极限与连续PPT学习教案

1、会计学1 极限与连续极限与连续 例 . , 0 0,lim ) 1 ( 22 0 是一个无穷小量时 xxx x . sin , 0 0,sinlim )2( 0 是一个无穷小量时xxx x . 1 , 0, 1 lim )3(是一个无穷小量时 x x x x . cos , 2 0,coslim )4( 2 是一个无穷小量时xxx x 0,0 lim )5( 在任何一个极限过程中, 常值函数 y = 0 均为无穷小量. 第1页/共53页 由此可看出, 寻找函数极限运算法则 可归结为寻找无穷小量的运算法则. )(lim )( 0 axf x xx , )()(xaxf . )( , ( 0)(

2、, 0 xxxx其中 第2页/共53页 同一个极限过程中的有限个 无穷小量之和仍是一个无穷小量. 同一个极限过程中的有限个 无穷小量之积仍为无穷小量. 第3页/共53页 常数与无穷小量之积仍 为无穷小量. 在某极限过程中, 以极限不 为零的函数除无穷小量所得到商 仍为一个无穷小量. 在某一极限过程中, 无穷小量 与有界量之积仍是一个无穷小量. 第4页/共53页 例 证 0sin 1 lim x x x 证明 ) ( , 0 1 lim 无穷小量因为 x x ) ( , ),( 1 |sin|有界量xx . 0sin 1 lim x x x 故 有界量与无穷小量的乘积 第5页/共53页 例 .

3、4 lim 2 3 0 x x x 求 解 ) ( , 0lim 3 0 无穷小量由于 x x ) ( , 4)4(lim 2 0 极限不为零 x x . 0 4 lim 2 3 0 x x x 故 第6页/共53页 (i) 一般说来,有界量的倒数不一定有界. 例如, f (x) = x, x(0, 1). (ii) 我们没有涉及两个无穷小量商的极限的 情形,因为它的情形较复杂,将在以后专 门讨论. ： . , 3 , , , 0 , 2 2 3 2 2 3 的情况时可观察例如 x x x x x x x 第7页/共53页 第8页/共53页 ,| 有时若当x | )(|xf , )( ,记为时

4、的无穷大量为则称成立xxf . )( )( )(lim xxfxf x 或 . )(lim ,)( 称为正无穷大量 则换成 xf xf x . )(lim ,)( 称为负无穷大量 则换成 xf xf x 第9页/共53页 例 , (i) 2 xy ,ln (iii)xy .lim 2 x x ,lnlim 0 x x .lnlim x x ,tan (iv)xy ,tanlim 2 x x .tanlim 2 x x , (ii) 3 xy .lim 3 x x (iii), (iv) 自己画 画图会更清楚. 第10页/共53页 例 ? )2( , 是否为无穷大量时当 n n xn 解 有时则

5、当取 , , log 2 NnMN M n |)2( | . )2(limlim n n n n x故 , 0M 2 |)2( | | Mx nn n 要 , log2Mn 无穷大量是按绝对值定义的. 第11页/共53页 例 无穷大量是否一定是无界量 ? 在某极限过程中, 无界量是否一定是无穷大量 ? . 2 ) 1( , , 0 ,2 , 0 , , 4 , 0 , 2 , 0 : , nn xnx n nn 例如 0 , , 的项使总有等于时当取多么大不论NnN |Mxn . , ,不是无穷大量时故当不成立 n xn 但该数列是无界的. 第12页/共53页 当 x 时, 函数 sinx、c

6、osx, 是否为无穷大量 ？ 因为sinx、cosx 是有界函数, 所以在任何极限过程中它们都不是无穷大量. 第13页/共53页 ( 无穷大量的倒数为无穷小量, x 0 ) ( 无穷小量的倒数为无穷大量, x 0 ) 则 例 . 0 ),( , 1 )( xx x xf且设 . 0 1 lim ) 1 ( x x . 1 lim )2( 0 x x 第14页/共53页 在某一极限过程中 请自己根据定义自已进行证明. , 0)( )( xfxf是一个无穷大量且若 . )( 1 为无穷小量则 xf , 0)( )( xfxf是一个无穷小量且若 . )( 1 为无穷大量则 xf 第15页/共53页

7、,)(lim xf若 无穷大量一定是同一 极限过程中的无界量. 反之不真反之不真 . | )(|lim xf则 第16页/共53页 在某极限过程中, 两个无穷大量之积 仍是一个无穷大量. 在某极限过程中, 无穷大量与 有界量之和仍为无穷大量. 第17页/共53页 , 0 , , 0 , 0 : nn yx , 8 , 6 , 4 , 2 : nn yx ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 :nx n n ,) 1( , , 4 , 3 2, , 1 : 1n y n n 此时时显然 . , , , nn yxn 例 两个无穷大量的和是否仍为无穷大量? 考察考察 第18页/共53页 例

8、 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )( 1 xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2 x xgxx时不妨设当 . )( 0 11 )()( 2 1 x xx xxgxf而 , )( )( 3 2 xxxf . )( 1 )()( 2 3 2 xx x xxgxf 第19页/共53页 例 有界量与无穷大量的乘积 是否一定为无穷大量？ 不着急, 看个例题: , )( )( 1 xxxf 1, 1 | )(| , ) 1 | ( 2 x xgxx时不妨设当 . )( 0 11 )()( 2 1 x xx xxgxf而 , )( )( 3 2

9、 xxxf . )( 1 )()( 2 3 2 xx x xxgxf 不一定再是无穷大量. 第20页/共53页 在某个极限过程中, 无穷大量一定是无界量, 但无界量 不一定是无穷大量. 两个无穷大量的和不一定是无穷大量. 无穷大量与有界量之积不一定是无穷大量. 第21页/共53页 设 , 是同一个极限过程中 的两个无穷小量. 第22页/共53页 则称 是 的若, 0lim 记为. )(o高阶无穷小, 此时, ,lim 也可称 是 的低阶无穷小. 第23页/共53页 若0limCC， 为常数, 记为 则称 与 是同阶无穷小, . )(O 第24页/共53页 则称 是 的若, 1lim 记为. 等

10、阶无穷小, 第25页/共53页 不存在, 但又不是无穷大,若 lim 则称 与 是不能比较的无穷小. 第26页/共53页 x 0 时的几个无穷小量的比较： ).0( )(o , 0lim ) 1 ( 2 2 0 xxx x x x x xx x 2sin lim )2( 0 , 3 2 lim sin lim 00 x x x x xx )O(2sinxxx)0( x 例 第27页/共53页 x x x 2 0 sin cos1 lim ) 3( 2 1 sin 2 sin2 lim 2 2 2 2 0 x x x x x )0( )(sinOcos1 2 xxx 1 sin lim )4(

11、0 x x x )0( sin xxx x x x 2 2 0 sin 2 sin2 lim 第28页/共53页 , 2 1cos1 lim 2 0 x x x 因为 所以 1 cos x = O( x2 ) ( x 0 ) . )0( 2 1 cos1 2 xxx还有 例 第29页/共53页 xx x x xx 1 sin lim 1 sin lim 00 x 0 时, x x 1 sin 不可比较的无穷小. 不存在, 也不是无穷大, 与 x 是 例 第30页/共53页 x x x5 3 lim 0 5 3 x x x 5sin 3tan lim 0 x x x 5sin 3tan lim

12、0 求 例 解 注注 第31页/共53页 x x x 1 sinlim 2 x x x 1 sinlim 2 求 x x x 1 lim 2 x x lim 例 解 第32页/共53页 例例 . 2 1sintan lim 3 0 x xx x 直接计算可得 如果在加减法中用等价无穷小量替代, 则会产生错误: . 0lim sintan lim 3 0 3 0 x xx x xx xx ) .sin ;tan , 0 (xxxxx时 第33页/共53页 将常用的等价无穷小列举如下: xx sinxx tan 2 cos1 2 x x xx )1ln( m x x m 11 2 11 x x n

13、xx n 1)1 ( xe x 1 axaxln1 2 sintan 3 x xx xx arcsin xx arctan 当 x 0 时, ., 0为正整数其中nma 第34页/共53页 第四节 极限运算法则 极限运算法则的理论依据 )(limaxf )()(xaxf 依据无穷小量的运算法则 定理 法则 第35页/共53页 , )(lim , )(lim 则存在设bxgaxf . ) 0,( , )( , )(bxgaxf 在该极限过程中 , )()()()(baxgxf , )()()()(baabbaxgxf . )0( , )()( )( b bb ab b a b a b a b a

14、 b a xg xf 第36页/共53页 和的极限等于极限的和. 乘积的极限等于极限的乘积. 商的极限等于极限的商(分母不为零). 差一点 ! 结论成立的条件. 注注 第37页/共53页 设在某极限过程中, 函数 f (x)、g(x) 的极限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 则 第38页/共53页 法则 1、3 可推广至有限个函数的情形. 法则6 中 )()(xgxf )()(xgxf换成 其极限仍为 . )(lim)(limxgxf 注： 由极限运算理论根据中的定理及无穷小量的 运算法则, 容易证明上述各公式. 第39页/共53页 xxx xx xx 000 11 limsin

15、limlimsin0 xxx xxxxxx lim1limlim10 注意公式使用的条件！注意公式使用的条件！ 第40页/共53页 解 例 , 0 , 0 , 1 )( xbx xe xf x 问 b 取何值时, )(lim 0 xf x 存在, 并求其值. 若 由函数的极限与其左、右极限的关系, 得 . 2)(lim 0 xf x b = 2 , )(lim 0 xf x 2) 1(lim 0 x x e, )(lim 0 xf x bbx x )(lim 0 , 第41页/共53页 例例. 设 n 次多项式,)( 10 n nn xaxaaxP试证 ).()(lim 0 0 xPxP nn

16、 xx 证证: )(lim 0 xP n xx 0 a xa xx 0 lim 1 n xx n xa 0 lim )( 0 xP n 直接求函数值直接求函数值 , )( )( )( xQ xP xR其中)(, )(xQxP都是 多项式 , ,0)( 0 xQ 试证: . )()(lim 0 0 xRxR xx 证证: )(lim 0 xR xx )(lim )(lim 0 0 xQ xP xx xx )( )( 0 0 xQ xP )( 0 xR 说明说明: 若,0)( 0 xQ不能直接用商的运算法则 . 若 第42页/共53页 解 例 . 35 123 lim 2 23 2 xx xxx

17、x 求 35 123 lim 2 23 2 xx xxx x 3 1 6 3252 122223 2 23 第43页/共53页 解 例 . 1)31)(21)(1 ( lim 0 x xxx x 求 . , , 0lim 0 不能直接用公式计算所以由于 x x x xxx x 1)31)(21)(1 ( lim 0 x xxx x 161161 lim 32 0 . 6)6116(lim 2 0 xx x 初等展开 第44页/共53页 解 例 . 22 325 lim 2 x x x 求 . , 0)22(lim 2 故不能直接用公式计算由于 x x )22)(22)(325( )22)(32

18、5)(325( lim 22 325 lim 22 xxx xxx x x xx )42)(325( )22)(42( lim 2 xx xx x . 3 2 )325(lim )22(lim 325 22 lim 2 2 2 x x x x x x x 有理化 第45页/共53页 解 例 . )2( 1lim xxx x 求) )( ( )2( 1lim xxx x xx xxxxx x 2 )2)(2( 1 lim xx x x 2 12 lim . 1 1 1 1 1 1 1 2 lim xx x 有理化 无穷小分出法无穷小分出法 第46页/共53页 2 2 tan . lim 2 x x arcx xx 例例 2 2 2 2 tan lim 2 解解:原:原式式= = x x arcx x xx x tan lim 1 2 x arcx x = limtan 1 lim2 x x arcx x = 2 204 = 第47页/共53页 解 例 . ) 12(lim 3 xx x 求 12 1 lim 3 xx x ) 12(lim 3 xx x 0 11 2 1 lim 32 3 xx x x 涉及到两个无穷大量的差 第48页/共53页 解 例 . 1 2 1 1 l