求质点在中心势场中运动的微分方程的解解由公式PPT学习教案

1、会计学1 求质点在中心势场中运动的微分方程的求质点在中心势场中运动的微分方程的 解解由公式解解由公式 第（2），（3）中情况会出现r0，即质点被力心所俘获 m L m L Er m E t 222 1 22 2 r rr Lm m r m E E m m L m r m E rd rm L r E m dr t 0 2 2 2 0 2 2 2 2 0 22 2 2 )2( 48 4 4882 当 ，t值有限 0, 02 2 ELm 第1页/共16页 3.2 质量相同的两个质点，用一固有长度为l劲度系数为k，质量不计的弹 性棒连接起来，用手握住其中一个质点，使另一个做水平圆周运动，其 速度为V0

2、，然后将手放开，讨论这两个质点以后的运动情况。 解：放手前，体系质心做圆周运动，放手后质心在离心力作用下做抛体 运动。 仅考虑体系的相对运动，体系势能 。两粒子相对运动 可看成质量为折合质量mr的质点的运动， 运动方程为： 2 )( 2 1 lrkV 其中： 轨道方程为： r r r rm L lrkE m dr t 0 22 2 2 )( 2 12 l k mv rm mm mm mr 2 0 0 21 21 , 2 1 r r r r r r L lrkEm dr r L d 00 2 2 2 2 )( 2 1 2 第2页/共16页 3.3 质点在一纬中心引力 的作用下，以速度为0，x=-

3、a处开始运 动，试求该质点到达力心o的时间。 解：设无穷远处为势能零点，则 代入粒子在中心势的运动方程： xF xdx x xv x ln)( 0 22 2 lnln 2 )( 2 a x m dr rm L xVE m dr t 第3页/共16页 3.4 定性的讨论粒子在中心势 中的运动，式中k和为常数。 解：当 1时，V0，此时近似做自由粒子的运动； 当 1时， ，粒子近似做在势场 中的开普勒运动； 当 1时， ，粒子近似做开普勒运动，但势场减弱为 r e kV r r r k V r k r re k V er k 1 r 第4页/共16页 3.6 求粒子在中心力 的作用下的轨道方程。

4、解：粒子的中心势场可写为 代入 32 r c r k F r c r k V 2 2 2 2 2 2 1 )( 2 2 1 )(2 r Lmc r mk mE r Ld r L rVEm dr r L d 令： ， r u 1 2 2 2 22 24 4 2 22)( A B u A ADB A B ud A L mEumkuLmc Ldu mED mkB mcLA 2 2 2 2 2 22 222 cos )( )(2 2L mcL mcL mcLmEkm mcL mk u cos1 cos )(2 11 2 2 22 2 2 e p L mcL km mcLmE mk mcL r 其中：

5、22 2 2 2 )(2 1,1, km mcLmE e L mc mk mcL p 第5页/共16页 3.8 试求粒子在势场 中运动且E=0 (抛物线轨道)时，坐标对时间 的依赖关系。 解：粒子在中心势场 中运动，代入 运动方程： 2 22 2 22 2 22 )( 2Lrm mrdr rm L rm dr rm L xVE m dr t r V r V 令 ，则 222 2LrmL m LL r 2 222 32 )1( 2 2 1 2 3 2 3 2 2 3 2 3232222 m L d m L d m LL d Lm L m LL mt 若 ，则 m L p 2 ) 1 ( 3 1

6、2 23 mp t )3()1 ( 4 )1( 4 sin )2()1 ( 22 )1( 2 )1( cos 22 2 22 2 22 2 222 p pp xrry pp p m L prprx 第6页/共16页 3.11 证明在椭圆轨道情况下，动能对时间的平均值等于势能对时间的平 均值的一半(位力定理)。 证明：在椭圆轨道情况下， 。设 ，a，c分别是半长 轴和焦距 cos1e p r r V 有： ，周期VrrmE a E)( 2 1 , 2 222 可写为： ，即 ar rrm 2 )( 2 1 222 armr L rm 222 1 2 2 3 2a m T m L a r r mr

7、dt dr 22 21 22 2 2 2 )(ar m aL a dr mg r dt 第7页/共16页 势能： a mama ar m aL a dr ma d r V ca ca 2 1arcsin 4 )( 21 2 2 2 0 动能： aaa d ar drrT 22 ) 2 ( 1 )( 2 11 00 222 VT 2 1 证明2： 令：rps TrFrrmrFrprps2 经过一个周期： TrF20 又： ，在椭圆轨道 r V F 2 )( r F r rV )(2 2 rV r r r T 第8页/共16页 3.13 运动粒子m1和静止粒子m2碰撞后，试在实验室系中用粒子的偏转

8、角 来表示粒子碰撞后的速度，即用 和 来表示 和 解：设m1的初速度为 可得： 01 V 02 V 01 V 2 sin 2 cos2 21 011 02 01 21 21 2 2 2 1 01 mm Vm V V mm mmmm V 其中： cos cos1 cos sin tan 21 2 2 21 2 1 mm m mm m 1 2 22 2)( 2 1 代入上式得： 011 22 1 2 2 21 1 21 1 01 2 21 011 02 sin 1 cos cos 2 Vmm mmmm m V mm Vm V 第9页/共16页 3.22 设一质量为m的质点在 的中心力场中运动，试求

9、其在稳 定平衡位置r0附近做径向小振动的频率。 解：由比耐公式，轨道微分方程为： 其中 xrF)( F L m u d ud u 22 2 2 dr dv F r u, 1 设势场有一微小扰动，使粒子轨道 0 uu 代入上式，保留到的一级项，得满足方程： 0 2 2 A d d 得轨道稳定条件为： 01 2 1)( 2 1 2 2 2 2 2 2 4 2 3 2 L rm L rm L rm dr dF r L m rFr L m A 轨道稳定 附近径向振动频率 0 r L rmL L rmL f 22 1 2 2 0 2 2 2 0 2 第10页/共16页 3.23 在地球表面A处，一发射角

10、60和初速 发射一卫星，其中 R为地球半径(自转可略)。(1)试求发射瞬间卫星轨道的曲率半径和切向加 速度 ；(2)试求卫星离开地面的最大高度h及在此点的速率 ；(3)如果 卫星在此最大高度突然分裂成相等的两半，其一半瞬时静止，试问另一半 的轨道形状。 解：卫星处于重力势场 中，由重力Fmg, 卫星的轨道方程可写为： gRv 0 t a 1 v r V gR mR mRvLmgR r mvEmgR Rr 3 2 sin, 2 1 2 1 , 0 2 0 2 cos24 3 R r 3 2 cos1e p r 其中： 1 2 12 1, 4 3sin 2 2 2 2 0 2 m EL eR mg

11、Rm mRv m L p 轨道方程为： ，当 r =R时 (1)受力分析得： RmgF mv n 3 32 sin 2 0 gamgFma ttt 2 1 cos v0 A R O 第11页/共16页 (2)当 时，有 2 , 2 3 maxmax R RrhRr 由机械能守恒有： mgR R Mm GmvEE r Mm Gmv 2 1 2 1 , 2 1 2 0 max 2 1 即： gRv mgR R mgR mv 3 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 (3)当一半瞬时静止，由动量守恒有，1 2vv 0 3 1 3 12 2 1 2 1 max 2 mgRmgR r m GM v

12、mE 1 2 2 22 m ELm e 即轨道形状为抛物线 第12页/共16页 (2)当 时，有 2 , 2 3 maxmax R RrhRr 由机械能守恒有： mgR R Mm GmvEE r Mm Gmv 2 1 2 1 , 2 1 2 0 max 2 1 即： gRv mgR R mgR mv 3 3 2 1 2 3 2 1 1 2 2 1 R/2 R/2 v0 A R O 第13页/共16页 (2)双曲线轨道 上面式(1), (3), (4), (5)均成立，但 ) 1( 2 eap 代入(5)得， ararp h v 1212 2 2 (3)抛物线轨道 式(1), (3), (4), (5)均成立，但e=1 代入(5)得， rrp h v 22 2 2 第14页/共16页 (2)双