第一章随机事件与概率

1、概率论概率论 浙江林学院理学院浙江林学院理学院 L 黄龙生黄龙生 基本教材基本教材 茆诗松等编，概率论及数理统计教程茆诗松等编，概率论及数理统计教程,高等教育高等教育 出版社，出版社，2004年年. 参考教材参考教材 1茆诗松等编，概率论及数理统计习题与解答茆诗松等编，概率论及数理统计习题与解答, 高等教育出版社，高等教育出版社，2004年年. 2魏宗舒等编魏宗舒等编, 概率论及数理统计概率论及数理统计,高等教育出版高等教育出版 社，社，1983年年. 3梁之舜等编，概率论与数理统计梁之舜等编，概率论与数理统计(第二版第二版)，高，高 等教育出版社，等教育出版社，1999. 4华东师范大学数学

2、系编，概率论与数理统计华东师范大学数学系编，概率论与数理统计 教程教程. 5盛骤等编，概率论与数理统计，高等教育出盛骤等编，概率论与数理统计，高等教育出 版社版社. 课程教学进度与学时分配表课程教学进度与学时分配表 章目章目 教学内容教学内容 课时数课时数 讲授讲授习题习题 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率14142 2 第二章第二章 随机变量及其分布随机变量及其分布16164 4 第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布16164 4 第四章第四章 大数定律与中心极限定理大数定律与中心极限定理10102 2 复习复习4 4 课程考核：闭卷考试课程考核：闭卷考试 成绩评

3、定成绩评定平时平时卷面卷面总评总评 比例比例30%70%100% 学时数学时数72学分数学分数4.5 概率论产生于概率论产生于17世纪，本来是由保险事业发世纪，本来是由保险事业发 展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学展而产生的，但是来自赌博者的请求，却是数学 家们思考概率论问题的源泉家们思考概率论问题的源泉. 早在早在1654年，有一年，有一 个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使个赌徒梅勒向当时的数学家帕斯卡提出了一个使 他苦恼了很久的问题：他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，两个赌徒相约赌若干局， 谁先赢谁先赢m局就算获胜，全部赌本就归胜者，但是局就算获胜，全部赌本就归胜

4、者，但是 当其中一个人甲赢了当其中一个人甲赢了a(am)局的时候，赌博中止，局的时候，赌博中止， 问赌本应当如何分配才算合理？问赌本应当如何分配才算合理？” 概率论在物理、化学、生物、生态、天文、概率论在物理、化学、生物、生态、天文、 地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子地质、医学等学科中，在控制论、信息论、电子 技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广技术、预报、运筹等工程技术中的应用都非常广 泛。泛。 自然界和社会上发生的现象是多种多样的自然界和社会上发生的现象是多种多样的. .在在 观察、分析、研究各种现象时观察、分析、研究各种现象时, ,通常我们将它们通常我们将它们 分为两类分

5、为两类: : (1)(1)在一定条件下在一定条件下, ,现象必然发生现象必然发生( (或必然不发生或必然不发生),), 这类现象称为这类现象称为确定性现象确定性现象. .例如例如, ,向上抛一石子必向上抛一石子必 然下落然下落; ;异性电荷必然互相吸引异性电荷必然互相吸引; ;同性电荷必然互同性电荷必然互 相排斥相排斥. . 第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率 人们经过长期实践和深入研究之后人们经过长期实践和深入研究之后, ,发现随机发现随机 现象在个别试验中现象在个别试验中, ,偶然性起着支配作用偶然性起着支配作用, ,呈现出呈现出 不确定性不确定性, ,但在相同条件下的大量重复试验

6、中但在相同条件下的大量重复试验中, ,却却 呈现出某种规律性呈现出某种规律性. .随机现象的这种规律性我们随机现象的这种规律性我们 称之为统计规律性称之为统计规律性. .概率论与数理统计概率论与数理统计是研究和是研究和 揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科揭示随机现象的统计规律性的一门数学学科. . (2)(2)在一定条件下在一定条件下, ,现象可能发生现象可能发生, ,也可能不发生也可能不发生, , 这类现象称为这类现象称为随机现象随机现象( (或或偶然现象偶然现象).).例如例如, ,在相在相 同条件下同条件下, ,抛掷一枚硬币抛掷一枚硬币, ,其结果可能是正面朝上其结果可能是正面朝上,

7、 , 也可能是反面朝上也可能是反面朝上, ,并且在每次抛掷之前无法确并且在每次抛掷之前无法确 定抛掷的结果是什么定抛掷的结果是什么. . 1 随机事件及其运算随机事件及其运算 在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象在一定条件下，并不总是出现相同结果的现象 称为称为随机现象随机现象. . 1.1 随机现象随机现象(Random phenomenon) （1 1）抛一枚硬币）抛一枚硬币, ,有可能正面有可能正面H H朝上，也有可能朝上，也有可能 反面反面T T朝上朝上. . （2 2）抛一粒骰子）抛一粒骰子, ,出现的点数出现的点数. . （3 3）一只灯泡使用的寿命）一只灯泡使用的寿命. .

8、在相同条件下可以重复的随机现象称为在相同条件下可以重复的随机现象称为随机试验随机试验 (Random experiment). . E E1 1: :抛一枚硬币抛一枚硬币, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况. . E E2 2: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现出现 的情况的情况. . E E3 3: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H出现的次数出现的次数. . E E4 4: :抛一粒骰子抛一粒骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. . E E5 5: :记录电话交换台一分

9、钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. . E E6 6: :在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, ,测试它的寿命测试它的寿命. . E E7 7: :记录某地一昼夜的最高温度和最低温度记录某地一昼夜的最高温度和最低温度. . 随机试验具有以下特点随机试验具有以下特点: : (1)(1)可以在相同条件下重复进行可以在相同条件下重复进行; ; (2)(2)每次试验的可能结果不止一个每次试验的可能结果不止一个, ,并且事先并且事先 明确试验的所有可能结果明确试验的所有可能结果; ; (3)(3)进行一次试验之前不能确定哪一个结果会进行一次试验之前不能确定哪一个结果会

10、 出现出现. . 1.2 样本空间样本空间(Sampling space ) 随机现象的一切可能基本结果组成的集合随机现象的一切可能基本结果组成的集合 称为称为样本空间样本空间, ,记为记为= . . 表示基本结果表示基本结果, , 又称为又称为样本点样本点(Sampling point ). E E1 1: :抛一枚硬币抛一枚硬币, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况. . 则样本空间为则样本空间为 1=1， 2 其中其中1表示正面朝上，表示正面朝上，2表示反面朝上表示反面朝上. 样本空间也可表示为样本空间也可表示为 1 =H,T=H,T 试验的样本空间的实例试验

11、的样本空间的实例 E E1 1: :抛一枚硬币抛一枚硬币, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况. . 则样本空间为则样本空间为 1 =H,T E E2 2: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H、反面、反面T T出出 现的情况现的情况. .则样本空间为则样本空间为 2 2=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT E E3 3: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, ,观察正面观察正面H H出现的次出现的次 数数. .则样本空间为则样本空间为 3

12、3=0,1,2,3=0,1,2,3 E E7 7: :记录某地一昼夜的最高温度和最低温度记录某地一昼夜的最高温度和最低温度. .则则 样本空间为样本空间为 7 7=(x,y)|T=(x,y)|T0 0 xyTxyT1 1 这里这里x x表示最低温度表示最低温度,y,y表示最高温度表示最高温度; ;并设这一并设这一 地区的温度不会小于地区的温度不会小于T T0 0, ,不会大于不会大于T T1 1. . E E4 4: :抛一粒骰子抛一粒骰子, ,观察出现的点数观察出现的点数. .则样本空间为则样本空间为 4 4=1,2,3,4,5,6=1,2,3,4,5,6 E E5 5: :记录电话交换台一

13、分钟内接到的呼唤次数记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数. . 则样本空间为则样本空间为 5 5=0,1,2,3,=0,1,2,3, E E6 6: :在一批灯泡中任意抽取一只在一批灯泡中任意抽取一只, ,测试它的寿命测试它的寿命. . 则样本空间为则样本空间为 6 6=t|t0=t|t0 于是样本空间是由三个样本点构成的集合 2108 , 453534252423151413128 , 这个例子表明这个例子表明:试验的样本点与样本空间是根据 试验的内容而确定的. 1.3 随机事件随机事件(random event) （6 6）空集）空集 称为称为不可能事件不可能事件(Impossible e

14、vent ). （5 5）样本空间）样本空间 称为称为必然事件必然事件(Certain event) . . （4 4）由样本空间中的单个元素组成的子集称为）由样本空间中的单个元素组成的子集称为 基本事件基本事件(Basic events) . . 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事随机事 件件, ,简称简称事件事件. . （2）事件事件A发生发生当且仅当当且仅当A中的某个样本点出现中的某个样本点出现. （1）任一事件）任一事件A是相应样本空间的一个子集是相应样本空间的一个子集. （3）事件可用集合）事件可用集合A表示，也可用语言描述表示，也可用语言描述

15、. 例例: :对于试验对于试验E E2 2: :将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次, , 观察正面观察正面H H、反面、反面T T出现的情况出现的情况. . A A2 2=HHH,TTT=HHH,TTT （2 2）事件）事件A A2 2:“:“三次出现同一面三次出现同一面”, ,则则 A A1 1=HHH,HHT,HTH,HTT=HHH,HHT,HTH,HTT （1 1）事件）事件A A1 1:“:“第一次出现的是正面第一次出现的是正面H”,H”,则则 A A2 2=HHT,HTH=HHT,HTH，THHTHH （3 3）事件）事件A A3 3:“:“出现二次正面出现二次正面”, ,则则 例

16、例: :对于试验对于试验E E6 6: :在一批灯泡中任意抽取在一批灯泡中任意抽取 一只一只, ,测试它的寿命测试它的寿命. . B=t|0t1000B=t|0t1000 事件事件B:“B:“寿命小于寿命小于10001000小时小时”, ,则则 例例: :对于试验对于试验E E7 7: :记录某地一昼夜的最高记录某地一昼夜的最高 温度和最低温度温度和最低温度. . C=(x,y)|y-x=10, TC=(x,y)|y-x=10, T0 0 xyTxyT1 1 事件事件C:“C:“最高温度与最低温度相差最高温度与最低温度相差1010 度度”, ,则则 1.4 随机变量随机变量(random va

17、riable) 用来表示随机现象结果的变量称为用来表示随机现象结果的变量称为随机变量随机变量. . 例例: :抛一粒骰子抛一粒骰子, ,出现的点数是一个随机变量，出现的点数是一个随机变量， 记为记为X.X. （1 1）事件）事件“出现出现3 3点点”可用可用“X=3”X=3”表示表示. . （2 2）事件）事件“出现的点数不小于出现的点数不小于3”3”可用可用“X X3”3” 表示表示. . （3 3）事件）事件“出现的点数小于出现的点数小于3”3”可用可用“X X10000， B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 则事件则事件B发生必然导致发生必然导致A发生，所以发生

18、，所以B A . 1.5.2 1.5.2 相等关系相等关系(equivalent relation) 定义定义: :若属于若属于A A的样本点必属于的样本点必属于B,B,且属于且属于B B的样的样 本点必属于本点必属于A A，则称事件，则称事件A A与事件与事件B B相等相等，记为，记为 A= B . . AB A B且且 B A 例例:抛二粒骰子，抛二粒骰子，A=“二粒骰子点数之和为奇数二粒骰子点数之和为奇数”， B=“二粒骰子的点数为一奇一偶二粒骰子的点数为一奇一偶” . 则事件则事件A发生必然导致发生必然导致B发生，而且发生，而且B发生必然发生必然 导致导致A发生，所以发生，所以A =

19、B . 1.5.3 1.5.3 互不相容互不相容( (Incompatible events) 定义定义: :若事件若事件A A与与 事件事件B B没有相同的没有相同的 样本点样本点, ,则称事件则称事件 A A与与B B互不相容互不相容 . . A与与B互不相容，互不相容， 即事件即事件A与事件与事件B 不可能同时发生不可能同时发生. A与与B互不相容互不相容 AB= 例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T小于小于10000小时小时”=T|T20000. （1）用概率论的语言来说，事件）用概率论的语言来说，事件A与与B不可能不可能 同时发生，所以同时发生，所

20、以A与与B互不相容互不相容. （2）从集合的角度来说，）从集合的角度来说， AB=，所以，所以A与与B 互不相容互不相容. 1.6.1 1.6.1 事件的并事件的并 (Union of events) 定义定义: :由事件由事件A A与与B B中所有中所有 样本点（相同的样本点只样本点（相同的样本点只 计入一次）组成的新事件计入一次）组成的新事件 称为事件称为事件A A与与B B的的并并. . 1.6 事件的运算事件的运算(operation of events ) （1）AB=x|xA或或xB （2）当且仅当）当且仅当A，B中至中至 少有一个发生时少有一个发生时,事件事件AB 发生发生. 例

21、例:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”， B=“出现偶数点出现偶数点” . 则则A=1，2，3， B=2，4，6 . 所以，所以，AB=1，2，3，4，6 例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T超过超过10000小时小时”=T| T10000， B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 所以，所以，AB=T| T10000 =A 1.6.2 1.6.2 事件的交事件的交 (Product of events) 定义定义: :由事件由事件A A与与B B中中 公共的样本点组成的公共的样本点组成的 新事件称为

22、事件新事件称为事件A A与与B B 的的交交. . （2）当且仅当）当且仅当A与与B同时同时 发生时发生时,事件事件AB发生发生. （1）AB=AB =x|xA且且xB 例例:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”， B=“出现偶数点出现偶数点” . 则则A=1，2，3， B=2，4，6 . 所以，所以，AB=2 例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T超过超过10000小时小时”=T| T10000， B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 所以，所以，AB=T| T20000 =B 1.6.3 1.6.3

23、 事件的差事件的差(Difference of events) 定义定义: :由事件由事件A A中而不中而不B B中的样本点组成的新事中的样本点组成的新事 件称为事件件称为事件A A对对B B的的差差. . （1）A-B=x|xA且且xB （2）当且仅当）当且仅当A发生发生,而而B不发生时不发生时,事件事件A-B发生发生. 例例:抛一粒骰子，事件抛一粒骰子，事件A=“出现点数不超过出现点数不超过3”， B=“出现偶数点出现偶数点” . 则则A=1，2，3， B=2，4，6 . 所以，所以，A-B=1，3 例例:电视机的寿命电视机的寿命T是一个随机变量是一个随机变量. A=“T超过超过10000

24、小时小时”=T| T10000， B=“T超过超过20000小时小时” =T| T20000. 所以，所以，A-B=T| 10000T10000， =T| T0. 1.6.5 1.6.5 事件运算的规则事件运算的规则 1、交换律、交换律(Exchange law) ： ABBA，ABBA 2、结合律、结合律(Combination law) ： (AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律、分配律(Distributive law) ： (AB)C(AC)(BC)， (AB)C(AC)(BC) 4、 De Morgan对偶律对偶律(Dual law) ： ., , k k k k

25、k k k k AAAA BAABBABA 可推广 C CBA CBACBACBA CBA ABCBCACBACABCACABB ABC （1）第三次未中奖 （2）第三次才中奖 （3）恰有一次中奖 （4）至少有一次中奖 （5）不止一次中奖 （6）至多中奖二次 1.7 1.7 事件域（事件域（-algebra ） 事件是样本空间事件是样本空间 的某些子集，如果把是事件的某些子集，如果把是事件 的子集归成一类，记作的子集归成一类，记作,称为事件域称为事件域,即即 =A|A ,A,A是事件是事件 （1）由于）由于 , 是事件，所以是事件，所以 , . （3）交运算可通过并与对立实现）交运算可通过并与

26、对立实现. （2）又事件间要求有并、交、差、对立等运算）又事件间要求有并、交、差、对立等运算. （4）差运算可通过交与对立实现（）差运算可通过交与对立实现（B-A=B）. 定义：定义：设设 为一个样本空间，为一个样本空间， =A|A ,A 是事件是事件，若，若 满足：满足： 1. 2. 若若A ,则则 3. 若若Ai ,i=1,2,则则A1A2Ai. 则称集合类则称集合类为一个为一个事件事件域域（-代数代数) . 在概率论中在概率论中 (1)(1)(, ,) )称为称为可测空间可测空间(measurable space). (measurable space). (2)(2)中的子集称为中的子

27、集称为可测集可测集(measurable sets).(measurable sets). 例例: 常见事件域常见事件域 （1）若样本空间）若样本空间=1， 2，记，记A=1， =2， 则事件域为则事件域为=，A， ， . （3）若样本空间）若样本空间=1， 2， n ，则，则 事件域为由事件域为由，可列个单点集，可列个双元素，可列个单点集，可列个双元素 集，集， ，可列个，可列个n个元素集，个元素集， 和和组成，组成， 中中 共有可列个事件共有可列个事件 . 2 概率的基本概论概率的基本概论 定义定义:随机事件随机事件A发生可能性大小的度量发生可能性大小的度量(数值数值), 称为称为A发生的

28、概率发生的概率,记作记作P(A). 对于一个随机事件对于一个随机事件( (必然事件和不可能事必然事件和不可能事 件除外件除外) )来说来说, ,它在一次试验中可能发生它在一次试验中可能发生, ,也可也可 能不发生能不发生. .我们希望知道某些事件在一次试验我们希望知道某些事件在一次试验 中发生的可能性究竟有多大中发生的可能性究竟有多大, ,找到一个合适的找到一个合适的 数来表示事件在一次试验中发生的可能性大数来表示事件在一次试验中发生的可能性大 小小. . 2.1 概率的公理化定义概率的公理化定义 定义定义:设设 为一个样本空间，为一个样本空间， =A|A ,A是是 事件事件，如果对任一事件，

29、如果对任一事件A，赋予一个实数，赋予一个实数P(A). 如果集合函数如果集合函数P(.)满足下列条件：满足下列条件： （1)非负性公理：对于每一事件非负性公理：对于每一事件A,有有P(A)0; (2)正则性公理：正则性公理：P()=1; (3)可列可加性公理可列可加性公理:设设A1,A2,是互不相容的是互不相容的 事件事件,即对于即对于ij,AiAj=,i,j=1,2,则有则有 则称则称P（A）为事件）为事件A的的概率概率(Probability) ，称三元，称三元 素素(，P)为为概率空间概率空间(Probability space) . 11 )()( i i i i APAP 2.2 排

30、列与组合公式排列与组合公式 乘法原理：乘法原理：设完成一件事需分两步，第一步有设完成一件事需分两步，第一步有 n n1 1种方法种方法, ,第二步有第二步有n n2 2种方法，则完成这件事共种方法，则完成这件事共 有有n n1 1n n2 2种方法种方法 A B C 加法原理：加法原理：设完成一件事可有两种途径，第设完成一件事可有两种途径，第 一种途径有一种途径有n n1 1种方法，第二种途径有种方法，第二种途径有n n2 2种方种方 法，则完成这件事共有法，则完成这件事共有n n1 1+n+n2 2种方法。种方法。 A B 有重复排列有重复排列: :从含有从含有n n个元素的集合中随机抽个元

31、素的集合中随机抽 取取k k 次，每次取一个，记录其结果后放回，次，每次取一个，记录其结果后放回， 将记录结果排成一列将记录结果排成一列. . 共有nk种排列方式. 无重复排列无重复排列: :从含有从含有n n个元素的集合中随机抽个元素的集合中随机抽 取取k k 次，每次取一个，取后不放回，将所取次，每次取一个，取后不放回，将所取 元素排成一列元素排成一列. . 共有共有P Pn nk k=n(n-1)=n(n-1)(n-k+1)(n-k+1)种排列方式种排列方式. . 组合组合: :从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k个个. . k)!k)!(n(nk! k!

32、 n!n! k! k! P P k k n n C C k k n n k k n n 共有共有 种取法种取法. . 重复组合重复组合: :从含有从含有n n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k k 个，每次取一个，记录其结果后放回个，每次取一个，记录其结果后放回. . )! )!(n(nk! k! 1)!1)!- -k k(n(n k k 1 1- -k kn n C C k k 1 1- -k kn n 1 共有共有 种取法种取法. . 2.3 2.3 概率的统计定义概率的统计定义 (The statistic definition of probability) 定义定义: :

33、在相同的条件下在相同的条件下, ,进行了进行了n n次试验次试验, ,在这在这n n次次 试验中试验中, ,事件事件A A发生的次数发生的次数n nA A称为事件称为事件A A发生的发生的频数频数. . 比值比值n nA A/n/n称为事件称为事件A A发生的发生的频率频率, ,并记为并记为f fn n(A).(A). 频率具有下述性质频率具有下述性质: : （1 1）0f0fn n(A)1;(A)1; （2 2）f fn n( ( )=1;)=1; （3 3）若）若A A1 1,A,A2 2, ,A,Ak k是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件, ,则则 2.3.1 频率频率(Frequ

34、ency) k i ini k i n AfAf 1 1 )()( 2 2.3 3.2 2 频率的性质频率的性质 性质性质1： 0f0fn n(A)1.(A)1. 证明：证明：n nA A00，所以，所以n nA A/n 0, n/n 0, nA Ann 故有故有0f0fn n(A)= n(A)= nA A/n/n 1 1 性质性质2: f fn n( ( )=1.)=1. 证明证明: : n nS S=n=n，所以，所以n nS S/n/n=1=1 从而从而 f fn n( ()= n)= nS S/n/n =1 =1 性质性质3:若若A,B是是是两两互不相容的事件是两两互不相容的事件, ,

35、则则 证明证明: :因为因为A+BA+B发生发生, ,意味着意味着A,BA,B中至少有一中至少有一 个发生个发生; ;又因为又因为A,B是是互不相容互不相容, ,所以所以A+BA+B发生发生 的次数一定是的次数一定是A A发生的次数与发生的次数与B B发生的次数之发生的次数之 和和, ,即即 n nA A B B= n = nA A + n+ nB B 从而有从而有 )()()(BfAfBAf nnn )()()(BfAfBAf nnn 历史上抛掷匀质硬币的若干结果历史上抛掷匀质硬币的若干结果 2.3.3 概率的统计定义概率的统计定义 试验者试验者 抛掷次数抛掷次数 n 正面出现次正面出现次

36、数数m 正面出现频正面出现频 率率m/n 德德.摩尔根摩尔根204810610.518 蒲丰蒲丰404020480.5069 皮尔逊皮尔逊1200060190.5016 皮尔逊皮尔逊24000120120.5005 维尼维尼30000149940.4998 定义定义: :在相同的条件下在相同的条件下, ,进行了进行了n n次重复次重复 试验试验, ,在这在这n n次试验中次试验中, ,事件事件A A发生了发生了n nA A次次, , 当试验的次数当试验的次数n n很大时很大时, ,如果事件如果事件A A发生的发生的 频率频率f fn n(A)=n(A)=nA A/n/n稳定在某一数值稳定在某一

37、数值p p的附近摆的附近摆 动动, ,而且随着试验次数的增大而且随着试验次数的增大, ,这种摆动的这种摆动的 幅度越变越小幅度越变越小, ,则称数值则称数值p p为事件为事件A A在这组在这组 条件下发生的概率条件下发生的概率, ,记作记作P(A)=p.P(A)=p.这样定义这样定义 的概率称为的概率称为统计概率统计概率. . 2. 4 古典概型古典概型(Classical Probability) 具有以上两个特点的随机试验称为具有以上两个特点的随机试验称为古典概型古典概型, ,也也 称为称为等可能概型等可能概型. . 在概率论发展的初期主要研究具有如下两个特在概率论发展的初期主要研究具有如

38、下两个特 点的随机试验点的随机试验: : (1)(1)试验的样本空间的元素只有有限个试验的样本空间的元素只有有限个; ; (2)试验中每个基本事件发生的可能性相同试验中每个基本事件发生的可能性相同. 古典概型的计算公式古典概型的计算公式 因此，若事件因此，若事件A=eA=ei1 i1 eei2 i2 eeik ik 包含 包含k k个个 基本事件基本事件, ,则有则有 P(A)=k/nP(A)=k/n. . 设随机试验的样本空间为设随机试验的样本空间为S=eS=e1 1,e,e2 2, ,e,en n,由于由于 在试验中每个基本事件发生的可能性相同在试验中每个基本事件发生的可能性相同, ,即有

39、即有 P(eP(e1 1)=P(e)=P(e2 2)=)=P(e=P(en n) 又由于基本事件是两两不相容的又由于基本事件是两两不相容的, ,于是有于是有 1=P(1=P( )=P(e)=P(e1 1 ee2 2 een n) =P(e =P(e1 1)+ P(e)+ P(e2 2)+)+P(e+P(en n) =nP(e =nP(ei i) i=1,2,) i=1,2,n,n 所以所以 P(eP(ei i)=1/n )=1/n i=1,2,i=1,2,n,n 即样本空间有即样本空间有4 4个样本点个样本点, ,而随机事件而随机事件A A1 1包含包含2 2 个样本点个样本点, ,随机事件随

40、机事件A A2 2包含包含3 3个样本点个样本点, ,故故 P(AP(A1 1)=2/4=1/2)=2/4=1/2 P(A P(A2 2)=3/4)=3/4 例例: :将一枚硬币抛掷二次将一枚硬币抛掷二次, ,设事件设事件A A1 1为为“恰有恰有 一次出现正面一次出现正面”; ; 事件事件A A2 2为为“至少有一次出现正至少有一次出现正 面面”. .求求P(AP(A1 1) )和和P(AP(A2 2).). 解解: :正面记为正面记为H,H,反面记为反面记为T,T,则随机试验的样本则随机试验的样本 空间为空间为 =HH,HT,TH,TT=HH,HT,TH,TT 而而 A A1 1=HT,T

41、H=HT,TH A A2 2=HH,HT,TH=HH,HT,TH 15 ! 2 56 )!26( ! 2 ! 6 2 6 Cn 824 1 2 1 4 CCm 15 8 )( 2 6 1 2 1 4 C CC AP 例例: :设有同类产品设有同类产品6 6件件, ,其中有其中有4 4件合格品件合格品,2,2件不件不 合格品合格品. .从从6 6件产品中任意抽取件产品中任意抽取2 2件件, ,求抽得合格品和求抽得合格品和 不合格品各一件的概率不合格品各一件的概率. . 解解: :设设A=A=抽得合格品和不合格品各一件抽得合格品和不合格品各一件.因为因为 基本事件总数等于从基本事件总数等于从6 6

42、件可以区别的产品中任取件可以区别的产品中任取2 2件件 的组合数目的组合数目, ,故有基本事件总数故有基本事件总数 且每一基本事件发生是等可能的且每一基本事件发生是等可能的. . 事件事件A A发生是指从发生是指从4 4件合格品和件合格品和2 2件不合格品中各件不合格品中各 抽出一件抽出一件, ,抽取方法数抽取方法数, ,即使事件即使事件A A发生的基本事件发生的基本事件 数为数为 所以事件所以事件A A发生的概率为发生的概率为 解法解法1:1:把把a a只黑球只黑球b b只白球视为可分辨的只白球视为可分辨的. .把把a+ba+b 只球摸出来依次排在一直线的只球摸出来依次排在一直线的a+ba+

43、b个位置上个位置上, ,则可能则可能 的排列法相当于把的排列法相当于把a+ba+b个元素进行全排列个元素进行全排列, ,即基本事即基本事 件总数为件总数为n=(a+b)!.n=(a+b)!.而有利于事件而有利于事件A Ak k的场合相当于的场合相当于 在第在第k k个位置上放一个黑球个位置上放一个黑球( (共有共有a a种选择种选择),),而在其而在其 余的余的a+b-1a+b-1个位置上个位置上, ,由其余的由其余的a+b-1a+b-1个球任意排列个球任意排列, , 共有共有m=a(a+b-1)!m=a(a+b-1)!种排法种排法. .所以所以 ba a ba baa AP k )!( )!

44、1( )( 例例: :袋中有袋中有a a只黑球只黑球,b,b只白球只白球. .它们除了颜色不同它们除了颜色不同 外外, ,其它方面全同其它方面全同. .现在随机地把球一只只摸出来现在随机地把球一只只摸出来, , 求第求第k k次摸出的一只是黑球次摸出的一只是黑球( (事件事件A Ak k) )的概率的概率. . ba a C C AP a ba a ba k 1 1 )( 这两种不同的解法这两种不同的解法, ,主要在于选取的样本空间不同主要在于选取的样本空间不同 , ,而最后的答案是相同的而最后的答案是相同的. . 例例: 设盒中设盒中有有3个白球，个白球，2个红球，现从盒个红球，现从盒 中任

45、中任抽抽2个个球，求取到一红一白的概率。球，求取到一红一白的概率。 答答:取到一红一白的概率为取到一红一白的概率为0.6。 N =C52 , K =C31 C21 , P(A) =C31 C21 / C52 =0.6 . 解解: 设设A-取到一红一白取到一红一白 一般地，设盒中有一般地，设盒中有N个球，其中有个球，其中有M个白球，从个白球，从 中任中任抽抽n个个球，则这球，则这n个个球中恰有球中恰有k白球的概率是白球的概率是 n n N N k kn n MMN N k k MM C C C CC C P P 例：将例：将3 3个球随机的放入个球随机的放入3 3个盒子中去，问：个盒子中去，问：

46、 （1 1）每盒恰有一球的概率是多少？）每盒恰有一球的概率是多少？ （2 2）空一盒的概率是多少？）空一盒的概率是多少？ 解解: : 设设A:A:每盒恰有一球每盒恰有一球, B:, B:空一盒空一盒. . N = 33, K = 3! , P(A) = 2/9 . P(B) = 1P空两合空两合P全有球全有球 = 13/332/9 = 2/3. 一般地，把一般地，把n n个个球随机地分配到球随机地分配到m m个盒子中去个盒子中去(n(n m)m)， 则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是： n n n n m m m m P P p p 思考题思考题某班级有某班级有n 个人个人(n

47、 365)，问至少有两个，问至少有两个 人的生日在同一天的概率有多大？人的生日在同一天的概率有多大？ 解：解： 设A=没有相同数字的三位数，B表示没有相同 数字的三位偶数，则基本事件总数n=566=180 （1）事件A包含的基本事件数为mA=554 9 5 665 455 P(A) （2）事件B包含的基本事件数为mB=442+54=52 45 13 665 52 P(B) 所以 所以 解：解： （1）由于A与B互不相容，即AB= 则 BA 所以 2 1 P(B)A)P(B （2）BA 则有 4 1 P(A)P(B)A)P(B （3） (AB)BABAB 则有 8 3 P(AB)P(B)A)P(

48、B 例例：30名学生中有名学生中有3名运动员，将这名运动员，将这30名学生平均分名学生平均分 成成3组，求：组，求： （1）每组有一名运动员的概率；）每组有一名运动员的概率； （2）3名运动员集中在一个组的概率。名运动员集中在一个组的概率。 解解:设设A:每组有一名运动员每组有一名运动员;B: 3名运动员集中在一组名运动员集中在一组 10!10!10!10!10!10! 30!30! C CC CC CN N 1010 1010 1010 2020 1010 3030 203203 5050 N N 9!9!9!9!9!9! 27!27! 3!3! P(A)P(A) N N C CC CC C

49、3 3 P(B)P(B) 1010 1010 1010 2020 7 7 2727 !. ! 1m nn n 一般地，把一般地，把n个个球随机地分成球随机地分成m组组 (nm),要求第要求第 i i 组恰有组恰有ni个球个球(i=1,m)， 共有分法：共有分法： 设样本空间设样本空间为一有界几何体，事件为一有界几何体，事件A A包含于包含于 ,用用L L表示几何体的测度表示几何体的测度. 2.5 几何概率几何概率(Geometric probability) 注注:当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体当几何体为一线段时，测度为长度；当几何体 为平面上的某一区域时，测度为面积；当几何体为平面

50、上的某一区域时，测度为面积；当几何体 为空间的某一区域时，测度为体积为空间的某一区域时，测度为体积. 定义：定义：设事件设事件A为样本空间为样本空间中的某个小区域，中的某个小区域， 如果它的测度为如果它的测度为L(A)，且点落入，且点落入A中的可能性大中的可能性大 小与小与L(A)成正比，而与成正比，而与A的位置及形状无关的位置及形状无关,则事则事 件件A的概率的概率为为 P(A)=L(A)/L() 这一类概率通常称作这一类概率通常称作几何概率几何概率. 解解:以以x,y分别表示甲乙两人到达的时刻分别表示甲乙两人到达的时刻, 那末那末 0 x T, 0 y T. 若以若以x,y表示平面上点的坐

51、标，则：表示平面上点的坐标，则： 例例:(会面问题会面问题)甲甲,乙两人相约在乙两人相约在0到到T这段时间内这段时间内, 在预定地点会面在预定地点会面. 先到的人等候另一个人先到的人等候另一个人, 经过时经过时 间间t(tT)后离去后离去. 设每人在设每人在0到到T这段时间内各时刻这段时间内各时刻 到达该地是等可能的到达该地是等可能的, 且两人到达的时刻互不牵连且两人到达的时刻互不牵连. 求甲求甲,乙两人能会面的概率乙两人能会面的概率. （1）所有基本事件可以用一边长为）所有基本事件可以用一边长为T正方形正方形 内所有点表示内所有点表示. （2）两人能会面的条件是）两人能会面的条件是 |x-y

52、| t . 由等可能性知，由等可能性知，所求所求 概率为概率为 OtTx xy=t yx=t t T A 2 2 22 11 )( T t T tTT 正方形面积 阴影部分面积 P(A)= SA / S S S AP A )( 例例:(Buffon投针问题投针问题) 1777年法国科学家蒲丰提出年法国科学家蒲丰提出 了下列著名问题，这是几何概率的一个早期例子了下列著名问题，这是几何概率的一个早期例子. 平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于平面上画着一些平行线，它们之间的距离都等于 a，向此平面任投一长度为，向此平面任投一长度为l(la)的针，试求此针与的针，试求此针与 任一平行线相交的概

53、率任一平行线相交的概率 . 解解:以以x表示针的中点与表示针的中点与 最近一条平行线间的距最近一条平行线间的距 离离,又以又以表示针与此直表示针与此直 线间的交角线间的交角. 易知样本空间满足：易知样本空间满足： 2 0 a x 0 a l a dl g p 2 2 1 sin 2 1 G 的面积 的面积 sin 2 l x 满足这个不等式的区域为图中用阴影部分满足这个不等式的区域为图中用阴影部分g 它是平面上一个矩它是平面上一个矩形形 针与平行线相交针与平行线相交的充要条件是的充要条件是 所求的概率为所求的概率为 蒙特卡罗蒙特卡罗(Monte-Carlo)(Monte-Carlo)法法 an

54、 lN2 a l AP N n2 )( 1 30 解：设解：设 该点落在三角形区域 在正方形内随机投点 A 由几何概型概率的计算公式，得由几何概型概率的计算公式，得 8 3 )(AP ( ) n P A N 8 3 N n N n8 3 如此，可以估算所求无理数的数值。如此，可以估算所求无理数的数值。 在正方形区域内随机取点在正方形区域内随机取点N次，数出落在三角形区次，数出落在三角形区 域内的次数域内的次数n .用事件发生的频率估计其概率得：用事件发生的频率估计其概率得： 2.6 主观概率主观概率(Subjective probability) 定义：定义：人们概据经验对某个事件发生的可能性

55、人们概据经验对某个事件发生的可能性 大小所给出的个人信念，常称作大小所给出的个人信念，常称作主观概率主观概率. 用主观方法确定经验的例子用主观方法确定经验的例子 （1）明天下雨的概率为）明天下雨的概率为90% （2）某新产品在未来市场上畅销的概率为）某新产品在未来市场上畅销的概率为80% （3）概率论概率论课程考试的及格率一般为课程考试的及格率一般为85% （4）我班研究生考取大概为）我班研究生考取大概为20% 性质性质1:1:P(P()=0.)=0. 3 概率的性质概率的性质 11 )()()( i i i i APAPP 1 )( i P 于是由可列可加性得于是由可列可加性得 又由又由P(

56、)0得得, P()=0 证明证明: : 令令A A n+1n+1=A =A n+2n+2= = = , ,则由可列可加性及则由可列可加性及 P(P()=0)=0得得 )()( 111 nj n i i n i i APAP 11 )()( nj n i i PAP 0)( 11 nj n i i AP n i i AP 1 )( 即即 性质性质3:3:对于任一事件对于任一事件A,A,有有 )(1)(APAP )()()()(1APAPAAPP )(1)(APAP 证明证明: :由由A A B B知知B=AB=A(B-A),(B-A),且且A(B-A)=A(B-A)=, , 性质性质4:4:设设

57、A,BA,B是两个事件是两个事件, ,若若A A B,B,则有则有 P(B-A)=P(B)-P(A) P(B-A)=P(B)-P(A) 推论：推论：若若A B，则，则P(B)P(A) 证明：证明：由由P(B)=P(A)+P(B-A) 又由概率的定义知又由概率的定义知P(B-A)0 因此有因此有 P(B)P(A) 因此由概率的有限可加性得因此由概率的有限可加性得 P(B)=P(A)+P(B-A) 从而有从而有 P(B-A)=P(B)-P(A) 证明证明: :因为因为A-B=A-AB,A-B=A-AB,且且AB AB A 性质性质6:6:对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有，有 P(A-B

58、)=P(A)-P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB) 故故 P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB) 证明证明: :因为因为A A , ,因此有因此有 P(A)P(P(A)P()=1)=1 性质性质5:5:对于任一事件对于任一事件A,A,有有 P(A)1P(A)1 证明证明: :因为因为A AB=AB=A(B-AB),(B-AB),且且A(B-AB)=A(B-AB)=,AB,AB B B 故故 P(AP(A B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B-AB)=P(A)+P(B)-P(AB) ).()1(.)( )()()( 21 1 1

59、 111 n n nkji kji nji ji n i ii n i AAAPAAAP AAPAPAP 性质性质7:7:对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有，有 P(AP(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)B)=P(A)+P(B)-P(AB) 上式称为概率的上式称为概率的加法公式加法公式. . 概率的加法公式可推广到多个事件的情况概率的加法公式可推广到多个事件的情况. 设设A,B,C是任意三个事件，则有是任意三个事件，则有 P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(CA)+P(ABC) 一般一般,对于任意对于任意n个事件个事件A1,A2,An,有有

60、推论推论: :对于任意两事件对于任意两事件A,BA,B，有，有 P(AP(AB)B)P(A)+P(B)P(A)+P(B) 上式称为概率的上式称为概率的半可加性半可加性. . 一般，对于任意一般，对于任意n个事件个事件A1,A2,An,有有 n i ii n i APAP 11 )()( 1.1.有放回抽样有放回抽样: :第一次取一件产品观察其是否合第一次取一件产品观察其是否合 格后放回袋中格后放回袋中, ,第二次再取一件产品第二次再取一件产品. . 2.2.不放回抽样不放回抽样: : 第一次取一件产品后不放回袋中第一次取一件产品后不放回袋中 , ,第二次再取一件产品第二次再取一件产品. . 试