直线与圆的位置关系

1、4.2.14.2.1直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系 营山二中数学组营山二中数学组 何洪兵何洪兵 O x y 一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛 的中心为圆心，半径为的中心为圆心，半径为30km的圆形区域的圆形区域.已知小岛中已知小岛中 心位于轮船正西心位于轮船正西70km处，港口位于小岛中心正北处，港口位于小岛中心正北 40km处，如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁处，如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁 危险？危险？ 为解决这个问题，我们以为解决这个问题，我们以 小岛中心为原点小岛中心为原点O，东西方向，东西方向 为为x 轴，建立

2、如图所示的轴，建立如图所示的直角直角 坐标系坐标系x xOy y，其中取，其中取10km 为为 单位长度单位长度 轮船轮船 港口港口 A B 轮船轮船 O x y 港口港口 轮船航线所在直线轮船航线所在直线 l 的方程为：的方程为： 02874yx 问题归结为圆问题归结为圆O与直线与直线l 有无公共点有无公共点 这样，受暗礁影响的圆区域所对应的圆这样，受暗礁影响的圆区域所对应的圆O的方程的方程 为为: : 9 22 yx A B 想一想，在初中平面几何中，直线与圆有哪几种位置想一想，在初中平面几何中，直线与圆有哪几种位置 关系？我们怎样判断直线与圆的位置关系？关系？我们怎样判断直线与圆的位置关

3、系？ （1 1）（2 2）（3 3） （1 1）直线与圆相交）直线与圆相交 直线与圆直线与圆有两个公共点；有两个公共点； （2 2）直线与圆相切）直线与圆相切 直线与圆直线与圆只有一个公共点；只有一个公共点； （3 3）直线与圆相离）直线与圆相离 直线与圆直线与圆没有公共点没有公共点 平面几何中，直线与圆有三种位置关系：平面几何中，直线与圆有三种位置关系： 相交、相切、相离相交、相切、相离 现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的现在，如何用直线和圆的方程判断它们之间的 位置关系？位置关系？ （1 1）（2 2）（3） 先看下面的例子，看看你能否从例子中总先看下面的例子，看看你能否从例子中总

4、结出来结出来 例例1 如图，已知直线如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的 圆圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标果相交，求它们交点的坐标 063 yx 042 22 yyx 解法一解法一：由直线：由直线 l 与圆的方程，得：与圆的方程，得： . 042 , 063 22 yyx yx 消去消去y，得：，得： 023 2 xx 例例1 如图，已知直线如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的 圆圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标果相交，求它们交点的坐标 063 yx 042 2

5、2 yyx 因为：因为： 214) 3( 2 = 1 0 所以，直线所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两个公共点 解法二解法二：圆圆 可化为可化为042 22 yyx. 5) 1( 22 yx 其圆心其圆心C的坐标为（的坐标为（0，1），半径长为），半径长为 ，点，点C （0，1）到）到 直线直线 l 的距离的距离 5 5 10 5 123 |6103| 2 d 所以，直线所以，直线 l 与圆相交，有两个公共点与圆相交，有两个公共点 例例1 如图，已知直线如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的 圆圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如与圆的位置关系；如 果相交，求

6、它们交点的坐标果相交，求它们交点的坐标 063 yx 042 22 yyx 1, 2 21 xx 所以，直线所以，直线 l 与圆有两个交点，它们的坐标分别是：与圆有两个交点，它们的坐标分别是： 把把 代入方程代入方程，得，得 ；1, 2 21 xx 0 1 y 把把 代入方程代入方程 ，得，得 1, 2 21 xx 3 2 y A（2，0），），B（1，3） 由由 ，解得：，解得： 023 2 xx 例例1 如图，已知直线如图，已知直线l： 和圆心为和圆心为C的的 圆圆 ，判断直线，判断直线 l 与圆的位置关系；如与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标果相交，求它们交点的坐标 063 y

7、x 042 22 yyx 解解： 判断直线与圆的位置关系有两种方法：判断直线与圆的位置关系有两种方法： 回顾我们前面提出的问题：回顾我们前面提出的问题： 如何用直线和圆的方程判如何用直线和圆的方程判 断它们之间的位置关系？断它们之间的位置关系？ 方法一：方法一：判断直线判断直线l与圆与圆C的方程组成的方程组是否有解的方程组成的方程组是否有解 0 22 FEyDxyxC的方程为：设圆 0CByAxl的方程为：直线 0 0 22 CByAx FEyDxyx （1）方程组有两组解（）方程组有两组解（0），则圆），则圆C与直线与直线 l 相交；相交； 建立方程组： （2）方程组只有一组解）方程组只有一

8、组解（=0），）， 则圆则圆C与直线与直线 l 相切；相切； （3）方程组有两组解）方程组有两组解（0），）， 则圆则圆C与直线与直线 l 相离；相离； 消去y得：f (x)=0 d r D 方法二：方法二：判断圆判断圆C的圆心到直线的圆心到直线l的距离的距离d与圆的半与圆的半 径径r的关系的关系 （1）若）若d r ，直线，直线l与圆与圆C相交；相交； （2）若）若d=r ，直线，直线l与圆与圆C相切；相切； （3）若）若d r ，直线，直线l与圆与圆C相离；相离； dd （3 3） C （1 1） C AB 222 rBDd （2 2） C M 相切，相离？ 交，为何值时，圆与直线相当为：

9、 ，直线的方程已知圆的方程为： 位置关系 的与圆判断直线 的方程求圆 相切，与圆心在原点的圆已知直线 题试解决本节引言中的问 bbxy yx xyxyx C Cyx . 1. 4 . 020243. 3 . 03534. 2 . 1 22 22 不会受暗礁影响不会受暗礁影响 49 22 yx 相切相切 .11 111 时，圆与直线相离或与直线相切；当 时，圆时，圆与直线相交；当当 bb bb A B D 解：将圆的方程写成标准形式，得：解：将圆的方程写成标准形式，得： 25)2( 22 yx 5) 2 54 (5 22 即圆心到所求直线的距离为即圆心到所求直线的距离为 5 如图，因为直线如图，

10、因为直线l 被圆所截得的弦长是被圆所截得的弦长是 ，所以弦心距为，所以弦心距为54 例例2 已知过点已知过点 的直线被圆的直线被圆 所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线的方程，求直线的方程 )3, 3(M0214 22 yyx 54 M C Ox y 因为直线因为直线l 过点过点 ， )3, 3(M 即：即：033kykx 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离：的距离： 1 |332| 2 k k d 因此：因此：5 1 |332| 2 k k 例例2 已知过点已知过点 的直线被圆的直线被圆 所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线的方程，求直

11、线的方程 )3, 3(M0214 22 yyx 54 )3(3xky所以可设所求直线所以可设所求直线l 的方程为：的方程为： A B D M C Ox y 即：即： 2 55| 13|kk 两边平方，并整理得到：两边平方，并整理得到：0232 2 kk 解得解得2 2 1 kk或 所以，所求直线所以，所求直线l有两条，它们的方程分别为：有两条，它们的方程分别为： )3( 2 1 3xy 或或 )3(23xy 例例2 已知过点已知过点 的直线被圆的直线被圆 所截得的弦长为所截得的弦长为 ，求直线的方程，求直线的方程 )3, 3(M0214 22 yyx 54 即即: 032092yxyx或 A B D M C Ox y .|CM| |CM| |CM| 不存在时，直线当 ；有一条，且时，直线当 有两条；时，直线当 ld CMlld ld （1）直线 l 过一点M被圆C截得的弦长问题 （2）利用直线点斜式求直线方程时，若求出 的直线少一条时，应检验斜率不存在的 直线是否符合题意. 有无交点（图有无交点（图 像法）像法） 直线直线l与圆与圆C构构 成方程组的解成方程组的解 的组数（代数的组数（代数 法）法） 圆的圆心圆的圆心C到到 直线直线l的距离的距离d 与与r的关系的关系 （几何法）（几何法） 判断判断 直线直线 与圆与圆 的位的位 置关置