜率以及其他有关函数变化速度问题，我们抽象出函数的导数概念.定义.设函数y=f（x）在包含点xo的一个开区间X（这样的开区间称为xo的邻域）内有定义，yo=f（xo）.如果xX-xo,我们称 3=x-xo - 00 ：读作delta）为自变量的改变量，勺=f（x）-f（x。）为函数的（对应）改变量，比值为函数的差商或平均变化Ax x - 心率.如果极限血TO &4舟 X _州因：x=x0，X=Xo+ ：x，故还有存在，则称函数y=f(x)在点x0可导(或可微)，该极限称为函数y=f(x)在x0点关于自变量 x的导数(或微商)记作此时，曲线y=f(x)

9、在点(xo，f(xo)的切线方程是厂.-一，丄一屮注意Jx可正可负，依x大于或小于xo而定.根据定义求已知函数y=f(x)在给定点xo的导数的步骤 是:(1)计算函数在自变量xo+ x处的函数值f(xo+ ：x)； 计算函数的改变量=y=f(xo+LX)-f(xo)；(3)写出函数的差商匚：一5(4)计算极限，即导数值血2 & HlO&例求常数函数y=c的导数.解.因二y=y(x+ = x)_y(x)=c-c=O，差商一 =0,&故；：|- =0 .此处x可为任意实数，即常数函数y=c在任意点x处的导数为0.例设n是正整数，求幂函数 y=xn在点x处的导数.解.因.：y=y(x+.：x)_y(

10、x)=一. - ,2故八-二.山=-、.- 一.iwa & 陆丸2特别，当n=1时，函数y=x在任意点x处的导数为1.例求曲线y=x3在点(2,8)处的切线方程.解.在上例中取n=3可知函数y=x3在点x处的导数为3x2,于是在点(2, 8)处的切 线斜率是：y(2)=3 22=12，故曲线y=x3在(2,8)处的切线方程是y*=12(x_2)二 12x-y- .6=0.注.(1)从上述例子我们看到，一般情况下，给定函数y=f(x)在某个区间X内每一点都可导，这样可求出X内每一点的导数y(x), x X .于是y(x)成为X内有定义的一个新函 数，我们称它为给定函数y=f(x)的导函数，且常常

11、省略定义中的字样在 x点处关于自变量的”，甚至简称f(x)的导数例如我们说常数函数 y=c的导数是0, y=x的导数是1, y=xn的导数是I等等，分别记作c =0, x =1, (xn)=十 等等.关于改变量的记号厶，应把它与其后面的变量x或y看作一个整体量，就象 sinx中的sin 一样，绝不能把x看成厶与x的乘积，特别，为避免误解，我们用C x)2来表示x的平方而不写.x2 .从导数的定义我们还可以导出其它一些初等函数的导数公式：(点击此处看例, 例 , 例 证明)例 y=sinx 的导数是(sinx) =cosx,y= cosx 的导数是 (cosx) =-sinx .1例 y=log

12、aX(0a=1)的导数是(logax)=.xln a特别，(lnx) = 1/x .例 指数函数 y=ax(ova=1)的导数是(ax) =axlna .特别，(ex) = ex.8.导数的导数-二阶导数一般来说，函数y=f(x)的导数还是以x为自变量的函数：y =f(x)，如果它还可导,我们又可得f (x)的导数：(y ) =f (x)，称为y=f(x)的二阶导数，记作y =f (x)，或=-.如果它还可导，我们就可继续逐次求三阶，四阶，的导数，对任意正整数 数被定义为y(n)=(y(n)，n=2, 3,统称为函数y的高阶导数.例求y=sinx的n阶导数.解.y =cosx=sinJT1X+

13、-2丿用归纳法不难求出y(n)=si n1 2丿例若s =s(t)为质点运动的路程函数，则s (t)=v(t)是运动速度.又，二阶导数s(t)=v (t)=a(t)则是运动的加速度.例 求 y =arc tanx 的二阶导数 y.解.y=1 + ?y =-(1+x2)(1+x2)2xW思考题.对于可导函数y=f(x)来说，导数f (x)表示曲线的切线斜率，请你考虑，如果f (x)还可导，那么f ” (x)的正或负，反映函数y=f(x)的图像的什么性态.实验题.选择不同的函数，使二阶导数取正或负值，然后作出函数的图像，观察二阶导 数对函数图像的影响.7.基本初等函数的导数与微分公式求导公式求微分

14、公式dc=0 c =0dxm=mxm-1dx, mw R/c / m、|m-1(2) ( x ) =mxdax=axlnadx, 0 a韵(ax) =axlnad e = eTdx(ex ) = exdax=血,ova(ax)log 1logxln axln adln x=(lnx)=1Xd x=xdxsincos(5) (x)=xsincosd x=-xdxcossin（x）=-x2xdxcossind x=tansec（x）=2xtansecd x=-2xdxcotcsc(8) (x)=2:-cscxcotd x=x xdxsecsec tan(9) (x)=:x xsecsec tand

15、 x=-x cotxdxcsccsc(10) (x)=-cscx cotxx=cscdarcsin(11) (arc1darc-dxx) = 7T7x=sincos Jl-X1darcdx x=K(12) (arccojtan12darccotx=-l + xJ例2.3.20求y=arcsin.j *的微分.解- 4.-/)佇 2klJi - /3例 求 y=+arctanex 的导数.解.-:_-1+ e1212.二元函数的导数与微分(选学)设z=f(x, y)是两个自变量x与y的函数，x与y的变化都会引起函数 z的变化，实 际问题中有时需考虑单个自变量的变化引起的函数变化，即将另一自变量固

16、定不变，看作常数，此时函数就像一元函数了 .函数z关于一个变量x的导数就称为z关于x的偏导数.记作堂，事实上，按导数定义，应该是办2同理，z关于变量y的偏导数是蚯/（2+抄）-了（砂）我们也记JvJ i dxdxdy dy若z=f（x, y）有连续的偏导数fx（x, y）, f y（x, y）,则自变量x与y的改变量Ax与Ay 的线性表达式fx（x, y）.：x+f y（x, y）.：y称为z=f（x，y）在（x，y）处对应于.x，y的全微分，记作dz=fx（x，y）. ：x+f y（x，y）. ：y.由于自变量的微分等于自变量的改变量：dx=x, dy=y,于是二元函数的微分公式是dz=U

17、.I,-.例 设 f(x, y)=xy+x22 y3, 求 dy解.一 =y+2x （把y看作常数，对x求导数）. =x_6y2（把x看作常数，对y求导数）.例求z= exsiny的全微分.解. dz=siny dex+exdsiny=siny exdx+excosy dy=eT(siny dx+cosy dy).例 设 x+2y+2z-2 .i.=0 确定二元函数 z=z(x, y),求厂丁解.对方程x+2y+2z-2.：-=0两边求微分，则左端得dx+2dy+2dz_2d1=k + 2dy + 2dz - () 3 (yzdx + xzdy + xyd)i_i_i打1 -W(卯)可加 +

18、2 - xzyz)dy + 2 -2(苗尸壮右端的微分是0,于是解得13.分段函数的导数(选学)我们通过分段函数在衔接点处导数的研究，了解函数的可导性与连续性的关系.函数y=f(x)在点xo的导数被定义为极限 丄_-， 时0这等价于一毎tQAt厶字皿卄)=o ,Ax记、. ：,则 L J=o，由此Avf(xo+ ：x)-f(xo) = u( x)+f(Xo) x,于是 L二f(xo+=x)-f(xo)= L二u(=x)+fxo)p-X=O , 曲曲t(i即 L二 一 f(Xo+ X)= f(xo).如果记 x=Xo+ x，则得 皿今0L f(x)= f(xo) 这表明函数f(x)在X0连续.因此有定理.若函数y=f(x)在xo可导，则f(x)在xo连续.例讨论函数在点x=0的连续性与可导性.解.因 I ； L :1,1. I - ：i - I J-*0+Z*故T j -1 ,且f(0)=e0=1 .由此可见f(x)在x=0连续.L其次，为讨论f (0)，我们需计算极限./ro + Axi -/(o).为方便计，用X代替厶X,为此我们研究极限眩&.M .现在，1/() _/(0)(X2 +1)_ 1.十,i-*0+xs-0+ x*-* 沪”X皿 x由此可见，极限 工. 不存在，即f(x)在x=0不可导.你能看到，在函