齐次坐标系与摄像机坐标系相关概念

1、齐次坐标系 一直对齐次坐标这个概念的理解不够彻底，只见大部分的书中说道“齐次坐标在仿射变换中非常的方便”，然后就没有了后文，今天在一个叫做“三百年重生”的博客上看到一篇关于透视投影变换的探讨的文章，其中有对齐次坐标有非常精辟的说明，特别是针对这样一句话进行了有力的证明：“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。” F.S. Hill, JR。 由于作者对齐次坐标真的解释的不错，我就原封不动的摘抄过来： 对于一个向量v以及基oabc如下图：可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v = v1 a + v2 b + v3 c

2、 (1)而对于一个点p，则可以找到一组坐标（p1,p2,p3），使得p o = p1 a + p2 b + p3 c (2)从上面对向量和点的表达，我们可以看出为了在坐标系中表示一个点（如p），我们把点的位置看作是对这个基的原点o所进行的一个位移，即一个向量p o（有的书中把这样的向量叫做位置向量起始于坐标原点的特殊向量），我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点p：p = o + p1 a + p2 b + p3 c (3)(1)(3)是坐标系下表达一个向量和点的不同表达方式。这里可以看出，虽然都是用代数分量的形式表达向量和点，但表达一个点比一个向量需要额外的信息。如果我写出一个代数分

3、量表达(1, 4, 7)，谁知道它是个向量还是个点！我们现在把(1)(3)写成矩阵的形式：这里(a,b,c,o)是坐标基矩阵，右边的列向量分别是向量v和点p在基下的坐标。这样，向量和点在同一个基下就有了不同的表达：3D向量的第4个代数分量是0，而3D点的第4个代数分量是1。像这种这种用4个代数分量表示3D几何概念的方式是一种齐次坐标表示。“齐次坐标表示是计算机图形学的重要手段之一，它既能够用来明确区分向量和点，同时也更易用于进行仿射（线性）几何变换。” F.S. Hill, JR这样，上面的(1, 4, 7)如果写成（1,4,7,0），它就是个向量；如果是(1,4,7,1)，它就是个点。下面是

4、如何在普通坐标(Ordinary Coordinate)和齐次坐标(Homogeneous Coordinate)之间进行转换：(1)从普通坐标转换成齐次坐标时 如果(x,y,z)是个点，则变为(x,y,z,1); 如果(x,y,z)是个向量，则变为(x,y,z,0)(2)从齐次坐标转换成普通坐标时 如果是(x,y,z,1)，则知道它是个点，变成(x,y,z); 如果是(x,y,z,0)，则知道它是个向量，仍然变成(x,y,z)以上是通过齐次坐标来区分向量和点的方式。从中可以思考得知，对于平移T、旋转R、缩放S这3个最常见的仿射变换，平移变换只对于点才有意义，因为普通向量没有位置概念，只有大小

5、和方向。这可以通过下面的式子清楚的看到：而旋转和缩放对于向量和点都有意义，你可以用类似上面齐次表示来检测。从中可以看出，齐次坐标用于仿射变换非常方便。此外，对于一个普通坐标的点P=(Px, Py, Pz)，有对应的一族齐次坐标(wPx, wPy, wPz, w)，其中w不等于零。比如，P(1, 4, 7)的齐次坐标有(1, 4, 7, 1)、（2, 8, 14, 2）、（-0.1, -0.4, -0.7, -0.1）等等。因此，如果把一个点从普通坐标变成齐次坐标，给x,y,z乘上同一个非零数w，然后增加第4个分量w；如果把一个齐次坐标转换成普通坐标，把前三个坐标同时除以第4个坐标，然后去掉第4

6、个分量。由于齐次坐标使用了4个分量来表达3D概念，使得平移变换可以使用矩阵进行，从而如F.S. Hill, JR所说，仿射（线性）变换的进行更加方便。由于图形硬件已经普遍地支持齐次坐标与矩阵乘法，因此更加促进了齐次坐标使用，使得它似乎成为图形学中的一个标准。以上很好的阐释了齐次坐标的作用及运用齐次坐标的好处。其实在图形学的理论中，很多已经被封装的好的API也是很有研究的，要想成为一名专业的计算机图形学的学习者，除了知其然必须还得知其所以然。这样在遇到问题的时候才能迅速定位问题的根源，从而解决问题。摄像机坐标变换一、 概述计算机视觉的基本任务之一是从摄像机获取的图像信息出发计算三维空间中物体的几

7、何信息，并由此重建和识别物体，而空间物体表面某点的三维几何位置与其在图像中对应点之间的相互关系是由摄像机成像的几何模型决定的，这些几何模型参数就是摄像机参数。在大多数条件下，这些参数必须通过实验与计算才能得到，这个过程被称为摄像机定标(或称为标定)。标定过程就是确定摄像机的几何和光学参数，摄像机相对于世界坐标系的方位。标定精度的大小，直接影响着计算机视觉（机器视觉）的精度。迄今为止，对于摄像机标定问题已提出了很多方法，摄像机标定的理论问题已得到较好的解决，对摄像机标定的研究来说，当前的研究工作应该集中在如何针对具体的实际应用问题，采用特定的简便、实用、快速、准确的标定方法。二、 摄像机成像模型

8、在计算机视觉中，利用所拍摄的图像来计算出三维空间中被测物体几何参数。图像是空间物体通过成像系统在像平面上的反映，即空间物体在像平面上的投影。图像上每一个像素点的灰度反映了空间物体表面某点的反射光的强度，而该点在图像上的位置则与空间物体表面对应点的几何位置有关。这些位置的相互关系，由摄像机成像系统的几何投影模型所决定。计算机视觉研究中，三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型，理想的投影成像模型是光学中的中心投影，也称为针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上，即满足光的直线传播条件。针孔模型主要有光心（投影中心）、成像面和光轴组成。小孔成像由于透光量太小，因此

9、需要很长的曝光时间，并且很难得到清晰的图像。实际摄像系统通常都由透镜或者透镜组组成。两种模型具有相同的成像关系，即像点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此，可以用针孔模型作为摄像机成像模型。当然，由于透镜设计的复杂性和工艺水平等因素的影响，实际透镜城乡系统不可能严格满足针孔模型，产生所谓的镜头畸变，常见的如径向畸变、切向畸变、薄棱镜畸变等，因而在远离图像中心处会有较大的畸变，在精密视觉测量等应用方面，应该尽量采用非线性模型来描述成像关系。二、 常用坐标系及其关系计算机视觉常用坐标系采用右手准则来定义，图1 表示了三个不同层次的坐标系统：世界坐标系、摄像机坐标系和图像坐标系（图像像素坐标系和

10、图像物理坐标系）。1 世界坐标系：也称真实或现实世界坐标系,它是客观世界的绝对坐标。一般的3场景都用这个坐标系来表示。1 三个层次的坐标系统（1）世界坐标系（xw,yw,zw）：也称真实或现实世界坐标系，或全局坐标系。它是客观世界的绝对坐标，由用户任意定义的三维空间坐标系。一般的3场景都用这个坐标系来表示。（2）摄像机坐标系(xoy)：以小孔摄像机模型的聚焦中心为原点，以摄像机光轴为zc 轴建立的三维直角坐标系。x，y 一般与图像物理坐标系的xf,yf 平行，且采取前投影模型。（3）图像坐标系，分为图像像素坐标系和图像物理坐标系两种：图像物理坐标系：其原点为透镜光轴与成像平面的交点，X 与Y

11、轴分别平行于摄像机坐标系的x 与y 轴，是平面直角坐标系，单位为毫米。图像像素坐标系计算机图像（帧存）坐标系：固定在图像上的以像素为单位的平面直角坐标系，其原点位于图像左上角, xf,yf 平行于图像物理坐标系的X 和Y轴。对于数字图像，分别为行列方向。2 坐标系变换关系定义了上述各种空间坐标系后，就可以建立两两不同坐标变换之间的关系。（1） 世界坐标系与摄像机坐标系变换关系世界坐标系中的点到摄像机坐标系的变换可由一个正交变换矩阵R 和一个平移变换矩阵T 表示为：正交旋转矩阵实际上只含有3 个独立变量，再加上x y z t ,t ,和t ，总工有6 个参数决定了摄像机光轴在世界坐标系中空间位置，因此这六个参数称为摄像机外部参数。（2） 图像坐标系与摄像机坐标系变换关系