黄金分割专项练习30题有答案

1、黄金分割专项练习30题(有答案)1定义：如图1，点C在线段AB上，若满足 AC=BC? AB,则称点C为线段AB的黄金分割点.如图 2, ABC中, AB=AC=1 / A=36, BD平分/ ABC交 AC于点 D.(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2) 求出线段AD的长.下载可编辑.2.如图，用长为 40cm的细铁丝围成一个矩形 ABCD( AB AD.40cm5(1) 若这个矩形的面积等于(2) 这个矩形的面积可能等于(3) 若这个矩形为黄金矩形(299cm，求AB的长度；101cm2吗？若能，求出AD与AB之比等于黄金比AB的长度，若不能，说明理由;一)，求该矩形的面积.2(

2、结果保留根号)3.定义：如图1，点C在线段AB上，若满足 AC=BC? AB,则称点C为线段AB的黄金分割点. 如图 2,ABC中，AB=AC=2 / A=36, BD平分/ ABC交 AC于点 D.(1) 求证：点D是线段AC的黄金分割点；(2) 求出线段AD的长.4. 作一个等腰三角形，使得腰与底之比为黄金比.(1) 尺规作图并保留作图痕迹；(2) 写出你的作法；(3) 证明：腰与底之比为黄金比.5. ( 1)已知线段AB的长为2，P是AB的黄金分割点，求 AP的长;(2)求作线段AB的黄金分割点P,要求尺规作图，且使 AP PB.6如图，线段AB的长度为1 .(1)线段AB上的点C满足系

3、式AC?=BC? AB,求线段AC的长度；(选做)(2)线段AC上的点D满足关系式AD2=CD? AC求线段AD的长度;(选做)(3)线段AD上的点E满足关系式A=DE? Ad,求线段AE的长度; 上面各题的结果反映了什么规律？(提示：在每一小题中设x和I )ImE D CBAB=AC / A=36, Z 1=Z 2,请问点D是不是线段AC的黄金分割点请说明理由.&在厶ABC中，AB=AC=2 BC= - 1，/ A=36, BD平分/ ABC交于 AC于D.试说明点 D是线段AC的黄金分割9.在数学上称长与宽之比为黄金分割比的矩形为黄金矩形，如在矩形ABCD，当-时，称矩形ABCD为黄金矩形

4、ABCD请你证明黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.10.如图，设 AB是已知线段，在 AB上作正方形 ABCD取AD的中点E,连接EB;延长DA至F,使EF=EB以线段 AF为边作正方形 AFGH则点H是AB的黄金分割点.为什么说上述的方法作出的点H是这条线段的黄金分割点，你能说出其中的道理吗？请试一试，说一说.DC11.如图，已知 ABC 中，D是 AC边上一点，/ A=36，/ C=72，/ ADB=108 .求证:(1) AD=BD=BC(2) 点D是线段AC的黄金分割点.12 .已知AB=2,点C是AB的黄金分割线，点 D在AB上，且 AE)=BD? AB求的值.AC13

5、 .如果一个矩形 ABC( AB BP,设以AP为边长的正方形面积为 Si,以PB为宽和以AB为长的 矩形面积为 &，试比较Si与S的大小.18 .如图，在平行四边形 ABCD中, E为边AD延长线上的一点，且 D为AE的黄金分割点，即 血爭;抠,BE交DC于点F,已知八、沁，求CF的长.下载可编辑.19图1是一张宽与长之比为 弱-:1的矩形纸片，我们称这样的矩形为黄金矩形同学们都知道按图2所示的2折叠方法进行折叠，折叠后再展开，可以得到一个正方形 ABEF和一个矩形EFDC那么EFDC这个矩形还是黄金矩形 吗？若是，请根据图 2证明你的结论；若不是，请说明理由.4LA17 DNBB?C(1

6、(0 2)20.（如图1）,点P将线段AB分成一条较小线段 AP和一条较大线段 BP,如果需季，那么称点P为线段AB的黄BP AB二gk，则k就是黄金比，并且k0.618.金分割点，设满足 0.618腰简i(1) 以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰 APB(如图2),等腰 APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为:的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义:(2)如图1,设AB=1,请你说明为什么 k约为0.618 ;I将一个面积(3) 由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线为S的图形分成面积为 S1和面积为S2的两部分(设Sv S2

7、)，如果那么称直线I为该图形的黄金分割线.s2 S图3),点P是线段AB的黄金分割点，那么直线 CP ABC的黄金分割线吗？请说明理由;(4) 图3中的 ABC的黄金分割线有几条？21 在人体躯干(脚底到肚脐的长度)与身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618，越给人以美感张女士原来脚底到肚脐的长度与身高的比为0.60，她的身高为1.60m，她应该选择多高的高跟鞋穿上看起来更美？(精确到十分位)22已知线段AB,按照如下的方法作图： 以AB为边作正方形 ABCD取AD的中点E,连接EB延长DA到F,使EF=EB以线段AF为边，作正方形AFGH那么点H是线段AB的黄金分割点吗？

8、请说明理由.23. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张正方的纸片ABCD先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB落到线段EA上，折出点B的新位置B,因而EB =EB类似地，在 AB上折出点B使AB=AB .这时B就是AB的黄金分割点.请你证明这个结论.24. 如图，用纸折出黄金分割点：裁一张边长为2的正方形纸片 ABCD先折出BC的中点E,再折出线段 AE,然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F,因而EF=EB类似的，在 AB上折出点M使AM=AF贝U M是AB 的黄金分割点吗？若是请你证明，若不是请说明理由.25.如图，在 ABC 中，点 D在边 AB上，且 DB

9、=DC=AC已知/ ACE=108 , BC=2.（1）求/B的度数；（2） 我们把有一个内角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形.它的腰长与底边长的比 （或者底边长与腰长的比） 等于黄金比二2 写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由； 求AD的长； 在直线AB或BC上是否存在点P （点A B除外），使 PDC是黄金三角形？若存在，在备用图中画出点P,简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由.26宽与长的比是的矩形叫黄金矩形心理测试表明：黄金矩形令人赏心悦目，它给我们以协调，匀称的美2感现将小波同学在数学活动课中，折叠黄金矩形的方法归纳如下（如图所示）：第一步：作一个正方形

10、ABCD第二步：分别取 AD BC的中点M, N,连接MN第三步：以N为圆心，ND长为半径画弧，交 BC的延长线于E； 第四步：过E作EF丄AD交AD的延长线于F.请你根据以上作法，证明矩形DCEF为黄金矩形.27.在 ABC中，AB=AC / A=36,把像这样的三角形叫做黄金三角形.(1) 请你设计三种不同的分法，将黄金三角形ABC分割成三个等腰三角形，使得分割成的三角形中含有两个黄金三角形(画图工具不限，要求画出分割线段；标出能够说明不同分法所得三角形的内角度数，不要求写画法，不要 求证明.分别画在图 1，图2，图3中)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法.图1

11、图2砂(2)如图4中，BF平分/ ABC交AC于F,取AB的中点E,连接EF并延长交BC的延长线于 M试判断CM与 AB 之间的数量关系？只需说明结果，不用证明.答：CM与 AB之间的数量关系是 .28 折纸与证明 用纸折出黄金分割点：第一步：如图(1),先将一张正方形纸片 ABCD寸折，得到折痕 EF;再折出矩形 BCFE勺对角线BF. 第二步：如图(2),将AB边折到BF上，得到折痕BG试说明点G为线段AD的黄金分割点(AGGD)29. 三角形中，顶角等于 36的等腰三角形称为黄金三角形，如图1，在 ABC中，已知：AB=AC且/ A=36(1) 在图1中，用尺规作 AB的垂直平分线交 A

12、C于 D,并连接BD (保留作图痕迹，不写作法);(2) BCD是不是黄金三角形？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由；(3) 设亍二匕试求k的值；AC(4)如图 2,在AA 1B1G 中，已知 ABi=AQ,/A 1=108，且 AiBi=AB,请直接写出30. 如图1，点C将线段AB分成两部分，如果垒县，那么称点C为线段AB的黄金分割点某研究小组在进行课AB AC题学习时，由黄金分割点联想到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线I将一个面积为S的图S s形分成两部分，这两部分的面积分别为Si，S2,如果二=，那么称直线I为该图形的黄金分割线.S N(1) 研究小组猜想：在

13、 ABC中，若点D为AB边上的黄金分割点(如图 2),则直线CDA ABC的黄金分割线.你 认为对吗？为什么？(2) 请你说明：三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线？(3) 研究小组在进一步探究中发现：过点C任作一条直线交 AB于点E,再过点D作直线DF/CE交AC于点F,连 接EF (如图3),则直线EF也是 ABC的黄金分割线.请你说明理由.(4) 如图4,点E是平行四边形 ABCD的边AB的黄金分割点，过点 E作EF/ AD交DC于点F,显然直线EF是平行 四边形ABCD的黄金分割线.请你画一条平行四边形ABCD的黄金分割线，使它不经过平行四边形ABCD各边黄金分割点.xf/77/

14、/A AC h ADBADE BA EB图13334黄金分割专项练习30题参考答案:1. (1)证明：T AB=AC=,1/ ABCM C=_ (180/ A)(180 36) =72,2 2 BD平分/ ABC交AC于点D,/ ABD/ CBD=/ ABC=36 ,2/ BDC=180 36 72 =72, DA=DB BD=BC AD=BD=BC易得 BDSA ABC BC AC=CD BC,即 BC=CC? AC AD2=CCP AC,点D是线段AC的黄金分割点；(2) 设 AD=x 贝U CD=AG AD=1- x ,2/ AD=Ct7 ACx2=1 - x,解得 X1=l , X2=

15、 I,2 2即AD的长为食22 .解：(1)设 AB=xcm 贝U AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =99 ,整理得 x - 20x+99=0 ,解得 x1=9 , x2=11 ,当 x=9 时，20 - x=11 ;当 x=11 时，20 - 1仁9 ,而 AB AD所以x=11,即AB的长为11cm；(2) 不能.理由如下：设 AB=xcm 贝V AD= (20 - x) cm,根据题意得x (20 - x) =101 ,整理得 x - 20x+101=0 ,因为 =202- 4X 10仁-4 V 0 ,所以方程没有实数解，所以这个矩形的面积可能等于101c

16、m2；(3) 设 AB=xcm 贝U AD= ( 20 - x) cm,根据题意得20 - x= x ,2 r解得 x=10 ( 口- 1),则 20 - x=10 ( 3-小)所以矩形的面积=10 ( 1) ? 10 (3- . 1) = (400 口- 800) cm2.3. 解：(1)v/A=36 , AB=AC / ABC/ ACB=72 ,/ BD平分/ ABC / CBDM ABD=36 , / BDC=72 , AD=BD BC=BD ABCA BDC,= , 即上J = 1，丁-不， adD=ac? cd点D是线段AC的黄金分割点.(2)v点D是线段AC的黄金分割点，- 1 A

17、D=AC,2/ AC=2 AD= - 14. 解：(1)腰与底之比为黄金比为黄金比如图，(2) 作法：画线段 AB作为三角形底边； 取AB的一半作 AB的垂线 AC,连接BC 在BC上取CD=CA 分别以A点和B点为圆心、以BD为半径划弧，交点为 E； 分别连接EA、EB贝忆ABE即是所求的三角形.(3) 证明：设 AB=2 贝U AC=1, BC= - , AE=BE=BD=BCD= 7 - 1 , AE需-i| -.5.解：(1)由于P为线段AB=2的黄金分割点,则 AP=2X_= H- 1 ,2或 AP=2-(!.- 1) =3- . !.;6 .解：(1)设 AC=x 贝U BC=AB

18、- AC=1- x , / AC2=BC? AB,2 x =1 X( 1 - x),2整理得x +x - 1=0 ,(舍去)(2)设线段AD的长度为x, AC=I,2/ AD=CD? AC,2/x =l X( I - x),XiU, X2=(舍去)22线段AD的长度;AC;2(3) 同理得到线段 AE的长度 1 - AD2上面各题的结果反映： 若线段AB分成两条线段 AC和BC(AO BC),且使AC是 AB和BC的比例中项(即AB: AC=AC BC),则C点为AB的黄金分割点 7.解：D是AC的黄金分割点.理由如下：在 ABC 中，AB=AC / A=36 ,1 oriQ _ 祚/ ABC

19、M ACB=j =72.2/ 1=M 2,/ 1=M 2=丄M ABC=36 .2在厶 BDC中，/ BDC=180 -M 2-M C=72 , M C=M BDC BC=BDvM A=M 1, AD=BC/ ABC和厶 BDC中，M 2=M A,M C=M C, ABCA BDC艇 _BCbdF又 v AB=AC AD=BC=BP AC .AD如P，2 AD=AC? CD即D是AC的黄金分割点& 证明：v AB=AC M A=36 , M ABC二(180- 36) =72 ,2v BD平分M ABC交于AC于 D,M DBC= XzABC二 X 72 =3622M A=M DBCvM C=

20、M C, BCDA ABC BC 二 CD 両FCv AB=AC,/ AB=AC=2 BC= 1 ,(!.- 1) 2=2X( 2 - AD,解得ad= ： H, AD AC=(翻-1) : 2.点D是线段AC的黄金分割点.9.证明：在 AB上截取 AE=BC DF=BC连接EF./ AE=BC DF=BC AE=DF=BC=AD又/ ADF=90 ,四边形AEFD是正方形.BE=-, BE 卫-1-，矩形BCFE的宽与长的比是黄金分割比，矩形BCFE是黄金矩形.黄金矩形是由一个正方形和一个更小的黄金矩形构成.DC1111111111AEB10.解：设正方形 ABCD勺边长为2,在Rt AEB

21、中，依题意，得 AE=1, AB=2, 由勾股定理知 EB=j 还1=.厂, AH=AF=EF AE=EB- AE=.二-1,HB=AB- AH=3- . 口； A=(.口 -) 2=6 - 2 .,AB? HB=2X( 3 -T) =6 - 2, aH=ab? HB所以点H是线段AB的黄金分割点.11 .证明：(1)vZ A=36,Z C=72 , / ABC=180 - 36- 72 =72,/ ADB=108 , / ABD=180 - 36- 108 =36, ADB是等腰三角形，/ BDC=180 -Z ADC=180 - 108 =72, BDC是等腰三角形， AD=BD=BC(2

22、)vZ DBCZ A=36,Z C=Z C, ABCA BDC BC AC=CD BC, BCf=AC? DC/ BC=AD AD2=AC? DC点D是线段AC的黄金分割点.12.解：TD 在 AB上,且 AD=BD? AB,点D是AB的黄金分割点而点C是AB的黄金分割点， AC= AB= - 1 , AD=A_ AB=AB=3- 或 AD= - 1 , AC=3- 7,_2 2 2 CD= - 1 -( 3 .) =2 H - 4 ,.仇師- 4=5 -需或砂妬_ 4血-1|ACV5-L 2 毗花 2.13解：矩形 ABFE是黄金矩形./ AD=BC DE=AB.城_BC _ .2_ 护+1

23、 - 1H- 2 -1両二胡二 AB 询 街_2.矩形ABFE是黄金矩形.14. 解：TD为AB的黄金分割点(ADBD), AD=_AB=10 - 10,/ EC+CD=AC+CD亍AD EC+CD( 10 口- 10) cm.15. 解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据题意得x: 1.70=0.618 ,即 x=1.70 X 0.618 1.1 ( m).答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段.16 .解：(1)在Rt APD中，AP=1, AD=2由勾股定理知 PD寸扭2十卅2=届卫, AM=AF=P- AP=PD- AP=. : 1,DM=A- AM=3-卜二.

24、故AM的长为应、一1 , DM的长为3 二;(2)点M是AD的黄金分割点.由于丄I：AD 2点M是AD的黄金分割点.17 .解：点P是线段AB的黄金分割点，且 AP BP, aP=BPX AB又Si=aP, S=PBXABS i=S?.18解：四边形 ABCD为平行四边形，.z CBFM AEB Z BCFM BAEAD/F BCMA EAB即CF_BA把 AD= 1 . , AB= 口+1 代入得,解得：CF=2故答案为：2.19.解：矩形EFDC是黄金矩形， 证明：四边形 ABEF是正方形， AB=DC=AF又忙丄AD- 2.AF VS IAD- 2即点F是线段AD的黄金分割点. ,AFA

25、D- 2.PD - 1|DC亠2矩形CDFE是黄金矩形.20.解：心0.618的矩形是黄金矩形;(1) 满足二长宽+长(2)由=k 得，BP=1X k=k ,从而AP=1 - k ,由詈得,Bh=APX Ab2即 k = (1 - k )x 1 ,解得k=2/ k 0 ,0.618(3)因为点P是线段AB的黄金分割点，所以设厶ABC的AB上的高为h,则SjAFXhp,sAPclBpxh_BF，WcJEFXh_BP SnABC 訥 Xh 凰aapc abpcSABPC SAAEC直线。卩是厶ABC的黄金分割线.(4) 由(2)知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q则AQ也是黄金分割线，设 AQ与

26、 CP交于点W则过点 W的直线均是 ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条.21解：根据已知条件得下半身长是160X 0.6=96cm,设选择的高跟鞋的高度是 xcm,则根据黄金分割的定义得: 旣 + 工=0.618 ,160+x解得：x 7.5cm.故她应该选择7.5cm左右的高跟鞋穿上看起来更美.22.解：设正方形 ABCD勺边长为2a,在 Rt AEB中，依题意，得 AE=a, AB=2a,由勾股定理知 EB= . a, AH=AF=EF AE=EB- AE= (.口 - 1) a,HB=AB- AH=( 3 -T) a； A=(6 - 2 p G a2,AB? HB=20 GD .G D匚29.解：(1)如图所示;(2)A BCD是黄金三角形.证明如下：点 D在AB的垂直平分线上, AD=BD/ A