构造正交异性桥面板分析PPT学习教案

1、会计学1 构造正交异性桥面板分析构造正交异性桥面板分析 6 构造正交异性桥面板分析 各向同性板理论 正交材料异性板理论 构造正交异性板理论 构造正交异性板刚度分析比较 按构造正交异性板理论分析简支桥梁结构 小结 本章参考文献 第1页/共36页 混凝土板桥 肋梁式桥 箱梁桥等， 由于建桥材料性质差异及不同构造要求，均属各向异性结构。工程计算上，根据目的要求不同，可分别采用各向同性、正交异性结构进行分析，且往往将等截面结构简化为板结构计算 各向同性板理论 (1)基本理论 Dyxq x w yx w x w / ),( 4 4 22 4 4 4 2 众所周知的各向同性薄板弯曲平衡微分方程为1（图）

2、)( 2 3 112 Et D 同 性 薄 板 第2页/共36页 弯矩、剪力 yx w y w DQ yx w x w DQ x w y w DM y w x w DM y x y x 2 3 3 3 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 应力 yx wEz G x w y wEzE y w x wEzE xyyxxy xyy yxx 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 22 1 11 11 )( )( 根据基本假定1，其余应力可略去不计 第3页/共36页 (2) 简支板桥解析解 小跨径整体式简支板桥可近似按各向同性板进行分析，李维（M.levy）已经给出了其基本解，简述如下：

3、 设板的挠度函数 为 ),(yxw 1 sin m m l xm Yyxw ),( 将其代入板的弯曲平衡微分方程式有 D yxq l xm Y l m y Y l m y Y m m mm ),( sin d d 2 d d 1 4 2 2 2 4 4 将右边的 展为 的级数，按照富傅立叶（Fourier）级数展开法则，得 D yxq),( l xm sin l xm x l xm D yxq lD yxq m l sindsin ),(2),( 1 0 对比，可见 dx l xm yxq lD Y l m dy Yd l m dy Yd l m mm sin 2 2 0 4 2 2 2 4

4、4 ),( 第4页/共36页 这一常微分方程的解 )(yf l ym l ym D l ym C l ym l ym B l ym AY mmmmmm chshshch 是与 有关的特解，可按积分结果来选择 ) (yfmDq/ 、 、 和 是由 （ 为桥板宽度）两边自由的边界条件确定 m A m B m C m D 2/by b 02 0 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 / / )( by by yx w y w x w y w 挠度 l xm yf l ym l ym D l ym C l ym l ym B l ym Ayxw m mmmmm 1 sinchshshch)(),(

5、第5页/共36页 正交材料异性板理论 取与各向同性板相同的坐标系，坐标轴 、 平行于弹性主方向，材料各方向的物理常数用带坐标下标表示，则其弯曲平衡微分方程为 xy ),(yxq y w D yx w H x w D yx 4 4 22 4 4 4 2 刚度参数 yxxyxyyx kkyxkxykxyyx yx y y yx x x DDDDD DDDDDDDDDH tE D tE D 2 2224 2 1 112 112 1 1 3 3 / )( )( 内力 第6页/共36页 yx w DM x w y w DM y w x w DM kxy xyy yxx 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6、 2 12 3 /tGD xyk 应力 yx w zG x w E y w E z y w E x w E z xyxy xyy yx y yxx yx x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 第7页/共36页 构造正交异性板理论 将 钢筋混凝土板 加肋板 T型梁、 整体式箱梁等 可比拟成构造正交异性板，其弯曲平衡微分方程同正交材料异性板，但比拟刚度 、 和 根据所分析的对象不同而有不同的比拟方法。在H的计算问题上，不同的学者提出了不同定义的表达式，且差异较大 x D y D H （1） 构造正交异性板刚度的一般公式 不失一般性，取纵、横向均带有上、下翼板的I字形截面为研究对象，如

7、图所示。按经典薄板理论，纵、横截面的应变、挠度关系为 yx w zz y u x v y w z x w z yxxy yy xx 2 2 2 2 2 )( 第8页/共36页 顶板、底板的应力 xyxy xyy yxx G E E )( )( 2 2 1 1 纵梁腹板和横隔梁腹板应力 yy xx E E 桥 梁 结 构 中 的 纵 、 横 梁 第9页/共36页 纵梁腹板和横隔梁腹板的扭转变形与内力的关系可按梁理论写为 yx w a GJ M yx w b GJ M a yx b xy 2 0 2 0 各内力可由以下积分给出 12 2 2 2 1 2 2 2 d)(d)( 1 d tt xx A

8、 xxx zzzzzz x wE AzM 12 2211 2 2 2 d)( )(d)( )( 1 tt yxyx zzzzzzzzzz y wE 2 2 1 2 2 0 2 0 2 2 0 d)( y w D x w Dzbzz x w b E xx h x 第10页/共36页 ),(, /),/(, , 21 12 121 000 3 0 0 3 0 2 1010 2 1 2 1 2 1 2 1 0011 2 1 2 000 2 10 ihbA hb I tIEEIED ztEDztED DDDzztIED zAI b E ztEDD bb iiii yiiyixiixi ii yixii

9、yixiiix i xbbxiiix 第11页/共36页 12 2 2 2 1 2 2 2 d)(d)( 1 d tt yy A yyy zzzzzz y wE AzM 12 2211 2 2 2 d )( )(d )( )( 1 tt xyxy zzzzzzzzzz x wE 2 2 1 2 2 00 2 2 0 d)( x w D x w Dzazz y w a E yy h y 12 , )( 3 0 0000 2 1 01 2 1 2 0 2 0 ha IahA DDDD ZAI a E ztEDD aa i yixiiy i yaoaoyiiiiy 第12页/共36页 yx w b

10、GJ AzM b A xxyxy 2 0 d 1 111 2 d)()()( t xyx zzzzzzz yx w G yx w b GJ zzzzzzz yx w G b t xyx 2 0 222 2 2 d)()()( A a yyxyx yx w a GJ AzM 2 0 d yx w Dkx 2 2 1 111 2 d)()()( t yyx zzzzzzz yx w G 2 222 2 d)()()( t yyx zzzzzzz yx w G yx w D yx w a GJ ky a 22 0 2 纵梁腹板 的抗扭惯 矩 横梁腹板的 抗扭惯矩 第13页/共36页 令 a J b

11、JG DDDDD DDH a J b JG DDDDD DDD DDDDDD ab ii yixi i yxi k ab i yixiyxi kykxk i yixiiyx 00 2 1 2 1 2 1 110 1 00 2 1 110 2 1 0111 2 2 1 4 1 2 2 2 1 )( 4 1 )1 ( 2/ )22(2 )( 第14页/共36页 将以上各式展开后有 2 0000 2 0000 yaayy xbbxx zAI a E DDD zAI b E DDD )( )( yxxy DDDDD 011 b GJ DD D DD b yx x kx 0 0 2 1 2 12 )(

12、a GJ DD D DD a yx y ky 0 0 2 1 2 12 )( yxyx DDDDDD 0111 2/ )( a J b JG DDDDD DD D ab yxyx kykx k 00 0 22 1 4 1 1 2 2)()( a J b JG DDDDDDDH ab yxyxk 00 01 2 2 1 4 1 2 )( 顶、底板绕 各自形心轴 刚度之和 02010 DDD 2 22 2 11 2 1 xxx ztzt E D 纵梁顶、底板对桥梁横断面中性轴的移轴刚度之 和 2 22 2 11 2 1 yyy ztzt E D 横梁顶、底板对桥梁纵断面. 第15页/共36页 忽略

13、扭转刚度中各板自身刚度，即 和 则有 0 D 0b J 0a J yxyxk DDDDDDH 2 1 4 1 2 1 )( (2) 混凝土实体板刚度 （a）胡拜尔（Huber）公式 对于材料正交异性板，根据毕田（Bettis）互易原理有 y y x x EE 即假定两向弹性常数不等，取其几何平均值 yxyxE EE, 作为虚拟同性板的弹性模量和泊松比，而对材料异性板取 yxyx DDDD 1 yxyxk DDDD112)( 则 yxk DDDDH2 1 第16页/共36页 对于混凝土板，Huber给出的按两向构造异性比拟板计算的刚度为 csyxkyx sycy c c y sxcx c c x

14、 EEnDDDDDH InI E D InI E D /, )( )( 2 1 1 1 1 1 2 2 混凝土、钢筋的弹性模量，若纵、横 向所配钢筋等级不同，应分别取用 全板截面对横断面中性轴的惯矩 纵向钢筋截面对横断面中性轴的惯矩 （b）文献3公式 作者在文献3中提出“正交异厚均质板”模型：即虚拟的纵向、横向厚度不同，而物理参数相同。在分析钢筋混凝土梁（板）桥几何非线性问题时获得较好的效果。 如下图所示，令 syy sxx nAtt nAtt 第17页/共36页 则 12112 112 112 3 2 3 1 2 3 2 3 tG D Et D tE D tE D c k c c yc y

15、c xc x , )( )( )( 此模型中的 、 与Huber公式并无原则差异，但直接用了同性板的H公式。 x Dy D 钢筋混凝土板 第18页/共36页 (3) T型梁刚度 将T型梁比拟成正交异性板（下图），按经典板理论 进行结构分析，是多梁式T梁桥计算，特别是横向分布计 算采用的方法之一。 T梁桥无连续的底板（即 ），腹板是一维梁结构 ，仅翼板是二维板结构，有泊桑效应产生的中面力，但无 底板相反方向的中面力与之平衡，即全断面轴力 。 而薄板经典理论的控制微分方程系根据弯曲未考虑轴 力 推导而来，因此刚度推导亦应遵循这一假设。 令 ，相当于 、 中的翼缘板的移 轴刚度 。 这样，在T型梁比

16、拟成正交异性板的控制微分方程中 ，各刚度公式可化简得到。 0 2 t 0N N 0 11 xyyx NNN 1 D k D 0 yx DD 第19页/共36页 T梁桥的比拟板（1） bEIDD bEIDD yyx xxx / / 01 01 )( 2 3 1 112 Et D a J b JGEt D ab k 00 2 3 2112 12 )( )( a J b JG DH ab00 0 2 横、纵截面翼板对其全断面中性轴的刚度； 横、纵截面腹板对其全断面中性轴的惯矩。 )( 2 3 0 112 Et D 1x D 1y D 0 x I 0y I 在文献3的“正交异厚均质板”模型中，采用下述

17、 刚度公式进行实际T梁的几何非线性分析（下图），取 第20页/共36页 T梁桥的比拟板（2） 2 21 / )( / / ttt aAt bAt yy xx 其 中： sxx nAhbttbbA 02101 2 1 )( syy nAhaatA 001 按前述方法计算 、 和 、 。 x D y D 1 D k D 第21页/共36页 构造正交异性板刚度分析比较 上节给出构造正交异性板刚度的一般公式，并对常见 板、T梁等进行了研究。但从国内外文献来看，T梁桥比拟 异性板法中刚度 、 基本相同，而刚度 却存在差 异。 x D y D),( k DDH 1 （1） 控制微分方程中的刚度公式 （a）

18、顿钦柯 顿氏从材料异性板的 导出 xyyx DD x x y y D D 设 取 ，再用材料异性板比拟桥跨结构， 取 ，给出如下刚度公式： xy DDs/ x EEE yx a J b J G Gt DsDDH a EI s EI D b EI s EI D ab xkxy y xa y xxb x 00 3 0 2 0 2 6 2 1 1 纵、横梁翼 板对全截面 中性轴的惯 矩 第22页/共36页 上式未注意到互易原理，即 若 则 ， 则 、的第一项分母的 似乎是多余的， xyyx EE yx EE yx x D y D s （b）居易翁（Y.Guyon）马松列（C.Masonnete）5

19、为了简化计算，G.M法取 a J b JG H ab00 2 将翼板刚度 未计入，但文献6取用纵、横梁全截面抗扭惯矩（ 、 ）代替式中的腹板抗扭惯矩（ 、 ），刚度 为 0 D b J a J 0b J 0a J H a J b JG H ab 2 似乎要合理一些 （c）铁摩辛柯（S.Timoshenko）6 铁氏对仅设纵向加劲肋的板给出 其疏误明显 b GJEt b GJGt H bb0 2 3 0 3 112 1 6 )( )( 第23页/共36页 （d）格英克（Giencke）7 )( yxyx ab DDDD a J b JG DH 4 1 2 1 2 2 00 0 实际上就是具有上下

20、翼板箱梁刚度公式，在其推导中， 未将翼板中面力略去 （e）克森斯（Cusens）7 y yx ab h ab bbE a J b JG DH 42 00 0 * 3 3 00 y yxyy h zzthth 所多余的项亦与未略去中面力有关 （f）金成棣8 金成棣教授定义 经积分整理有 b J a JGGt dzzz E H ba yx 00 3 2 261 a J b JG DDDH ab yx 00 0 2 所多余的 项，是未 略去中面 力所致 第24页/共36页 （g）钱拉德（R.Sziard）9 在考虑混凝土板开裂对刚度的影响后，钱氏给出 2 0 1 0 0 2 k a J k b JG

21、 DH ab 混凝土开裂后抗 扭刚度修正系数 如不计 、 ，则上式就是T型梁比拟成正交异性板刚度 （8）Baider Bakht11 贝氏定义的刚度H为 其误将纵梁或横梁腹板计入泊松效应之中 1 k 2 k a J b JG DDDH ab yx 00 0 2 1min)(),( （2） 内力方程中的刚度公式 在T梁比拟正交异性板分析时，刚度 、 是相同的 刚度 却应取不同的值。 在计算板的内力时，考虑到泊松效应产生的翼板中面 力 是对截面中性轴抗力矩的重要组成部分，故此 x D y D ),( k DDH 1 tN 第25页/共36页 时 中的 、 不能象控制微分方程中的那样被忽略 掉，亦不

22、应使用正交材料异性板的公式。 下表给出正交材料异性板和正交构造异性板（T梁） 的内力刚度公式，以供参考 H x D y D 正交异性板内力刚度 名称符号正交材料异性板正交构造异性板 x D y D 1 D k D2 k DDH2 1 )(/ yxxt E112 3 )(/ yxyt E112 3 yxyx xyyx DD DD 6 3 /tGxy yxxxxy EEG12/ 6 3 /tGD xyyx bEID xx / 01 bEID xx / 01 yxD DD 0 / )()(241 0yxyx DDDDD 2 00 / )/(aJbJG ab )(/ )(141 0yx DDD 22

23、00 / )/(/aJbJGDD abyx + 第26页/共36页 如果在正交构造异性板的内力计算时采用正交材料异 性板的刚度，由于正交构造异性板的 ，致使弹 性矩阵 yxxy DD k yyx xyx D DD DD D 0 0 0 0 小西一郎在文献12中采用 计算正交构造钢桥面板内力，其没有考虑肋的抗扭刚度 13在求内力时，取 ，即将翼板的移轴刚度未 计入 按构造正交异性板理论分析简支桥梁结构 作为示例，按照胡伯（）的建议，取 ，求解 如下图所示的车轮作用在板边的正交异性板，车轮荷载简 化为一矩形均布局部荷载（图中阴影部分） 12 3 01 /,GtDDD k 01 DD 不对称 yxD

24、 DH 第27页/共36页 0 ww 有荷载区 无荷载区 21 wwwp 李维级数 按照纳达伸方 法而选用圆柱 形挠曲函数 p x w D x 4 1 4 d d 22)2()(2(4 48 )( 232 2 3 21 23 211 lccclxxlxl lD P w x OD 4 111 24 )()()(x cD P ww x ODDE )()()()(ccxxc D P ww x ODEA 2 23 21 2 11 222 48 0 3 3 0 3 0 3 0 2 2 0 2 0 2 0 0 0 000 y p y y p y y p y ypy y w y w y w y w y w

25、y w ww)()( 0y 四 个 连 续 条 件 四个边界条件 02 1 02 1 0 0 2 1 2 1 2 3 3 3 2 2 0 3 3 0 3 2 2 2 2 2 2 0 2 2 0 2 y pp y y p x p y x yx w k y w s yx w k y w s x w y w x w y w )( )( 第28页/共36页 为无荷载区的挠度函数， 虽为荷载区的挠度函数 0 w 2 w 02 4 4 22 4 4 4 y w D yx w DD x w D yyxx 有 1 sin m m l xm Yw sysyDsysyCsyBsyAY mmmmmmm shchsh

26、ch 现将 表示为与 相似的级数，则有 1 ww 1 1 sin m m x l m aw dsin 22 1 44 3 l m Dm pl a x m 则无荷载区： 1 00000 sin)shschshch( m mmmmmm l xm sysDsyCsyBsyAw 第29页/共36页 荷载区 1 21 sin)shchshch( m mmmmmmmp l xm sysyDsysyCsyBsyAawww 4 y x m D D s l m , 根据四个连续条件得到 CBCBDADA CBCBaAA m 33 22 0000 000 根据四个边界条件得到 0chsh 1 1 shch 1 1

27、 chsh 0chsh 1 1 shch 1 1 chsh 0 ch1 th 1 2 th 1 2 th 0 1 2 thth 1 2 th 0000 0000 mmmmmmmm mmmmmmmm m m mmmmm mmmmm k k D k k CBA k k D k k CBA a k k k D k CBA k D k CBA 第30页/共36页 mmmmmm mmmmmmmm m m mmmmm D k k C k ka B k D k CBA chshshch sh 1 1 shshcth 1 3 shsh 2sh 1 1 2 thth 1 2 th 0 00 0000 )( )( )( )( 联立解得 m m mm