流体力学（第二版）课件：3 流体运动理论与动力学基础

1、 流体运动的描述方法流体运动的描述方法 流场的基本概念流场的基本概念 连续性方程连续性方程 本章包括两部分的内容：流体运动学和流体动力学。本章包括两部分的内容：流体运动学和流体动力学。 流体运动学：研究描述流体运动的方法，确定能够表征流体运动学：研究描述流体运动的方法，确定能够表征 流体运动特征的运动要素，根据运动要素研究流体运动流体运动特征的运动要素，根据运动要素研究流体运动 的特征。的特征。 流体动力学：研究流体机械运动的基本规律，即研究流体动力学：研究流体机械运动的基本规律，即研究 流体运动要素与引起运动的动力要素流体运动要素与引起运动的动力要素力之间的关系，力之间的关系， 其方法是根据

2、物理学与理论力学中的能量守恒和动量其方法是根据物理学与理论力学中的能量守恒和动量 守恒定律，建立流体运动的动力学方程。守恒定律，建立流体运动的动力学方程。 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程 流体质点流体质点 着眼于着眼于流体各质点流体各质点的运动情况，研究各质点运动要素（位的运动情况，研究各质点运动要素（位 置、速度、加速度等）的变化过程，通过综合所有被研究流体置、速度、加速度等）的变化过程，通过综合所有被研究流体 质点的运动情况来获得整个流体运动的规律，又称质点系法。质点的运动情况来获得整个流体运动的规律，又称质点系法。 流体质点坐标：流体质点坐

3、标： 流体质点速度：流体质点速度： 流体质点加速度：流体质点加速度： ),( ),( ),( tcbazz tcbayy tcbaxx ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x y z xx a b c t u tt yy a b c t u tt zz a b c t u tt 2 2 2 ( , , , ) ( , , , ) ( , , , ) x x y y z z ux a b c t a tt u y a b c t a tt uz a b c t a tt 着眼于着眼于流场中各空间点流场中各空间点时的运动情况，通过综合流场中所时的运动情况，通过综合流场中所

4、有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场有被研究空间点上流体质点的运动变化规律，来获得整个流场 的运动特性，又称流场法。的运动特性，又称流场法。 流场流场 充满运动流体的空间。充满运动流体的空间。 流速场：流速场： 压强场：压强场： ),( ),( ),( tzyxuu tzyxuu tzyxuu zz yy xx ),(tzyxpp 密度场：密度场： ),(tzyx xxxxx x duuuuudxdydz a dttx dtydtzdt xxxx x yyyy y zzzz z uuuudxdydz a txdtydtzdt uuuu dxdydz a txdtydtzdt

5、uuuudxdydz a tx dtydtzdt () u auu t 或或 当地加速度。表示通过固定空间点当地加速度。表示通过固定空间点 的流体质点速度随时间的变化率，的流体质点速度随时间的变化率， 由流场的非恒定性引起的；由流场的非恒定性引起的； 迁移加速度。表示流体质点所在空间迁移加速度。表示流体质点所在空间 位置的变化所引起的速度变化率，由位置的变化所引起的速度变化率，由 流场的非均匀性引起的。流场的非均匀性引起的。 u t ： ()uu ： () u auu t dA () d A uA tt 密度：密度： yy d d x uuuu ttxyzt （） 随体导数随体导数 拉格朗日法

6、拉格朗日法 欧拉法欧拉法 分别描述有限质点的轨迹分别描述有限质点的轨迹 表达式复杂表达式复杂 不能直接反映参数的空间分布不能直接反映参数的空间分布 不适合描述流体微元的运动变形特性不适合描述流体微元的运动变形特性 拉格朗日观点是重要的拉格朗日观点是重要的 同时描述所有质点的瞬时参数同时描述所有质点的瞬时参数 表达式简单表达式简单 直接反映参数的空间分布直接反映参数的空间分布 流体力学最常用的解析方法流体力学最常用的解析方法 适合描述流体微元的运动变形特性适合描述流体微元的运动变形特性 如果您有任何问题，如果您有任何问题， 请毫不犹豫地提出请毫不犹豫地提出 ! ! In case of you

7、have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 流场中流体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变流场中流体质点通过空间点时所有的运动要素都不随时间而变 化的流动称为恒定流；反之，只要有一个运动要素随时间而变化，化的流动称为恒定流；反之，只要有一个运动要素随时间而变化， 就是非恒定流。本课程主要讨论恒定流运动。就是非恒定流。本课程主要讨论恒定流运动。 水位 0 up tt 1. 1. 凡流动中任一点的运动要素只与一个空间自变

8、量有关，这种流动凡流动中任一点的运动要素只与一个空间自变量有关，这种流动 称为一元流动。称为一元流动。 2. 2. 流场中任何点的流速和两个空间自变量有关，此种水流称为二元流场中任何点的流速和两个空间自变量有关，此种水流称为二元 流动。流动。 3. 3. 若流动中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种流动称若流动中任一点的流速，与三个空间位置变量有关，这种流动称 为三元流动。为三元流动。 例：例：元流为一元流动；过流断面上各点的流速用断面平均流速代替元流为一元流动；过流断面上各点的流速用断面平均流速代替 的总流也可视为一元流动；宽直矩形明渠为二元流动，即为平面的总流也可视为一元流动；宽直矩

9、形明渠为二元流动，即为平面 流动；实际中，大部分水流的运动为三元流动。流动；实际中，大部分水流的运动为三元流动。 xyz dxdydz dt uuu O y z x B ux u ds A uz dx dz dy uy 一、迹线一、迹线 某一流体质点的运动轨迹，是从某一流体质点的运动轨迹，是从 拉格朗日方法拉格朗日方法研究的角度提出的。研究的角度提出的。 1. 1. 定义定义 2. 2. 迹线微分方程迹线微分方程 x y z dxu dt dyu dt dzu dt 2. 2. 流线微分方程流线微分方程 u 2 1 u u 2 1 3 3u 6 5 4 5u 4 6 u 流线流线 d0us 0

10、 xyz ijk udsuuu dxdydz xyz dxdydz uuu 注意：注意：迹线和流线方程虽形式上有相似之处，但含义截然不同。而迹线和流线方程虽形式上有相似之处，但含义截然不同。而 且迹线方程中且迹线方程中dt不可去掉。对于恒定流，流线和迹线重合；对于非不可去掉。对于恒定流，流线和迹线重合；对于非 恒定流，流线和迹线一般不重合。恒定流，流线和迹线一般不重合。 二、流线二、流线 流线是速度场的矢量线，它是表示某一确定时刻流体各点流动趋流线是速度场的矢量线，它是表示某一确定时刻流体各点流动趋 势的曲线，该曲线上任意质点在该时刻的速度矢量都与曲线相切适于势的曲线，该曲线上任意质点在该时刻

11、的速度矢量都与曲线相切适于 欧拉方法欧拉方法。 1. 1. 定义定义 3. 3. 流线的性质流线的性质 （1 1）一般情况下流线彼此不能相交。）一般情况下流线彼此不能相交。 （2 2）流线是一条光滑的曲线，）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点。不可能出现折点。 （5 5）恒定流动时流线形状不变，与迹线相同；）恒定流动时流线形状不变，与迹线相同； 非恒定流动时流线形状发生变化。非恒定流动时流线形状发生变化。 v1 v2 s1 s2 交点 v1 v2 折点 s （3 3）在流动的边界上，流线与固体边界重合。）在流动的边界上，流线与固体边界重合。 （4 4）流线充满整个流场。对不可压缩流）流线充

12、满整个流场。对不可压缩流 体，流线簇的疏密反映了速度的大小。流体，流线簇的疏密反映了速度的大小。流 线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小。线密集的地方流速大，稀疏的地方流速小。 1.1.流管流管 在流体运动中任意一微分面积在流体运动中任意一微分面积dAdA（如图），通过该面积的周界上的（如图），通过该面积的周界上的 每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为每一个点，均可作一根流线，这样就构成一个封闭的管状曲面，称为流流 管管。充满流体的流管称为。充满流体的流管称为流束流束。 2.2.过流断面过流断面 与与在流束上所作的与流线相垂直的断面，称为过流断面。在流束上所作的与流线相

13、垂直的断面，称为过流断面。 注意：注意：过流断面可为过流断面可为 平面也可为曲面。平面也可为曲面。 3.3.元流元流 元流是过流断面无限小的流束，几何特征与流线相同。元流是过流断面无限小的流束，几何特征与流线相同。 性质：性质：元流内外流体不会发生交换；恒定流元流的形状和位置不元流内外流体不会发生交换；恒定流元流的形状和位置不 会随时间而改变，非恒定流时将随时间改变；横断面上各点的流会随时间而改变，非恒定流时将随时间改变；横断面上各点的流 速和压强可看作是相等的。速和压强可看作是相等的。 3.3.总流总流 任何一个实际流体的流动都具有一定规模的边界，这种有一定任何一个实际流体的流动都具有一定规

14、模的边界，这种有一定 大小尺寸的实际流动称为总流。总流可以看作是由无限多个元流大小尺寸的实际流动称为总流。总流可以看作是由无限多个元流 所组成。所组成。 1.1.流量流量 单位时间内通过某一过流断面的流体量称为该过流断面的单位时间内通过某一过流断面的流体量称为该过流断面的流量流量。 若通过的量以体积计量就是若通过的量以体积计量就是体积流量体积流量，简称，简称流量流量。流量常用的单位。流量常用的单位 为米为米 秒（ 秒（m m3 3/s/s），符号表示。），符号表示。 微小流束流量微小流束流量 d dQ Q，总流流量，总流流量 质量流量质量流量： 重量流量重量流量： 2.2.断面平均流速断面平均

15、流速 总流过流断面上的平均流速，是一个想象的流速，如果过流断总流过流断面上的平均流速，是一个想象的流速，如果过流断 面上各点的流速都相等，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀面上各点的流速都相等，此时所通过的流量与实际上流速为不均匀 分布时所通过的流量相等，则流速就称为断面平均流速。分布时所通过的流量相等，则流速就称为断面平均流速。 AA QdQudA 1 A Q vVudA AA m QQ QgQ 1.1.均匀流、非均匀流均匀流、非均匀流 根据流线的形状，将流动分为均匀流与非均匀流。根据流线的形状，将流动分为均匀流与非均匀流。 均匀流均匀流是指流线为相互平行直线的流动。若流线不是相互平行直线

16、是指流线为相互平行直线的流动。若流线不是相互平行直线 时，此流动称为非均匀流，可分为渐变流与急变流。时，此流动称为非均匀流，可分为渐变流与急变流。 ()uu =0 均匀流具有以下特性：均匀流具有以下特性： 1 1均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。均匀流的过流断面为平面，且过流断面的形状和尺寸沿程不变。 2 2均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上均匀流中，同一流线上不同点的流速应相等，从而各过流断面上 的流速分布相同，断面平均流速相等。的流速分布相同，断面平均流速相等。 3 3均匀流过流断面上的动压强分布规律与静压强分布规律相同，即均匀流过流断面上的动压

17、强分布规律与静压强分布规律相同，即 在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。在同一过流断面上各点测压管水头为一常数。 p zC g 2. 2. 急变流、渐变流急变流、渐变流 渐变流：流线平行或接近平行的流动。渐变流：流线平行或接近平行的流动。 急变流：流线间相互不平行，有夹角的流动。急变流：流线间相互不平行，有夹角的流动。 渐变流 急变流 渐变流 急变流 渐变流 急变流 渐变流 急变流 渐变流 急变流 渐变流过流断面上的动压强分布规律近似渐变流过流断面上的动压强分布规律近似 符合静压强的分布规律。符合静压强的分布规律。 例题例题1 1：不可压缩流体的速度场为：不可压缩流体的速度场为 式中式中t

18、 为时间变量，试求：为时间变量，试求： （1 1）t =2s时，在（时，在（2 2，4 4）点的）点的加速度矢量；加速度矢量； （2 2）判别流动是否恒定；）判别流动是否恒定； （3 3）判别流动是否均匀。）判别流动是否均匀。 (46 ) (69 ) 0 x y z uyx t uyx t u 则：则：通过控制体前表面中心通过控制体前表面中心M M点在点在x x方向的分速度为方向的分速度为 通过控制体后表面中心通过控制体后表面中心N N点在点在x x方向的分速度为方向的分速度为 因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。因所取控制体无限小，故认为在其各表面上的流速均匀分布。 所以单

19、位时间内沿所以单位时间内沿x x轴方向流入控制体的质量为轴方向流入控制体的质量为 1 2 x Mx u uudx x 1 2 x Nx u uudx x 1 2 x x u udx dydz x 流出控制体的质量为流出控制体的质量为 于是，单位时间内在于是，单位时间内在x x方向流出与流入控制体的质量差为方向流出与流入控制体的质量差为 同理可得在单位时间内沿同理可得在单位时间内沿y y，z z方向流出与流入控制体的质量差为方向流出与流入控制体的质量差为 和和 由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入由连续介质假设，并根据质量守恒原理知：单位时间内流出与流入 控制体的质量差的总

20、和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。控制体的质量差的总和应等于六面体在单位时间内所减少的质量。 所以所以 11 22 xxx xx uuu udx dydzudx dydzdxdydz xxx y xz u uu dxdydzdxdydzdxdydz xyztt 1 2 x x u udx dydz x y u dxdydz y z u dxdydz z 整理得整理得 此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于任意运动流体。此式即为连续性微分方程的一般形式。适用于任意运动流体。 对于恒定流：对于恒定流： ，上式成为，上式成为 对于均质不可压缩流体对于均质不可压缩流体 ，则不论恒定流或非恒定流

21、均有，则不论恒定流或非恒定流均有 对二维流动连续性微分方程为对二维流动连续性微分方程为 上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。上面四个方程对于理想流体和实际流体均适用。 0 y xz u uu txyz 0 t 0 y xz u uu xyz 0 y xz u uu xyz 0 y x u u xy C 如图，从总流中任取一段，进、出口断如图，从总流中任取一段，进、出口断 面的面积分别为面的面积分别为A A1 1、A A2 2，在从总流中任，在从总流中任 取一个元流，其进、出口断面的面积和取一个元流，其进、出口断面的面积和 流速分别为流速分别为dAdA1 1、u u1 1；dAdA2 2、

22、u u2 2。根据质量。根据质量 守恒原理，单位时间内从守恒原理，单位时间内从dAdA1 1流进的流体流进的流体 质量等于从质量等于从dAdA2 2流出的流体质量，即流出的流体质量，即 1 11222 dQu dAu dA 对于不可压缩均质流体，对于不可压缩均质流体， 。上式变为。上式变为 总流是流场中所有元流的总和，所以积分可得总流连续性方程总流是流场中所有元流的总和，所以积分可得总流连续性方程 12 C 1122 dQu dAu dA 12 1122 QAA dQu dAu dA 1122 QV AV A 在有固定边界的恒定总流中，沿程的断面平均流速与其过流断面在有固定边界的恒定总流中，沿

23、程的断面平均流速与其过流断面 积成反比的，断面积大的断面平均流速小，断面积小的平均流速大。积成反比的，断面积大的断面平均流速小，断面积小的平均流速大。 Q2 Q3 Q1 21 12 VA VA 上式是沿程流量没有发生变化的连上式是沿程流量没有发生变化的连 续性方程，对于沿程有流量流入或流出续性方程，对于沿程有流量流入或流出 的分叉管流道，连续性方程的形式如下的分叉管流道，连续性方程的形式如下 123 QQQ 1122 V AV A 2121 QQQQQQ 1 Q 2 Q QQ 1 Q 2 Q 1 1 2 2 2 2 1 1 【例题例题2】 假设有一不可压缩流体三维流动，其速度分布 规律为）：

24、试分析该流动是否连续。 3 x ux 4 y u y 2 z uz 09 z u y u x u z y x zyxuzyuyxu zyx 2,4),(3 2 【例题例题3】 有一输水管道，如图所示。水自截面1-1流向截面2-2。测得 截面1-1的水流平均流速 m/s，已知d1=0.5m， d2=1m，试求 截面2-2处的平均流速 为多少？ 【解解】 由式（3-24）得 2 1 v 2 v 2 22 2 11 44 dvdv 5 . 0 1 5 . 0 2 2 2 2 1 12 d d vv(m/s) 1 d 2 d 1 v 2 v 如果您有任何问题，如果您有任何问题， 请毫不犹豫地提出请毫不

25、犹豫地提出 ! ! In case of you have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用。欧拉运动微分方程是牛顿第二定律在理想流体中的具体应用。 这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方程。对理想流体这里采用微元体积法导出欧拉运动微分方程。对理想流体 3.4 3.4 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 取如图所示的平行六面体作为研究对象，首先分析受力：取如图所示的平

26、行六面体作为研究对象，首先分析受力： 六面体中心点六面体中心点A(x(x，y y，z)z)的动压强为的动压强为p， 以以x轴方向为例说明。根据泰勒级数展开式轴方向为例说明。根据泰勒级数展开式 2 1 ( )()()()()() 2 ooooo f xf xfxxxfxxx 1 (, , ) 2 m xdx y z() 2 p dx p x 点的压强为点的压强为 1 (, , ) 2 n xdx y z() 2 p dx p x 点的压强为点的压强为 表面力表面力 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 则作用在沿则作用在沿x轴方向上两轴方向上两 个作用面的表面力分别为个作用面的表面力分别为

27、1 () 2 n p Ppdxdydz x 1 () 2 m p Ppdxdydz x 质量力质量力 x FX dxdydz 其中，加速度为全加速度，即包括当地加速度和迁移加速度。即其中，加速度为全加速度，即包括当地加速度和迁移加速度。即 11 ()()() 22 x pp pdxdydzpdxdydzXdxdydzdxdydz a xx 1 x p aX x 在在x x轴方向运用牛顿第二定律轴方向运用牛顿第二定律 1 xxxx xyz uuuup uuuX txyzx 理想流体运动微分方程理想流体运动微分方程 1 1 1 xxxx xyz yyyy xyz zzzz xyz uuuup uu

28、uX txyzx uuuu p uuuY txyzy uuuup uuuZ txyzz 同理可得同理可得y y、z z轴方向的方程，即轴方向的方程，即 上式即为理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动方程。上式即为理想流体的运动微分方程，又称欧拉运动方程。 写成矢量式如下写成矢量式如下 1 () u uufp t 黏性流体运动微分方程黏性流体运动微分方程 对于黏性流体，考虑到切应力的作用，其运动微分方程变成对于黏性流体，考虑到切应力的作用，其运动微分方程变成 2 2 2 1 1 1 xxxx xyzx yyyy xyzy zzzz xyzz uuuup uuuXu txyzx uuuu p uuu

29、Yu txyzy uuuup uuuZu txyzz 0 y xz u uu txyz 维纳维纳- -斯托克斯方程，简称斯托克斯方程，简称N- -S方程，常常和连续性方程联合求解。方程，常常和连续性方程联合求解。 3.4 3.4 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 我们推导的欧拉运动微分方程和连续性方程联立，再加上确定的初我们推导的欧拉运动微分方程和连续性方程联立，再加上确定的初 始条件和边界条件，理论上可以求解。但由于其为非线性的偏微分方程始条件和边界条件，理论上可以求解。但由于其为非线性的偏微分方程 组，实际求解很困难，而且大多数情况下流体运动过程又比较复杂，目组，实际求解很困难，而

30、且大多数情况下流体运动过程又比较复杂，目 前只能在一些简单的流动情况下对欧拉运动方程进行积分，求得方程的前只能在一些简单的流动情况下对欧拉运动方程进行积分，求得方程的 解析解。最常见的就是伯努利积分。对理想流体，推导如下：解析解。最常见的就是伯努利积分。对理想流体，推导如下： 1 (1) 1 (2) 1 (3) xxxx xyz yyyy xyz zzzz xyz uuuup Xuuu xtxyz uuuu p Yuuu ytxyz uuuup Zuuu ztxyz 理想流体元流伯努利方程理想流体元流伯努利方程 对（对（1 1）式两边乘以）式两边乘以dxdx，则，则 1 () xxxx xyz

31、 uuuup Xdxdxuuudx xtxyz 对于恒定流对于恒定流 ，由流线方程，由流线方程， 0 u t , yxzxzy u dxu dy u dxu dz u dyu dz 则上式可变为则上式可变为 1 () xxx xxx uuup Xdxdxudxdydzu du xxyz 同理同理1 yy p Ydydyu du y 1 zz p Zdzdzu du z 以上三式相加以上三式相加 1 xxyyzz XdxYdyZdzdpu duu duu du 222 2 ()() 22 xyz uuu u dd 若为均质不可压缩流体，若为均质不可压缩流体， ， ，带入前面的式，带入前面的式 子

32、得子得 理想流体元流伯努利方程理想流体元流伯努利方程 如果质量力有势（质量力是重力、惯性力）如果质量力有势（质量力是重力、惯性力） C WWW XYZ xyz ， WWW XdxYdyZdzdxdydzdW xyz 以以W（x,y,zx,y,z）表示质量力势函数，于是）表示质量力势函数，于是 1 () p dpd 2 ()0 2 pu d W 沿流线积分沿流线积分 2 2 pu WC （伯努利积分）（伯努利积分） 总结一下应用条件：总结一下应用条件： 1.1.理想流体；理想流体；2.2.恒定流；恒定流；3.3.质量力有势；质量力有势； 4.4.不可压缩均质流体；不可压缩均质流体；5.5.沿流线

33、积分。沿流线积分。 对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点1 1与与2 2，上，上 式可改写为式可改写为 此式即为理想流体元流或流线的伯努利方程，又称能量方程。此式即为理想流体元流或流线的伯努利方程，又称能量方程。 它表示了重力场中理想流体的元流（或在流线上）作恒定流动时，流它表示了重力场中理想流体的元流（或在流线上）作恒定流动时，流 速速u u、动压强、动压强p p与位置高度与位置高度z z三者之间的关系。三者之间的关系。 若流动发生在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力，选若流动发生在重力场中，作用在流体上的质量力只有重力，选z 轴垂

34、直向上，则质量力势函数轴垂直向上，则质量力势函数W=-gz, ,代入伯努利积分得代入伯努利积分得 2 2 pu zC gg 22 1122 12 22 pupu zz gggg 2 2 pu zC gg 适用范围：适用范围： （1 1）理想流体；）理想流体； （2 2）不可压缩流体；）不可压缩流体； （3 3）恒定流；）恒定流； （4 4）质量力只有重力；）质量力只有重力； （5 5）沿元流（流线）。）沿元流（流线）。 对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点对元流任意两断面的中心点或一条流线上的任意两点1 1与与2 2， 22 1122 12 22 pupu zz gggg 理想流体元

35、流伯努利方程理想流体元流伯努利方程 理想流体元流伯努利方程理想流体元流伯努利方程 流体各种水头线沿程变化的图形称为流体各种水头线沿程变化的图形称为水头线图。水头线图。 2 0 2 pv zH gg 常数 b c 1 aa 2 c b H 总水头线 测压管水头线 gv2/ 2 1 gp/ 1 1 z gv2/ 2 2 gp/ 2 2 z 速速 度度 水水 头头 位位 置置 水水 头头 压压 强强 水水 头头 总总 水水 头头 不可压缩理想流体在重力场不可压缩理想流体在重力场 中作恒定流动时，沿流线单位重中作恒定流动时，沿流线单位重 力流体的总水头线为一平行于基力流体的总水头线为一平行于基 准线的

36、水平线。准线的水平线。 如果您有任何问题，如果您有任何问题， 请毫不犹豫地提出请毫不犹豫地提出 ! ! In case of you have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 3.4.2 3.4.2 重力作用下元流伯努利方程重力作用下元流伯努利方程 实际流体具有黏性，若我们把单位重量的元流在实际流体具有黏性，若我们把单位重量的元流在1-11-1，2-22-2断面间的断面间的 机械能损失称为元流的水头损失，以机械能损失称为元

37、流的水头损失，以 表示，则表示，则1 1，2 2断面间的伯努利断面间的伯努利 方程为方程为 22 1122 12 22 w pupu zzh gggg w h 因为黏性的存在，流体在流动过程中总是有能量损失的，即水头损因为黏性的存在，流体在流动过程中总是有能量损失的，即水头损 失总是大于零的，失总是大于零的，总水头线总是沿程下降的。将单位流程内的水头损总水头线总是沿程下降的。将单位流程内的水头损 失称为能量损失坡度，又称水力坡度，用失称为能量损失坡度，又称水力坡度，用J表示，表示，J为正值为正值，即，即 0w dhdH J dldl 将单位流程内的测压管水头损失称为测压管坡度，用将单位流程内的

38、测压管水头损失称为测压管坡度，用Jp p表示，它表示，它 可正可负，表示测压管水头线可能上升，也可能下降。可正可负，表示测压管水头线可能上升，也可能下降。 一、毕托管一、毕托管 毕托管是一种测定空间点流速的仪器。如图，若要测定管流液毕托管是一种测定空间点流速的仪器。如图，若要测定管流液 体中体中A A点的流速点的流速v v，可由测压管测出该点的测压管液柱高度，可由测压管测出该点的测压管液柱高度 ，并，并 在在A A点下游相距很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端点下游相距很近的地方放一根测速管。测速管是弯成直角而两端 开口的细管，一端的出口置于与开口的细管，一端的出口置于与A A点相距

39、很近的点相距很近的B B点处，并正对来流，点处，并正对来流， 另一端向上。在另一端向上。在B B点处由于测速管的阻滞，流速为点处由于测速管的阻滞，流速为0 0，动能全部转化为，动能全部转化为 压能，测速管中液面升高为压能，测速管中液面升高为 。 B B点称为滞止点或驻点。点称为滞止点或驻点。 应用理想流体恒定流沿流线应用理想流体恒定流沿流线 的伯努利方程于的伯努利方程于A A、B B两点，并取两点，并取 ABAB连线的平面作为基准面，则有连线的平面作为基准面，则有 pg pg 即即 对于实际流体在应用上式计算对于实际流体在应用上式计算A A点流速时，需考虑液体粘性点流速时，需考虑液体粘性 对液

40、体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对流动的干扰，应使对液体运动的阻滞作用，以及毕托管放入流场后对流动的干扰，应使 用修正系数用修正系数 ，对该式的计算结果加以修正。一般，对该式的计算结果加以修正。一般 小于小于1 1，即，即 式中式中 为校正系数，其值一般约为为校正系数，其值一般约为0.980.981 1，由试验率定。，由试验率定。 2 0 2 pup ggg 2 2 upp h ggg 22 pp ugg h g 2ug h 3.4 3.4 恒定总流的伯努利方程恒定总流的伯努利方程 前面学习了元流的伯努利方程，把它沿过流断面进行积分就可以前面学习了元流的伯努利方程，把它沿过流断面进行积分

41、就可以 得到总流的能量方程。得到总流的能量方程。 不可压缩实际流体恒定流微小流束的能量方程为不可压缩实际流体恒定流微小流束的能量方程为 各项乘以各项乘以 ，并分别在总流的两个过流断面，并分别在总流的两个过流断面A A1 1及及A A2 2上进上进 行积分得：行积分得： 2 22 2 2 11 1 22 w h g u g p z g u g p z gdQ gdQhgdQ g u gdQ g p zgdQ g u gdQ g p z Q w QQQQ 2 22 2 2 11 1 2 )( 2 )( 共含有三种类型积分：共含有三种类型积分： 1 1第一类势能积分第一类势能积分 若过流断面为渐变流

42、，则在断面上若过流断面为渐变流，则在断面上 积分可得积分可得 ()()() QQ ppp zgdQzgdQzgQ ggg gdQ g p z Q )( C g p z)( 2 2第二类动能积分第二类动能积分 因因 所以所以 式中式中 为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于为动能修正系数，流速分布愈均匀，愈接近于1 1；不；不 均匀分布时，均匀分布时，11； 在渐变流时，一般在渐变流时，一般 =1.05 =1.051.11.1。为计算简便起见，通常取。为计算简便起见，通常取11。 2222 2 33 2 QAdAugdQ g u AQ 3 3 Au dA v A gdQ g u Q 2 2 u

43、dAdQ 3 3第三类积分第三类积分 假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量假定各个微小流束单位重量液体所损失的能量 都用一个都用一个 平均值平均值 来代替则第三类积分变为：来代替则第三类积分变为： 得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。得不可压缩实际液体恒定总流的能量方程。 上式反映了总流中不同过流断面上上式反映了总流中不同过流断面上 ( )( )值和断面平均流值和断面平均流 速速v v的变化规律。的变化规律。 www QQ hgdQghdQgQh 21 2 222 2 2 111 1 22 w h gg p z gg p z Q gdQhw w h g p z w h 应用条件：应用条件

44、： 1 1流动必须是恒定流；流动必须是恒定流； 2 2流体的密度是常数，即不可压缩流体；流体的密度是常数，即不可压缩流体； 3 3作用于流体上的质量力只有重力；作用于流体上的质量力只有重力； 4. 4. 在所选的两个过流断面上，水流应符合均匀流或渐变流条件，但在所选的两个过流断面上，水流应符合均匀流或渐变流条件，但 在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；在所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流； 5. 5. 两个过流断面间除了水头损失外，无其它机械能的输入或输出；两个过流断面间除了水头损失外，无其它机械能的输入或输出； 6. 6. 在所取的两过流断面之间，流量保持不变，其间没有流量输入或在

45、所取的两过流断面之间，流量保持不变，其间没有流量输入或 输出。输出。 0 0 1 2 z1 hw 1 2 z2 z p1 p2 1v12 2g 2v22 2g 测压管水头线测压管水头线 总水头线总水头线 p v 2 2g 水头线水头线 v2 1 2 1 2 水面测压管水头线水面测压管水头线 v1 1v12 2g 2v22 2g z1 z2 hw 总水头线总水头线 应用能量方程的注意点应用能量方程的注意点 1. 1. 选择同一基准面；选择同一基准面； 2. 2. 选取选取p p为同一标准；为同一标准； 3.3. 的选取，管道选轴线点，明渠选自由表面；的选取，管道选轴线点，明渠选自由表面； 4.4

46、. 令令 。 p z g 12 1 应用能量方程的解题步骤应用能量方程的解题步骤 1. 1. 选择基准面和过流断面；选择基准面和过流断面； 2. 2. 分析计算分析计算 ； 3.3. 联立连续性方程，分析计算联立连续性方程，分析计算v v； 4.4. 列能量方程求解。列能量方程求解。 p z g 能量方程的应用举例能量方程的应用举例 文丘里流量计文丘里流量计 1. 文丘里流量计的组成文丘里流量计的组成 h1 2 h h 收缩段 喉管 扩散段 1 1 2 2 文丘里流量计文丘里流量计 文丘里流量计文丘里流量计 2. 文丘里流量计的测流原理文丘里流量计的测流原理 111 vpA、 、 222 vp

47、A、 、 文丘里流量计文丘里流量计 2 2 1 1 h h2 1 h 00 文丘里流量计文丘里流量计 22 11 1222 12 22 w pvpv zzh gggg 0 w h 12 1.0 22 1221 12 ()() 2 ppvv zz ggg 12 hhh 22 21 2 vv h g 文丘里流量计文丘里流量计 1122 v Av A 2 2 1222 2 2111 /4 () /4 vAdd vAdd 2 1 21 2 () d vv d 2 4 11 2 ()1 2 vd h gd 1 4 1 2 2 ()1 gh v d d 文丘里流量计文丘里流量计 2 1 1 1 4 1 2

48、 2 4 ()1 ghd QAv d d 2 1 4 1 2 2 4 ()1 gd K d d QK h 分析：分析： QKh 文丘里流量计文丘里流量计 讨论：讨论： 当管道的直径当管道的直径d d1 1 和喉管的直径和喉管的直径d d2 2 确定以后，确定以后，K K 值值 就是一定的，可以预先计算得出。由（就是一定的，可以预先计算得出。由（4 4）式可知，）式可知， 只要测出管道只要测出管道1-11-1断面与喉管断面与喉管2-22-2断面的测压管的高度断面的测压管的高度 差差h h，就很快可以算出流量，就很快可以算出流量Q Q 值，这就是文丘里流量值，这就是文丘里流量 计测流的原理。计测流

49、的原理。 对于压差比较大的管道，有时候两个断面间的水对于压差比较大的管道，有时候两个断面间的水 头高差达到头高差达到1 1米以上，读数就不是很方便，那怎么解米以上，读数就不是很方便，那怎么解 决这个问题呢？决这个问题呢？ 0.95 0.98 文丘里流量计文丘里流量计 文丘里流量计文丘里流量计 思考：思考：1.1.当文丘里流量计接上水银压差当文丘里流量计接上水银压差 计的后，其计算公式变为计的后，其计算公式变为 1 1 2 2 h 水 银 文丘里流量计文丘里流量计 12.6QKh 式中式中h为水银压差计两支水银面为水银压差计两支水银面 的高差，为什么？的高差，为什么？ 2.2.文丘里流量计的计算

50、公式（文丘里流量计的计算公式（4 4） 能不能用来测量倾斜管道中的流能不能用来测量倾斜管道中的流 量，为什么？量，为什么？ 文丘里流量计文丘里流量计 流速流速v的变化的变化 0v 3.4.4 3.4.4 总流伯努利方程的扩展总流伯努利方程的扩展 22 11 1222 121 2 22 w pvpv zzh gggg 22 33 311 1 131 3 22 w pvpv zzh gggg 12 312 22 11 122 2 12 2 33 3 31 32 3 ()() 22 () 2 vv vvwvw pvpv gQzgQz gggg pv gQzgQ hgQ h gg 一、有分流或汇流时实

51、际流体总流能量方程一、有分流或汇流时实际流体总流能量方程 对于汇流情况，也可分别列出对于汇流情况，也可分别列出1 1、3 3及及2 2、3 3的伯努利方程的伯努利方程 同理可得总能量守恒的伯努利方程同理可得总能量守恒的伯努利方程 3.4.4 3.4.4 总流伯努利方程的扩展总流伯努利方程的扩展 22 33 311 1 131 3 22 w pvpv zzh gggg 32 333 3 222 2 22 w h g v g p Z g v g p Z 3231 333 3 222 2 111 1 213 21 ) 2 ( ) 2 () 2 ( wvwvv vv hgQhgQ g v g p Zg

52、Q g v g p ZgQ g v g p ZgQ 3.4.4 3.4.4 总流伯努利方程的扩展总流伯努利方程的扩展 二、有机械能输入或输出时总流能量方程二、有机械能输入或输出时总流能量方程 沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装置，沿总流两过流断面间装有水泵、风机或水轮机等装置， 流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去能量。流体流经水泵或风机时将获得能量，流经水轮机时将失去能量。 设流体获得或失去能量头为设流体获得或失去能量头为 ，则总流伯努利方程为，则总流伯努利方程为 式中式中 前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。前的正、负号，获得能量为正，失去能量为负。 H 22

53、 11 1222 121 2 22 w pvpv zHzh gggg H 对马达和水泵对马达和水泵 对水轮机与发电机对水轮机与发电机 pp P H gQ g g P H gQ 3.4.4 3.4.4 总流伯努利方程的扩展总流伯努利方程的扩展 三、气流的伯努利方程三、气流的伯努利方程 对流速不是很大，压强变化不大的系统，如工业通风对流速不是很大，压强变化不大的系统，如工业通风 管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小。在这样的条管道、烟道等，气流在运动过程中密度的变化很小。在这样的条 件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空气的件下，伯努利方程仍可用于气流。由于气流的密度同外部空

54、气的 密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部密度是相同的数量级，在用相对压强进行计算时，需要考虑外部 大气压在不同高度的差值。大气压在不同高度的差值。 22 11 122 2 1212 (1) 22 absabs w pvpv zzh gggg w p ww pgh 为压强损失，为压强损失， wabsabs p v pgz v pgz 22 2 2 22 2 1 11 3.4.4 3.4.4 总流伯努利方程的扩展总流伯努利方程的扩展 三、气流的伯努利方程三、气流的伯努利方程 11 2221 () absa absaa ppp pppg zz 22 12 1212 () ()

55、22 aw vv pg zzpp 如果您有任何问题，如果您有任何问题， 请毫不犹豫地提出请毫不犹豫地提出 ! ! In case of you have any In case of you have any question, DO NOT question, DO NOT hesitate to ask me !hesitate to ask me ! 例例 ：已知：已知: d=200mm H=4.5m Q=100 (l/s) ， 求求: 水流的总水头损失水流的总水头损失 解解: H 2 2 11 选选1-1与与2-2两个断面间的流动两个断面间的流动 ) 2 ( 2 2 222 2 2 1

56、11 1 g v g p z g v g p zhw 将将 H=z1-z2和和 p1=p2=0 及及 v1=0 2=1.0 则有：则有： m97.353.05.4 031.08.92 1.0 5.4 22 2 2 2 22 2 w w h gA Q H g v Hh 伯努利方程应用实例伯努利方程应用实例 分析：分析：v v1 1相对于相对于v v2 2可以忽略不可以忽略不 计。计。p p1 1和和p p2 2 均等于当地大气压， 均等于当地大气压， 其相对压强为零。其相对压强为零。 w h g v H 2 00000 2 22 m/s592. 1 2 A Q v m63. 3 2 2 22 w

57、 h g v H 0 . 1 2 1 1 2 2 H 伯努利方程应用实例伯努利方程应用实例 已知已知: zc=9.5m zB=6m 不计损失，不计损失， 求求: c 点压能和动能。点压能和动能。 8m 0 0 3.5m 1.5m 2 B c A 2 V2 11 解解: 1-1与与2-2两截面两截面 间流动间流动, 由伯努利方由伯努利方 程有：程有： g v g v g v g p zH c 2 m2 2 m8 2 22 2 2 22 21 列列1-1与与c断面间能量方程有断面间能量方程有 m5 . 325 . 98 2 2 2 01 2 01 g v zH g p g v g p zH c c

58、 c ccc c 伯努利方程应用实例伯努利方程应用实例 w h p g v z p g v z 2 2 2 2 1 2 1 1 22 s Hzvpz 2111 ; 0; 0; 0 ws a v h g v H pp h 2 2 22 m0 . 6 v h s H 11 2 2 Q 伯努利方程应用实例伯努利方程应用实例 解：分别选取渠底抬高处前后两渐变流过流断面解：分别选取渠底抬高处前后两渐变流过流断面1 11 1和和2 22 2，计算点，计算点 均取在自由面上（相对压强为零），基准面均取在自由面上（相对压强为零），基准面0 00 0取与抬高前渠底冲合，取与抬高前渠底冲合， 则据则据1 11 1

59、和和2 22 2过流断面列恒定总流的伯努利方程：过流断面列恒定总流的伯努利方程： g v g v hh g v h t 2 5 . 0 2 0)( 2 0 2 22 2 22 2 2 11 1 连续性方程：连续性方程： 0 . 1 21 2211 bhvbhvQ /sm m/s 3 89. 5 606. 1 )/(2/3 )(2 2 12 21 2 Q hh hhhg v t 1 1 2 2 0 0 t h 1 h2 hQ 伯努利方程应用实例伯努利方程应用实例 质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化，质点系运动的动量定律：质点系的动量在某一方向的变化， 等于作用于该质点系上所有外力

60、的冲量在同一方向上投影的代数和。等于作用于该质点系上所有外力的冲量在同一方向上投影的代数和。 今在恒定总流中，取出某一今在恒定总流中，取出某一 流段来研究。该流段两端过水断流段来研究。该流段两端过水断 面为面为1-11-1及及2-22-2。经微小时段。经微小时段dtdt后后, , 设原流段设原流段1-21-2移至新的位置移至新的位置1-21-2。 流段内动量的变化流段内动量的变化 应等于应等于 1-21-2与与1-21-2流段内液体的动量流段内液体的动量 P1-2P1-2和和P1-2P1-2之差。之差。 3.5 3.5 恒定总流的动量方程恒定总流的动量方程 p 一、动量方程式一、动量方程式 3