高等数最新课件曲率完整版

1、 一、一、 弧微弧微 分分 )(xfy 设设 在在(a , b)内有连续导数内有连续导数, 其图形为其图形为 AB, 弧长弧长)(xsAMs x s MM MM x MM MM MM x yx 22 )()( MM MM 2 )(1 x y x s xs x 0 lim)( 2 )(1 y x A B )(xfy a b x o y x M xx M y 1lim 0 MM MM x 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则弧长微分公式为则弧长微分公式为 tyxsdd 22 )(xs 2 )(1 y xysd)(1d 2 或或 22 )(d)(ddyxs xxd xd x

2、o y x M yd T 几何意义几何意义:sdTM ;cos d d s x sin d d s y 若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示: )( )( tyy txx 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段, 其长为其长为,s对应切线对应切线 , 定义定义 弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率s s K M M s 点点 M 处的曲率处的曲率 s K s 0 lim sd d 注意注意: 直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0 ! 机动机动 目录目录 上页上页

3、下页下页 返回返回 结束结束 转角为转角为 例例1. 1. 求半径为R 的圆上任意点处的曲率 . 解解: 如图所示如图所示 , Rs s K s 0 lim R 1 可见可见: R 愈小愈小, 则则K 愈大愈大 , 圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害 ; R 愈大愈大, 则则K 愈小愈小 , 圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小 . s R M M 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式,1时当 y y tan) 22 ( 设 y arctan得 xyd)arctan(d x y y d 1 2 xysd1d 2 故曲率计算公式为故曲率计算公式为

4、 s K d d 2 3 )1( 2 y y K yK 又又 曲率曲率K K 的计算公式的计算公式 )(xfy 二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧 则由则由 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明: : (1) 若曲线由参数方程若曲线由参数方程 )( )( tyy txx 给出给出, 则则 2 3 )1( 2 y y K (2) 若曲线方程为若曲线方程为, )(yx则则 2 3 )1( 2 x x K 2 3 )( 22 yx yxyx K 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2. 2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x lR y

5、 作缓和曲线作缓和曲线, 处的曲率处的曲率.) 6 ,(, )0,0( 2 R l lBO 点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停 说明说明: 铁路转弯时为保证行车铁路转弯时为保证行车 平稳安全平稳安全, 求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 且且 l R. 其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 离心力必须离心力必须 连续变化连续变化 , 因此铁道的因此铁道的 曲率应连续变化曲率应连续变化 . 例例2. 2. 我国铁路常用立方抛物线 3 6 1 x lR y 作缓和曲线

6、作缓和曲线, 且且 l R. 处的曲率处的曲率.) 6 ,(, )0,0( 2 R l lBO 其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度, 求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:,0时当lx R l 2 0 x lR y 1 yK x lR 1 显然显然 ;0 0 x K R K lx 1 2 2 1 x lR y R B y ox 3 6 1 x lR y l 例例3. 3. 求椭圆 tby tax sin cos )20(t在何处曲率最大在何处曲率最大? 解解: 故曲率为

7、故曲率为 ba 2 3 )cossin( 2222 tbta ;sintax ;costby taxcos tbysin 2 3 )( 22 yx yxyx K K 最大最大tbtatf 2222 cossin)( 最小最小 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ttbttatfsincos2cossin2)( 2 tba2sin)( 22 求驻点求驻点: 的导数数 表示对参 t x ,0)( t f令,0t得, 2 , 2 3 2, 设设 tbatf2sin)()( 22 t )(tf 0 2 2 3 2 2 b 2 b 2 a 2 b 2 a 从而从而 K 取最大值取

8、最大值 . 这说明椭圆在点这说明椭圆在点 ,0ab时则2,0t )0,(a处曲率处曲率 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 计算驻点处的函数值计算驻点处的函数值: y x b a b a ,)( 取最小值tf 最大最大. 三、三、 曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 T y xo ),(D R ),(yxM C 设设 M 为曲线为曲线 C 上任一点上任一点 , 在点在点 在曲线在曲线 K RDM 1 把以把以 D 为中心为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点为半径的圆叫做曲线在点 M 处的处的 曲率圆曲率圆 ( 密切圆密切圆 ) , R 叫做叫做曲率半径曲率半径, D 叫做

9、叫做曲率中心曲率中心. 在点在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系处曲率圆与曲线有下列密切关系: (1) 有公切线有公切线;(2) 凹向一致凹向一致;(3) 曲率相同曲率相同 . M 处作曲线的切线和法线处作曲线的切线和法线, 的凹向一侧法线上取点的凹向一侧法线上取点 D 使使 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 设曲线方程为, )(xfy 且且,0 y 求曲线上点求曲线上点M 处的处的 曲率半径及曲率中心曲率半径及曲率中心),(D 设点设点M 处的曲率圆方程为处的曲率圆方程为 222 )()(R 故曲率半径公式为故曲率半径公式为 K R 1 2 3 )1 ( 2 y y

10、 满足方程组满足方程组 , 222 )()(Ryx),(在曲率圆上yxM )(MTDM y y x 的坐标公式的坐标公式 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 T C y xo ),(D R ),(yxM 由此可得曲率中心公式由此可得曲率中心公式 y yy x )1 ( 2 y y y 2 1 (注意注意y与与 y 异号异号 ) 当点当点 M (x , y) 沿曲沿曲 线线 )(xfy 移动时移动时, 的轨迹的轨迹 G 称为曲线称为曲线 C 的的渐屈线渐屈线 , 相应的曲率中心相应的曲率中心 C y x o ),(yxM ),(D R T 曲率中心公式可看成渐曲率中心

11、公式可看成渐 曲线曲线 C 称为曲线称为曲线 G 的的渐伸线渐伸线 . 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 屈线的参数方程屈线的参数方程(参数为参数为x). 点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停 例例4. 4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨 削其内表面削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适问选择多大的砂轮比较合适? 解解: 设椭圆方程为设椭圆方程为 tby tax sin cos ),20(abx 由例由例3可知可知, 椭圆在椭圆在)0,( a o y x 处曲率最大处曲率最大 , 即曲率半径最小即曲率半径最小, 且为且为 R 2

12、3 )cossin( 2222 tbta ba 0t a b2 显然显然, 砂轮半径不超过砂轮半径不超过 a b2 时时, 才不会产生过量磨损才不会产生过量磨损 , 或有的地方磨不到的问题或有的地方磨不到的问题. a b 例例3 3 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 ( 仍为摆线仍为摆线 ) )sin( a )cos1 ( a 例例5. 5. 求摆线 )cos1 ( )sin( tay ttax 的渐屈线方程的渐屈线方程 . 解解: x y y , cos1 sin t t x y y t )( d d 2 )cos1 ( 1 ta 代入曲率中心公式代入曲率中心公式 , )si

13、n(tta ) 1(cos ta 得得 ,t令 a a 2 摆线摆线 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 y o x M o 摆线摆线 半径为半径为 a 的圆周沿直线无滑动地滚动时的圆周沿直线无滑动地滚动时 , 点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停 M o y x t a 其上定点其上定点 M 的轨迹即为摆线的轨迹即为摆线 . )sin(ttax )cos1 (tay 参数的几何意义参数的几何意义摆线的渐屈线摆线的渐屈线 点击图中任意点动画开始或暂停点击图中任意点动画开始或暂停 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 内容小结内容小结 1.

14、 弧长微分弧长微分xysd1d 2 或或 22 )(d)(ddyxs 2. 曲率公式曲率公式 s K d d 2 3 )1 ( 2 y y 3. 曲率圆曲率圆 曲率半径曲率半径 K R 1 y y 2 3 )1 ( 2 曲率中心曲率中心 y yy x )1 ( 2 y y y 2 1 机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 思考与练习思考与练习 1. 曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系? 答答: 有公切线有公切线 ;凹向一致凹向一致 ;曲率相同曲率相同. 2. 求双曲线求双曲线 1yx 的曲率半径的曲率半径 R , 并分析何处并分析何处 R 最小最小? 解解:,