mathematics第8讲课件学习

1、软 件 介 绍 第8讲 线性代数的数值计算 12021/3/23 2/67 2 线性代数是应用数学的一个重要分支线性代数是应用数学的一个重要分支,它是科技与它是科技与 工程中线性模型问题研究与求解的最主要工具工程中线性模型问题研究与求解的最主要工具,因而有因而有 着广泛的应用。着广泛的应用。 线性代数研究的主要内容是矩阵和线性方程组的性线性代数研究的主要内容是矩阵和线性方程组的性 质与求解质与求解,有时也包括线性空间和二次型的讨论。有时也包括线性空间和二次型的讨论。 第第8讲讲 线性代数的数值计算线性代数的数值计算 3/67 3 第第8讲讲 线性代数的数值计算线性代数的数值计算 8.1 矩阵矩

2、阵 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 8.4 探索实验探索实验 4/67 4 8.1 矩阵矩阵 在前面第在前面第1章章1.4节关于表的介绍中我们看到节关于表的介绍中我们看到,一个二一个二 维的表与一个矩阵代表着相同的内容维的表与一个矩阵代表着相同的内容,它们只是在不同它们只是在不同 领域里的不同叫法领域里的不同叫法,在数学里叫它们为矩阵在数学里叫它们为矩阵,而在文字而在文字 处理与数据处理中常称之为表处理与数据处理中常称之为表. 从从Mathematica角度看角度看,向量和矩阵只是一种特殊向量和矩阵只是一种特殊 的表的表,因此在描述和生成矩阵时因

3、此在描述和生成矩阵时,我们可以充分利用表我们可以充分利用表 这一工具。这一工具。 5/67 5 8.1 矩阵矩阵 8.1.1 矩阵的生成 p1. 当矩阵的阶数比较低时当矩阵的阶数比较低时,可以用直接输入法生成矩可以用直接输入法生成矩 阵阵 【例例8-1】矩阵的生成矩阵的生成 A = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9;(A的列表形式的列表形式) A/MatrixForm(将将A写成矩阵的形式写成矩阵的形式) 运行后得运行后得: 6/67 6 8.1 矩阵矩阵 8.1.1 矩阵的生成 p2. 当矩阵的阶数比较高时当矩阵的阶数比较高时,可以利用建表函数来生成可以利用建表函数来生成

4、矩阵矩阵 Arraya,m,n 生成生成m n阶的矩阵阶的矩阵,它的它的i行行j列元素是列元素是ai, j Tableai,j,i,m,j,n 同上同上 Tablefij,i,m,j,n 生成生成m n阶的矩阵阶的矩阵,它的它的i行行j列元素按通项列元素按通项fij的规律取的规律取 得得 7/67 7 8.1 矩阵矩阵 8.1.1 矩阵的生成 p2. 当矩阵的阶数比较高时当矩阵的阶数比较高时,可以利用建表函数来生成可以利用建表函数来生成 矩阵矩阵 【例例8-2】生成元素为生成元素为hij = 1/(i + j 1)的的m n阶矩阵阶矩阵, 此阵称为此阵称为Hilbert矩阵。矩阵。 H = T

5、able1/(i + j 1), i, 3, j, 4; MatrixFormH 8/67 8 8.1 矩阵矩阵 8.1.1 矩阵的生成 p3. 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成 Table0,m,n IdentityMatrixn DiagonalMatrixlist TableRandom,m,n 生成一个生成一个m n阶随机元素阵阶随机元素阵,元素的值在元素的值在0与与1之间之间 TableIfi=j,1,0,j,m,j,n 生成一个生成一个m n阶的下三角矩阵阶的下三角矩阵 生成一个生成一个m n阶阶0元素矩阵元素矩阵 生成一个生成一个n阶单位矩阵阶单位矩阵 用表用表list中的元素生成中

6、的元素生成 一个对角阵一个对角阵 9/67 9 8.1 矩阵矩阵 8.1.1 矩阵的生成 p3. 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成 【例例8-3】(1) 生成生成0元素阵元素阵; Table0, 2, 3; %/MatrixForm (2) 生成单位阵生成单位阵; IdentityMatrix3; %/MatrixForm (3) 生成对角阵生成对角阵; DiagonalMatrixa, b, c, d; %/MatrixForm 10/67 10 8.1 矩阵矩阵 8.1.1 矩阵的生成 p3. 特殊矩阵的生成特殊矩阵的生成 【例例8-3】(4) 生成随机元素阵生成随机元素阵; TableRan

7、dom, 2, 2 (5) 生成上三角阵生成上三角阵; TableIfi =j, 5, 0, i, 3, j, 4; %/MatrixForm 11/67 11 8.1 矩阵矩阵 8.1.2 矩阵的取块 在矩阵运算中有时需要提取它的一部分元素在矩阵运算中有时需要提取它的一部分元素(块块)参参 与运算与运算,比如提取一个元素比如提取一个元素,一行元素一行元素,一列元素一列元素,或者一或者一 个子矩阵等个子矩阵等,方法如下方法如下: Ai,j 取出矩阵取出矩阵A的第的第i行第行第j列元素列元素 Ai取出矩阵取出矩阵A中的第中的第i行元素行元素 AAll,j取出矩阵取出矩阵A中的第中的第j列元素列元

8、素 Ai1,i2,ip,j1,j2,jq TakeA,i0,i1,j0,j1 TrA,List 取出按列表给出的矩阵取出按列表给出的矩阵A的对角线元素的对角线元素 取 出 由取 出 由 i 1 , i 2 , , i p 行行,j1,j2,jq列组成的列组成的 子阵子阵 取出由取出由A的的i0行到行到i1行行 和和j0到到j1列组成的子阵列组成的子阵 12/67 12 8.1 矩阵矩阵 8.1.2 矩阵的取块 【例例8-4】已知矩阵已知矩阵 B = 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5

9、, 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.5, 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.5。 MatrixFormB 则有则有 13/67 13 8.1 矩阵矩阵 8.1.2 矩阵的取块 【例例8-4】已知矩阵已知矩阵 B2, 3 = 6.9(将将B中中2行行3列元素列元素2.3重新赋值为重新赋值为6.9) B2(取出重新赋值后的第取出重新赋值后的第2行行) BAll, 3(取出重新赋值后的第取出重新赋值后的第3列列) B1, 3, 2, 4 TakeB, 1, 2, 3, 5 TrB, List 14/67 14 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 设设u为一个数量为一个数量

10、, A=aijm n和和B=bijr s为矩阵为矩阵, 数学中数学中: uA = uaijm nu加矩阵加矩阵A等于将等于将u加到加到A的每个元素上的每个元素上 u.A = u.aijm nu乘矩阵乘矩阵A等于将等于将u乘到乘到A的每个元素上的每个元素上 AB = aijbijm nA与与B同阶同阶(m=r,n=s),对应元素相加对应元素相加 A.B = C A右乘右乘B,必须是必须是A的列数的列数n与与B的行数的行数 r相等才能相乘相等才能相乘,所得矩阵所得矩阵C的元素的元素 在特殊情况下在特殊情况下,当当n=1与与r=1时时,则有则有A=aijm 1与与B=bij1 s 变为行向量与列向量

11、变为行向量与列向量,因此上面的公式包含了对向量的因此上面的公式包含了对向量的 运算。运算。 n k kjikij bac 1 15/67 15 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 要注意的是在要注意的是在Mathematica里定义了里定义了3种乘法运算种乘法运算: 点积点积“.”,叉积叉积“ ”和星号积和星号积“*” 设设a与与b为向量为向量,A与与B为矩阵为矩阵,u与与v为数量为数量,则则: a.b就是数学中两向量的内积就是数学中两向量的内积(数量积数量积) A.B就是数学中两矩阵的乘积就是数学中两矩阵的乘积 a b Crossa,b就是数学中两向量的外积就是数学中两向量的外积(向量

12、积向量积) A B OuterTimes,A,B 矩阵的外积矩阵的外积,在数学中没有定义在数学中没有定义 a*b仍为一向量仍为一向量,等于等于a与与b的对应元素相乘的对应元素相乘 A*B仍为一矩阵仍为一矩阵,等于等于A与与B的对应元素相乘的对应元素相乘 u*vu乘乘v规定用星号规定用星号u*v,u.v与与u v无意义。无意义。 16/67 16 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 设设a与与b为向量为向量,A与与B为矩阵为矩阵,u与与v为数量为数量,则则: a.b就是数学中两向量的内积就是数学中两向量的内积(数量积数量积) A.B就是数学中两矩阵的乘积就是数学中两矩阵的乘积 a b Cr

13、ossa,b就是数学中两向量的外积就是数学中两向量的外积(向量积向量积) A B OuterTimes,A,B 矩阵的外积矩阵的外积,在数学中没有定义在数学中没有定义 a*b仍为一向量仍为一向量,等于等于a与与b的对应元素相乘的对应元素相乘 A*B仍为一矩阵仍为一矩阵,等于等于A与与B的对应元素相乘的对应元素相乘 u*vu乘乘v规定用星号规定用星号u*v,u.v与与u v无意义。无意义。 在本书中最常见的是点积在本书中最常见的是点积“.”,希望读者注意希望读者注意,不可与不可与 叉积叉积“ ”,星号积星号积“*”混同使用。混同使用。 17/67 17 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算

14、除了上述简单的矩阵代数运算外除了上述简单的矩阵代数运算外,还有下面一些常见还有下面一些常见 的矩阵运算。的矩阵运算。 DetA求矩阵求矩阵A的行列式的行列式|A|,A必须是方阵必须是方阵) TransposeA求求A的转置阵的转置阵(记为记为AT或或A ) InverseA求求A的逆矩阵的逆矩阵(记为记为A-1,A必须是方阵必须是方阵) MinorsA求求A的每个元素对应的余子式的每个元素对应的余子式 MinorsA,k求求A的所有的所有k阶子式组成的表阶子式组成的表 TrA求求A的迹的迹(A的主对角元相加的主对角元相加) MatrixPowerA,n求求An = AAA,A必须是方阵必须是方

15、阵) 18/67 18 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 【例例8-5】已知三阶方阵已知三阶方阵A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2; DetA1 TransposeA1 E1 = InverseA1 MinorsA1 MinorsA1, 1 MinorsA1, 2 MinorsA1, 3 TrA1 MatrixPowerA1, 2 19/67 19 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 【例例8-5】已知三阶方阵已知三阶方阵A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 1, 3, 1, 2; DetA1 TransposeA1 E1 = InverseA1 容易

16、验证矩阵容易验证矩阵A1同它的逆矩阵同它的逆矩阵E1之间有之间有 A1.E1 = 1,0,0,0,1,0,0,0,1 20/67 20 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 对于符号矩阵对于符号矩阵,上述各种运算同样可以进行。上述各种运算同样可以进行。 【例例8-6】已知矩阵已知矩阵A2 = a, b, c, b, c, a, c, a, b, 则有则有 DetA2 如果记如果记d = a3 b3 +3abc c3,则有则有 InverseA2 21/67 21 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 【例例8-7】已知矩阵已知矩阵A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

17、 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8.9999; 则有则有 DetA3 DetA4 InverseA3 InverseA4 上面上面A3中的元素全部是精确值中的元素全部是精确值,且且DetA3 = 0,因此因此A3 是一个精确的奇异阵是一个精确的奇异阵,这时这时Mathematica系统将会明确系统将会明确 的给出信息的给出信息,告诉你告诉你A3的逆阵不存在。的逆阵不存在。 22/67 22 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 【例例8-7】已知矩阵已知矩阵A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5

18、, 6, 7, 8, 8.9999; 则有则有 DetA3 DetA4 InverseA3 InverseA4 A4的元素中出现有近似数的元素中出现有近似数(最末一个元素最末一个元素),且且DetA4 0,故故A4是一个近似的奇异阵是一个近似的奇异阵 23/67 23 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 【例例8-7】已知矩阵已知矩阵A3 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; A4 = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8.9999; 这时这时Mathematica系统不能识别奇异与非奇异的界限系统不能识别奇异与非奇异的界限, 但系统总是以尽可能高的精度

19、给出求逆的结果但系统总是以尽可能高的精度给出求逆的结果,并给出并给出 相应的信息。相应的信息。 不妨将不妨将A4中的最末一个元素中的最末一个元素8.9999逐渐增大逐渐增大,让它趋近让它趋近 于于9,观察系统给出的各种信息。观察系统给出的各种信息。 24/67 24 8.1 矩阵矩阵 8.1.3 矩阵的运算 在在Mathematica系统中系统中, 符号矩阵的求逆可计算到符号矩阵的求逆可计算到8 阶阶,而数值矩阵的求逆则可计算到而数值矩阵的求逆则可计算到200阶。阶。 25/67 25 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 特征值和特征向量是矩阵问题中最重要的内容之一特征值和特征向量是矩阵

20、问题中最重要的内容之一, 它们在线性代数里的定义是它们在线性代数里的定义是: 设设A是一个是一个n n阶矩阵阶矩阵,I是一个是一个n n阶单位阵阶单位阵,如果存如果存 在非零向量在非零向量x与数量与数量 满足线性方程组满足线性方程组(A I)x = 0,则则 称称 是矩阵是矩阵A的特征值的特征值,x是是A的对应于特征值的对应于特征值 的特征向的特征向 量。量。 26/67 26 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 在低维欧氏空间里在低维欧氏空间里,可以对可以对 和和x给出几何解释如下给出几何解释如下: 如果如果A是一个是一个3 3阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则则A代表着一个实代表着一个实

21、的二次型或二次曲面的二次型或二次曲面,那么特征值那么特征值 的绝对值的绝对值| |的大小的大小 对应于这个二次曲面对应于这个二次曲面3个主半轴的长度个主半轴的长度,x对应于这个对应于这个 二次曲面的二次曲面的3个主轴方向。个主轴方向。 27/67 27 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 通常遇到的特征值问题通常遇到的特征值问题,矩阵大多数是实对称矩阵大多数是实对称(或或 Hermite型型)的的,实对称矩阵的特征值与特征向量有着比实对称矩阵的特征值与特征向量有着比 较简单的结构较简单的结构,例如例如: (1) 若若A是是n n阶实对称矩阵阶实对称矩阵,则则A必有必有n个实的特征个实的特

22、征 值与值与n个实的线性无关的特征向量个实的线性无关的特征向量(不论特征值中是否不论特征值中是否 有重根有重根)。 (2) 若若A是实对称矩阵是实对称矩阵,而而A的某两个特征值的某两个特征值 i与与 j相相 异异,则则 i与与 j所对应的特征向量所对应的特征向量pi与与pj必正交必正交,若若A的的n个个 特征值全是单根特征值全是单根,则则A的的n个特征向量两两正交。个特征向量两两正交。 28/67 28 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 通常遇到的特征值问题通常遇到的特征值问题,矩阵大多数是实对称矩阵大多数是实对称(或或 Hermite型型)的的,实对称矩阵的特征值与特征向量有着比实对

23、称矩阵的特征值与特征向量有着比 较简单的结构较简单的结构,例如例如: (3) 对于每一个实对称矩阵对于每一个实对称矩阵A,利用正交变换总可将利用正交变换总可将A 转化为对角矩阵转化为对角矩阵,其主对角线上的元素就是其主对角线上的元素就是A的的n个特个特 征值。征值。 如果如果A是一个实的非对称矩阵是一个实的非对称矩阵,那么那么A的特征值与特的特征值与特 征向量的结构将会比较复杂征向量的结构将会比较复杂,上述关于实对称矩阵的结上述关于实对称矩阵的结 论论(1),(2),(3)往往不能保证成立。往往不能保证成立。 29/67 29 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 在线性代数里在线性代数里

24、,计算特征值与特征向量是一个比较计算特征值与特征向量是一个比较 复杂复杂,繁琐的过程繁琐的过程,在在Mathematica系统里都将它们设系统里都将它们设 计为简便的调用函数计为简便的调用函数,它们的使用格式如下它们的使用格式如下: EigenvaluesA计算矩阵计算矩阵A的的(精确形式的精确形式的)特征特征 值表值表 EigenvectorsA计算矩阵计算矩阵A的的(精确形式的精确形式的)特征向量表特征向量表 EigensystemA计算所有的计算所有的特征值特征值,特征向量特征向量 EigenvaluesNA计算矩阵计算矩阵A的特征值表的数值解的特征值表的数值解 Eigenvectors

25、NA 计算矩阵计算矩阵A的特征向量表的数值解的特征向量表的数值解 30/67 30 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量求实对称矩阵的全部特征值与特征向量 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7; EigensystemA1 求得特征值求得特征值 1 = 3, 2 = 6, 3 =

26、9 特征向量特征向量p1=-2,-2,1, p2=2,-1,2, p3=-1, 2, 2 由于由于 1, 2, 3均是相异实根均是相异实根(单根单根),故可肯定特征向量故可肯定特征向量 两两正交两两正交, 即有即有p1p2= 0,p2p3= 0,p3p1= 0 31/67 31 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -

27、1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 A2 = 1, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1; EigensystemA2 1 = -1, 2 = 3 = 2, 1与与 2互异互异, 1与与 3互异互异, 故有故有p1p2 = 0,p1p3 = 0。 32/67 32 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 =

28、-1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1; EigensystemA3 N% 33/67 33 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-8】求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。求实对称矩阵的全部特征值与特征向量。 (1) A1 = 5, -2, 0, -2, 6, 2, 0, 2, 7 (2) A2 = l, -1, -1, -1, 1, -1, -1, -1, 1 (3) A3 = -1, 1, -1, 1, 1, -1, -1, -1, 1 如果改用最后两个计算函数如果改用最后两个计算函

29、数,也可得到相同的结果。也可得到相同的结果。 EigenvaluesNA3 EigenvectorsNA3 由由3个特征值互异知个特征值互异知,3个特征向量两两正交。个特征向量两两正交。 34/67 34 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-9】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征 向量。向量。 (1) B1 = l,4,2,0,1,-1,0,2,4 (2) B2 = 1,2,2,1,-1,1,4,-12,1 (3) B3 = 2,1,1,0,2,1,0,0,2 B1 = 1, 4, 2, 0, 1, -1, 0, 2, 4 Eigensys

30、temB1 B1的的3个特征值个特征值1,2,3虽均互异虽均互异,但特征向量但特征向量p1,p2,p3 之间不能保证正交。之间不能保证正交。 35/67 35 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-9】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征 向量。向量。 (1) B1 = l,4,2,0,1,-1,0,2,4 (2) B2 = 1,2,2,1,-1,1,4,-12,1 (3) B3 = 2,1,1,0,2,1,0,0,2 B2 = 1, 2, 2, 1, -1, 1, 4, -12, 1 EigensystemB2 B2中的元素虽然全部为实数中的

31、元素虽然全部为实数,但但B2的特征值与特征的特征值与特征 向量却可能是复数。向量却可能是复数。 36/67 36 8.2 特征值和特征向量特征值和特征向量 【例例8-9】求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征求下列实非对称矩阵的全部特征值与特征 向量。向量。 (1) B1 = l,4,2,0,1,-1,0,2,4 (2) B2 = 1,2,2,1,-1,1,4,-12,1 (3) B3 = 2,1,1,0,2,1,0,0,2 B3 = 2, 1, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 2 EigensystemB3 B3有一个有一个3重特征值重特征值 1 = 2 = 3 = 2,只有一个线性只有一

32、个线性 独立的特征向量独立的特征向量p = 1,0,0。 37/67 37 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 有了上面的基本工具有了上面的基本工具,下面就可以来讨论线性方程下面就可以来讨论线性方程 组组Ax=b的求解问题的求解问题,式中式中A为为m n阶系数矩阵阶系数矩阵,b为为m 1 阶右端列向量阶右端列向量,x为待求的为待求的n 1阶列向量。阶列向量。 当当m = n且行列式且行列式,|A| 0时时,称称Ax = b为恰定方程组为恰定方程组; 当当m n时时,称称AX = b为超定方程组为超定方程组; 这里总假定这里总假定mn。 38/67 38 8.3 线性方程组求解线性方程组求解

33、在上述方程组求解的讨论中在上述方程组求解的讨论中,常常要用到系数矩阵常常要用到系数矩阵A 的秩的秩r(A),与增广矩阵与增广矩阵 的秩的秩r( ),有时还要有时还要 计算对应齐次方程组计算对应齐次方程组AX = 0的基础解系。的基础解系。 Mathematica系统为我们提供了相应的求解函数系统为我们提供了相应的求解函数, 它们的调用格式如下它们的调用格式如下: RowReduceA利用矩阵的初等行变换将矩阵利用矩阵的初等行变换将矩阵 A化简化简 LinearSolveA,b求线性方程组求线性方程组Ax = b的一个特解的一个特解 NullSpaceA求齐次方程组求齐次方程组Ax = 0的基础

34、解系的基础解系 ),(bAA A 39/67 39 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-10】求解线性方程组求解线性方程组 A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 7; b1 = 6, 9, 14; DetA1 = -2 0,故知方程组有惟一解故知方程组有惟一解, 利用利用Solve函函 数求解数求解A1x = b1 X = LinearSolveA1, b1 40/67 40 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-10】求解线性方程组求解线性方程组 A1 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 7; b1 = 6, 9, 14; 也可利用也

35、可利用LU分解求解此方程组。将系数阵分解求解此方程组。将系数阵A1进行进行 LU分解分解: LUDecompositionA1 利用利用LU分解求解分解求解A1X = b1 LUBackSubstitution%, b1 41/67 41 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-11】求解线性方程组求解线性方程组 A2 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 7; b1 = 6, 9, 15; DetA2=0,转而考虑系数阵转而考虑系数阵A2与增广矩阵与增广矩阵A21的秩的秩 A21 = 1, 2, 3, 6, 2, 3, 4, 9, 3, 5, 7, 15; 利用初等行变

36、换化简利用初等行变换化简A2和和A21: RowReduceA2 RowReduceA21 由此结果可知由此结果可知A21的秩的秩r21 = 2,同时可知原方程组同时可知原方程组(1) 中只有两个线性独立方程中只有两个线性独立方程,并且可取并且可取1,2两个方程两个方程 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 42/67 42 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-11】求解线性方程组求解线性方程组 即原方程组的解等价于下列方程组的解。即原方程组的解等价于下列方程组的解。 A2 = 1, 2, 3, 2, 3, 4; b2 = 6, 9; 求出方

37、程组求出方程组(2)的一个特解的一个特解: X0 = LinearSolveA2, b2 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 43/67 43 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-11】求解线性方程组求解线性方程组 求出方程组的一个特解求出方程组的一个特解: 求出求出A2X = 0的基础解系的基础解系: Y = NullSpaceA2 方程组方程组(2)的解的解X = cY + X0 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 44/67 44 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-11】求解线性

38、方程组求解线性方程组 求出方程组的一个特解求出方程组的一个特解:0, 3, 0 和和A2X = 0的基础解系的基础解系: 方程组方程组(2)的解的解X = cY + X0, 原方程组有无穷多组解原方程组有无穷多组解: X = c*Y1 + X0 由此求得原方程组由此求得原方程组(1)的解的解:x1= c,x2= 3 2c,x3= c. 15753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 45/67 45 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-12】求解线性方程组求解线性方程组 A3 = 1, 2, 3, 2, 4, 6, 3, 6, 9; b1 = 6, 1

39、2, 18; DetA3 = 0 A31 = 1, 2, 3, 6, 2, 4, 6, 12, 3, 6, 9, 18; RowReduceA3 RowReduceA31 A3与与A31的秩相同都是的秩相同都是1,原方程组只有一个独立方原方程组只有一个独立方 程程,可取第一个方程可取第一个方程 18963 12642 632 321 321 321 xxx xxx xxx 46/67 46 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-12】求解线性方程组求解线性方程组 A3与与A31的秩相同都是的秩相同都是1,原方程组只有一个独立方程原方程组只有一个独立方程, 可取第一个方程可取第一个方程

40、 原方程组的解等价于下列方程的解原方程组的解等价于下列方程的解: x1 + 2x2 + 3x3 = 6, 解出解出 由此求得原方程组的解由此求得原方程组的解: x1 = c1,x2 = c2,x3 = 2 c1/3 2*c2/3。 原方程组有无穷多组解。原方程组有无穷多组解。 18963 12642 632 321 321 321 xxx xxx xxx )26( 3 1 213 xxx 47/67 47 8.3 线性方程组求解线性方程组求解 【例例8-13】求解线性方程组求解线性方程组 A4 = 1, 2, 3, 2, 3, 4, 3, 5, 7; A41 = 1, 2, 3, 6, 2,

41、3, 4, 9, 3, 5, 7, 14; RowReduceA4 RowReduceA41 可知可知A41的秩大于的秩大于A4的秩的秩,方程组矛盾方程组矛盾,没有通常意义没有通常意义 下的解。下的解。 14753 9432 632 321 321 321 xxx xxx xxx 48/67 48 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-1】检验检验|AB|=|A|B|,这里这里A和和B都是方阵。都是方阵。 解解: A = TableRandomInteger, 0, 10, 4, 4 MatrixFormA B = TableRandomInteger, 0, 10, 4, 4 Matrix

42、FormB 49/67 49 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-1】检验检验|AB|=|A|B|,这里这里A和和B都是方阵。都是方阵。 解解: DetA.B DetA * DetB 50/67 50 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-2】设设 通过计算通过计算A的的k阶子式求矩阵阶子式求矩阵A的秩。的秩。 解解: A = 3, -1, -3, -2, 2, 3, 1, -3, 7, 5, -1, -8 MinorsA, 2 MinorsA, 3 可见矩阵可见矩阵A有不为有不为0的二阶子式的二阶子式,矩阵矩阵A的三阶子式的三阶子式 都为都为0,所以矩阵的秩为所以矩阵的秩为2。 815

43、7 3132 2313 A 51/67 51 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-3】设设 通过初等行变换求矩阵通过初等行变换求矩阵A的逆。的逆。 解解: A = 1, 2, 3, 2, 2, 1, 3, 4, 3 D3 = IdentityMatrix3 343 122 321 A 52/67 52 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-3】设设 通过初等行变换求矩阵通过初等行变换求矩阵A的逆。的逆。 解解: AE = TransposeJoinTransposeA, D3 EANi = RowReduceAE MatrixForm% 343 122 321 A 53/67 53 8.

44、4 探索实验探索实验 【实验实验8-3】设设 通过初等行变换求矩阵通过初等行变换求矩阵A的逆。的逆。 解解: 可以看到矩阵可以看到矩阵A的逆已求出。为了取出的逆已求出。为了取出A的逆的逆,输入输入: EANi1, 2, 3, 4, 5, 6 MatrixForm% 343 122 321 A 54/67 54 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-4】设向量组设向量组 1= (1, 2, -1, 1), 2= (0, -4, 5, -2), 3= (2, 0, 3, 0) 通过求该向量组的秩判断其是否线性相关。通过求该向量组的秩判断其是否线性相关。 解解: A = 1, 2, -1, 1,

45、0, -4, 5, -2, 2, 0, 3, 0 RowReduceA MatrixForm% 这里有两个非零行这里有两个非零行,向量组的秩等于向量组的秩等于2,因此该向量组因此该向量组 线性相关。线性相关。 55/67 55 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: d = Tableci, j, i, 3, j, 3(设置一个一般的设置一个

46、一般的3阶矩阶矩 阵阵) MatrixFormd 56/67 56 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: e = IdentityMatrix3; e2, 2 = 8; e MatrixForme 57/67 57 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵

47、变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: e.d MatrixForm% 58/67 58 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: d.e MatrixForm% 59/67 59 8.4 探索实验探索实验 【实验实

48、验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: e = IdentityMatrix3; e1, e2 = e2, e1; e第一行与第二行对换第一行与第二行对换 MatrixForme 60/67 60 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换

49、的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: e.d MatrixForm% d.e MatrixForm% 61/67 61 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】设计一组设计一组Mathematica命令命令,检验检验“初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A左乘产生矩阵左乘产生矩阵A的行初等变换的行初等变换,初等初等 变换矩阵与矩阵变换矩阵与矩阵A右乘产生矩阵右乘产生矩阵A的列初等变换的列初等变换” 解解: e = IdentityMatrix3; e3, 1 = 2; e MatrixForme 62/67 62 8.4 探索实验探索实验 【实验实验8-5】