极坐标系及简单的极坐标方程习题课新PPT学习教案

1、会计学1 极坐标系及简单的极坐标方程习题课新极坐标系及简单的极坐标方程习题课新 能在极坐标系中用极坐标表示点的 位置，能进行极坐标与直角坐标的 互化，掌握直线与圆的极坐标方程 第1页/共37页 (22 3) 2 A (4) B (4) 33 45 C (4) D 1. (4) 33 M 已知点的直角坐标为 ， 则其极坐标是 ， ， 22 2 3 22 34 tan3 2 D 35 (2 ) 23 . 解析， 且， ，以， ： 故选所 D 第2页/共37页 () A () B () C () 2. D (2) MM N 已知点，则点关于极点 对称的点 的极坐标是 ， ， ， ， A 第3页/共3

2、7页 (2) 2 . 3.M 在极坐标系中，过点， ，且平行于 极轴的直线的极坐标方程是 () cos()2 2 si 2. n P Rt MP 如图，设，为 直线上任意一点， 在中， ， 即 解析： 第4页/共37页 cossin 4. . 极坐标方程分别是和 的两个圆的圆心距是 11 cos(0) 22 11 sin( 2 ) . 2 22 2 解析：是圆心为，半径为 的圆； 是圆心为， ，半径为 的圆， 故两圆的圆心距为 第5页/共37页 2 4sin3 5 . .坐标方程化为直角坐标 方程是 2 222 22222 4sin3 4 3 . sin3 433yxyyx yx 由知， ，

3、即，则 解 即 ， 析： 第6页/共37页 12 34 1()() 1 2 MM xy 平面直角坐标系； 极坐标系； 柱坐标系； 球坐标系 极坐标，化为平面直角坐 坐标系的类型 坐标之间互化 标， ： cosx siny 2()() M xyM 平面直角坐标，化为极坐标，： 222 xy tan0 y x x 第7页/共37页 3() cos ().sin 4() sincos ()sinsin. cos Pxyz x zy zz Pxyz xr ryr zr 空间点 的直角坐标 ， ， 与柱坐标 ， ， 之间的变换公式为： 柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标 系及空间直角坐标系的一部分

4、建立起来的 空间点 的直角坐标 ， ， 与球坐标 ， ，之间的变换关系为 第8页/共37页 3直线与圆的极坐标方程 tanyx sinp sinb 第9页/共37页 xa 11 sin sin 第10页/共37页 r 2 22 xryr 2 sinr 第11页/共37页 1(5) 3 0( 20)_ 0(24 )_ 1 4 2() 23 sin_ 1 _ . 2 A PC 点， 在条件： ，下的极坐标是； ，下的极坐标是 点，与曲线 ： 的关系是 例 题型一题型一 极坐标的基本概念及应用极坐标的基本概念及应用 第12页/共37页 1(5) 3 0( 20)_ 0(24 )_ 1.A 点， 在条

5、件： ，下的极坐标是； ，下的极坐标是 例 题型一题型一 极坐标的基本概念及应用极坐标的基本概念及应用 5 5, 3 0(5) 3 (52)() 3 20220() 3 5 1 5 (5) 2 3 33 1A kk kk k A Z Z 当 时，点， 的极坐标的一般 形式为 ， 由 ，得， 解得，所以， 所以满足条件的点 的极 解 ，坐标为 析： 第13页/共37页 1(5) 3 0( 20)_ 0(24 )_ 1.A 点， 在条件： ，下的极坐标是； ，下的极坐标是 例 题型一题型一 极坐标的基本概念及应用极坐标的基本概念及应用 5 5, 3 1 0(5) 3 ( 521)()24 3 22

6、141 3 10 3 33 0 ( 5) 3 A kp k kk A Z 当 时，点， 的极坐标的一般 形式是，由 ， 得，解得， 所以， 故满足条件的点 的极坐，标为 解析： 10 5, 3 第14页/共37页 1 4 2() 23 sin_ 1. 2 PC 点，与曲线 ： 的关系是 例 题型一题型一 极坐标的基本概念及应用极坐标的基本概念及应用 1 41 ()() 232 3 1 3 sinsin 26 1 4 ()sin 2 sin 2 232 2PP P P C C 因为点，与点， 是同一点，且， 所以点在曲线 ：上 解析： 故点，在曲 ， 线 ：上 点点P在曲线在曲线C上。上。 第1

7、5页/共37页 00() () M P 有关在极坐标系中求线段的长或 平面图形面积等问题的求解，关键是应 用点的极坐标的几何意义，同时应注意： 若，则，且点，与 ，关于 评析： 极点对称 第16页/共37页 45 ( 3) (5) 36 () AB ABAOBO 已知 、 两点的极坐标分别为，、， 求和的面积 其中 例 点 ： 为极点 2 222 45 ( 3) (5)(3) 363 7 (5)3 5 6 75 636 2cos 34 15 334 15 15 . 4 3 15 sin3 5 sin 26 AOBAB AOBAB AB OAOB AOB ABOAOBOA OBAOB AB SA

8、OB 在中，因为 、 两点的坐标分别为 ，、，则 、 两点的坐标可化为 ， 、 ，因而、两边长分别为 、 ， 夹角， 所以 ，所以， 解析： 第17页/共37页 5 (0)( 22 3)( 3 3 . 3) 3 例 将下列直角坐标化为极坐标： ，；，； ， 题型二题型二 极坐标与直角坐标的互化极坐标与直角坐标的互化 22 0 5 (0 5 3 () 32 4 ( 22 3)(4) 3 (33)(2 3) 6 ) 3 xy y tanx x y 利用公式转化 ，为 轴负半轴上的 解析： 可化为，； ，可化为 ，； ，可化， 点， 为 第18页/共37页 222 cossin tan ( 0) x

9、y y xyx x 将极坐标化为直角坐标较容易， 只要利用，即可； 而将直角坐标化为极坐标，它需要同时 满足， 评析： 第19页/共37页 23 (3)(2)() 32 . 4 4 将下列极坐标化为直角坐标： ， ； ，；， 例 3 2 3 2 (3)() 422 2 (2)( 13) 3 33 ()(0) 22 xcos ysin 解析： ， 化为，； ，化为， ； ， 利用公式转化 化为， 第20页/共37页 22 22 120 20 3 3 2 . . xyax xy xyx 将下列直角坐标方程 化为极坐标方程： ； ； 例 题型三题型三 极坐标方程与直角坐标方程的互化极坐标方程与直角坐

10、标方程的互化 222 2 cos 2cos02 cos0. 02 cos 2 co 1 s . xyx a a a a 将，代入， 得，即或 而恒表示极点，曲线过 解析： 故所求 极点， 极坐标方程为 cossin cossin00tan1. 3 tan1. 4 3 0() ) 4 4 2 3 ( xy R R 将，代入， 得，即或 由，得 而表示极点，直线过极点， 故所求极坐标方程为 2222 cossin cossin2 cos 2 2 . 2 0. 2 2 0 2 3xy cos cos c cos c co os os s 将，代入， 得， 即或 而表示极点，过极点 解析： 故所求极坐

11、标方程为 ， 第21页/共37页 cossin xy 直角坐标方程化为极坐标方程比较 容易，只要运用公式及 直接代入并化简即可对方程进行变形时， 方程必须同解，因此应注意对变形过程 评析： 的检验 第22页/共37页 1cossin _ _ 2 2sin() 42 _ . 曲线的极坐标方程为， 则其直角坐标方程为 轨迹为； 已知直线的极坐标方程为， 则极点到该直线的距离是 练习 22 0 xyxy 112 () 222 圆心为，半径为的圆 2 2 第23页/共37页 2 cossi n () 极坐标方程化为直角坐标方程相对 困难一点，解决此类问题常通过变形，构 造形如，的形式，进行整 体代换其

12、中，方程两边同乘以 或同除以 及方程两边平方是常用的变 评析： 形方法 第24页/共37页 ( 2 0) in() 4. 03. 4 1 2 1 A lm m m PlQOP OP OQQ 在极坐标系中，已知点，到直线 ：的距离为 求实数 的值； 设 是直线 上的动点， 在线段上， 且满足，求点 的轨迹方程， 并指出轨迹是什 例 么图形 题型四题型四 极坐标方程的应用极坐标方程的应用 m 将极坐标方程转化为直角坐标方程， 再利用点到直线的距离公式求得 的值；极 坐标系下的轨迹方程的求解与直角坐标系下 的轨迹方程的求解方法类似，此 分析： 处可用动 ( 2 0) 20. |22 2 3 1 |

13、1 2 . x A lxym m Aldm m 以极点为原点，极轴为 轴的正半轴， 建立直角坐标系，则点 的直角坐标为， 直线 的直角坐标方程为 因为 到直线 的离， 所以 距 解析： 0 0 00 0 0 0000 22 1sin()2. 4 1 1 ()(). ()sin ()2. 4 1 sin()2sin() 44 221 ()(). 8816 1 3 ( 2 4 l PQ Pl Q xy Q 由得直线 的方程为 设，则 因为点，在直线 上，所以 将代入，得，即 这就是 解析： 因此点 点 的轨迹方程 化为直角坐标 的轨迹是以 方为 ， 程 1 ) 44 为圆心，为半径的圆 第25页/

14、共37页 直角坐标与极坐标互化要注意互 化的前提若要判断曲线的形状，可先 将极坐标方程化为直角坐标方程，再判 断在直角坐标系中，求曲线的轨迹方 程的方法有直译法，定义法，动点转移 法在极坐标系中，求曲线的极坐标方 程，这几种方法仍然 评析： 是适用的 第26页/共37页 12 12 s () sin3 incos 1 3 cos . PPP PP 如图所示，设点解析： 所以 ，是直线 上任意一点，则， 直线的极坐标方程是 12 12 12 ( 3 0)( 3)2. 1 2 . . 2 O PPC PP PPC ABAOB 在极坐标系中，极点为 ，已知 ， ，曲线 ： 求直线的极坐标方程； 记直

15、线与曲线 交于 、 两点，求 练习 12 1() 33 sinc 2 os2 36 . 2 . 3 2 6 2. 2 2 PPP OP sincossincos OPOAB OAOBAB ABO B O A A B 由知，直线上的点， 满足，即， 而的最大值为， 则的最小值为在等腰中， ，底边上的高为 则，所以是等边三 解析： 因此， 角形， 第27页/共37页 2 2 2 1(3)9 3 2 932 6 30. ( 13)30 |33 | .3 3 2 12 1xy yxxy xy d 圆的直角坐标为， 直线的直角坐标方程为，即 又圆心，到直线的距离为 ，则弦长为 解方法 ：析： 2 2 (

16、cos3sin )50 2 3 AB 已知圆的极坐标方程为 ， 求直线截圆 练习 所得弦的长度 2 2 1 1 2 2 2 3 2 | 350 2501616 6 2 2. cossin 从而弦 由， 解得 长为 ，解得， 方法 ： 第28页/共37页 () () (2)() (2)() () ( 1 M kkkk MM ZZ 极坐标系和直角坐标系的最大区别在于：平面直角 坐标系中，平面上的点与有序数对之间的对应关系 是一一对应的；而极坐标系中，对于给定的有序数 对，可以确定平面上的一点，但是平 极坐标系和极坐标的理解 面内的 一点的极坐标，却不是唯一的 一般的，若，是点的极坐标， 则，也都

17、是点的极坐标总之，点，的极坐标可以是 ，2)() 0,02() kk Z 当规定 以后，平面内的点 除极点外 与有序数对就可以一一对应了 第29页/共37页 222 2 1 . 0 “” ( )( ) () 0 n xy xcos y ysintanx x x r nr 极坐标与直角坐标的互化注意事项 极坐标和直角坐标的互化公式是 或 这两组公式必须满足下面的 三个条件 才能使用： 原点与极点重合； 轴正半轴与极轴重合； 长度单位相同极坐标和直角坐标的互化中， 需注意等价性，特别是两边同乘以 时，方程增 了一个 重解，要判断它是否是方程的解，若 不是要去掉该解 第30页/共37页 2 3tan

18、1,1 tan1 1,1 3 ( 2) 4 y M x 由极坐标方程给出的问题，若不好处理， 就直角坐标化；由直角坐标方程给出的问题， 若用极坐标方法处理较为简便，就极坐标化 慎用，如点的直角坐标为， 化为极坐标时，由不能确定 的取值， 必须结合所表示的点所在象限的情况确 定其极坐标为， 第31页/共37页 3 1 2 3 rq 极坐标方程的应用及求法 合理建立极坐标系，使所求曲线方程简单 巧妙利用直角坐标系与极坐标系中坐标之间 的互化公式，把问题转化为熟悉的知识解决问题 利用解三角形方法中正弦定理、余弦定理列出 两极坐标 、 是求极坐标系曲线方程的法宝 第32页/共37页 1122 22 121212 4 1()() 2()() 3()() 2 4()() 4 5()() 2. PP PP PP PP AB ABcos 常用结论 极坐标系内点的对称关系： 点，关于极点的对称点为，； 点，关于极轴所在直线的对称点为，； 点，关于直线的对称点为，； 点，关于直线的对称点为，； 在极坐标下，间的距离 第33页/共37页 ( 5) 3 () 4 A (5) B (5) 33 25