专题14数列的综合应用(原卷版)

1、你哈 专题14数列的综合应用真题体验*n*1、【2021年高考江苏卷】 集合 A x|x 2n 1,n N , B x|x 2 ,n N 将AUB的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 an 记Sn为数列an的前n项和，那么使得Sn 12an 1成立的n的最小值为2、【2021年高考天津卷文数】设an是等差数列，bn是等比数列，公比大于0,印 b 3,b2 a3,b3 4a23.(1 )求an和bn的通项公式;(2)设数列Cn满足Cn1, n为奇数,*b , n为偶数求 a1C1 a2C2 La2nC2n (n N ).23、【2021年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M数列

2、(1)等比数列an(nN )满足：a2a4a5,a34a24a10 ,求证：数列an为“m数列1(2 )数列bn( n N )满足：D 1,Sn 求数列bn的通项公式； 设m为正整数，假设存在“M数列 c( n 立，求m的最大值.2 2，其中Sn为数列bn的前n项和.bn bn 1N ),对任意正整数k,当k奇时，都有Ck剟bk Ck 1成114、【2021年高考浙江卷】设等差数列 an的前n项和为Sn, a3 4 ,S3，数列g满足：对每个 n N ,Sn bn,Sn 1 bn,Sn 2 b 成等比数列.1求数列an， bn的通项公式；2记 Cn皀，n N ,证明：ci C2 + L Cn

3、2衙川 N .V2bn5、【2021年高考江苏卷】设an是首项为ai，公差为d的等差数列，0是首项为b ,公比为q 的等比数列.设a1 0,b 1,q 2，假设| an bi | b对n 1,2,3,4均成立，求d的取值范围；(2) 假设 a b 0,m N*,q (1,m2，证明：存在 d R，使得 | an b. | b 对 n 2,3,L ,m 1 均成立,并求d的取值范围用b1, m, q表示难点突破一、求通项公式的方法1、累加累乘法n ，那么可利用累加法求通项公式1累加法：如果递推公式形式为：an 1 an 等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和 an 1,an的系数相同，且为作差

4、的形式二、数列的求和的方法1 等差数列求和公式：Snn色出n p q n 122n n 1Sh amd2nai 1 q2 等比数列求和公式：sn1q ,q 1agq 13错位相减法：通项公式的特点在错位相减法的过程中表达了怎样的作用？通过解题过程我们可以发现：等比的局部使得每项的次数逐次递增，才保证在两边同乘公比时实现了“错位的效果。而等差的局部错位局部“相减后保持系数一致其系数即为等差局部的公差，从而可圈在一起进行等比数列求和。体会到“错位与“相减所需要的条件，那么可以让我们更灵活的使用这一方法进行数列求和4裂项相消：an的表达式能够拆成形如 an f n f n k的形式k=1,2,L ，

5、从而在求和时可以进行相邻项或相隔几项的相消。从而结果只存在有限几项，到达求和目的。其中通项公式为分式和根式的居多5 分组求和如果数列无法求出通项公式，或者无法从通项公式特点入手求和，那么可以考虑观察数列中的项，通过合理的分组进行求和1 利用周期性求和：如果一个数列的项按某个周期循环往复，那么在求和时可将一个周期内的项归为一 组求和，再统计前 n项和中含多少个周期即可2 通项公式为分段函数或含有1 n，多为奇偶分段。假设每段的通项公式均可求和，那么可以考虑奇数项一组，偶数项一组分别求和，但要注意两点：一是序数的间隔等差等比求和时会影响公差公比：二是要对项数的奇偶进行分类讨论可见典型例题；假设每段

6、的通项公式无法直接求和，那么可以考虑相邻 项相加看是否存在规律，便于求和3 倒序相加：假设数列 an中的第k项与倒数第k项的和具备规律，在求和时可以考虑两项为一组求和，如果想防止项数的奇偶讨论，可以采取倒序相加的特点，三、数列中的单调性1、在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求的数列中的最值项， 要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点2、如何判断数列的单调性:1函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。由于nN ，所以如果需要用到导数，首先要构造一个与通项公式形式相同，但定义域为0, 的函数，得到函数的单调性后

7、再结合n N得到数列的单调性2相邻项比拟：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比拟得出数列的单调性，通常的手段就是作差与 0比拟，从而转化为判断符号问题或作商与 1比拟，但要求是正项数列3、 用数列的眼光去看待有特征的一列数：在解数列题目时，不要狭隘的认为只有题目中的an , 0是数列，实质上只要是有规律的一排数，都可以视为数列，都可以运用数列的知识来进行处理。比方：含n的表达式就可以看作是一个数列的通项公式；某数列的前n项和Sn也可看做数列 Sn : S,S2丄，5等等。4、 对于某数列的前 n项和Sn : S,S丄,Sn，在判断其单调性时可以考虑从解析式出发，用函数的观 点

8、解决。也可以考虑相邻项比拟。在相邻项比拟的过程中可发现：an Sn Sn !，所以Sn的增减由所加项an的符号确定。进而把问题转化成为判断an的符号问题四、放缩法证明不等式的技巧1、放缩法证明数列不等式的理论依据一一不等式的性质：1 传递性：假设a b,b c，那么a c 此性质为放缩法的根底，即假设要证明a c,但无法直接证明，那么可寻找一个中间量 b，使得a b，从而将问题转化为只需证明b c即可2假设a b,c d，那么a c b d，此性质可推广到多项求和：假设 a1 f 1 ,a2 f 2 ,L a f n，那么： a? L an f 1 f 2 L f n3 假设需要用到乘法，那么

9、对应性质为：假设a b 0,c d 0，那么ac bd，此性质也可推广到多项连 乘，但要求涉及的不等式两侧均为正数注：这两条性质均要注意条件与结论的不等号方向均相同2、放缩的技巧与方法：1常见的数列求和方法和通项公式特点： 等差数列求和公式：Sn 去 並n，an kn m 关于n的一次函数或常值函数2a1 qn 1n 等比数列求和公式：Snq 1 ， an k q 关于n的指数类函数q 1 错位相减：通项公式为“等差 等比的形式进而在求和 裂项相消：通项公式可拆成两个相邻项的差，且原数列的每一项裂项之后正负能够相消, 后式子中仅剩有限项2与求和相关的不等式的放缩技巧: 在数列中，“求和看通项，

10、所以在放缩的过程中通常从数列的通项公式入手 在放缩时要看好所证不等式中不等号的方向，这将决定对通项公式是放大还是缩小应与所证的不等号同方向 在放缩时，对通项公式的变形要向可求和数列的通项公式靠拢，常见的是向等比数列与可裂项相消的数列进行靠拢。题型突破题型一、数列中的通项与求和数列中求通项、求和是最根本，也是最重要的问题，在试题的条件中经常会出现含有和Sn与项an的等式，这往往是问题的突破口，经常会使用退位或进位相减的方式，使问题转化为相邻项之间的关系，女口果满足等差或等比数列的定义那就更好，否那么就是常规递推关系问题，通过构造等比数列解决问题的； 而数列求和，那么应根据通项的特点选择对应的求和

11、方法，其中错位相减法和裂项相消法经常考到。例1、2021扬州期末各项都是正数的数列an的前n项和为Sn,且2Sn= a2+ an,数列bn满足bi1求数列an , bn的通项公式；bn + 2，、亠设数列Cn满足Cn = S，求和C1+ C2+ Cn ； 是否存在正整数 p, q, rpq0, q丰1的等比数列，且数列I k+1 n任意n N*，使得-为定值，求首项a1的值.I kn题型三、数列中的不等关系1、与数列中的项相关的不等式问题： 有些问题往往与根本不等式结合。 在有些关于项的不等式证明中，可向求和问题进行划归， 即将递推公式放缩变形成为可 “累加或“累乘的形式，2、常见的放缩变形：

12、1 1 1 11一11 一1，其中n 2,n N :可称为“进可攻，退可守，可依照所证不等n n 1 n n n 1n2式不等号的方向进行选择。1注：对于 為,可联想到平方差公式,n从而在分母添加一个常数,即可放缩为符合裂项相消特征的数列,1 1 1例如：n n 1 n 1 n 1例4、(2021苏中三市、苏北四市三调)实数a，b，c成等比数列，a 6，b 2，c 1成等差数列,那么b的最大值为例5、(2021镇江期末)设数列an是各项均为正数的等比数列，a1 = 2, a234= 64数列bn满足：对任意的正整数 n,都有 a1b1+ a2b2+ anbn= (n 1) 21 + 2.(1)

13、 分别求数列an与bn的通项公式.1 1 1 1(2) 假设不等式 入1 H 1 H 1 H *对一切正整数 n都成立，求实数 入的取值范围.2b12b22bn2bn+1(3) k N*，对于数列bn，假设在bk与bk+1之间插入ak个2,得到一个新数列cn.设数列 cn的前 m项的和为Tm,试问：是否存在正整数 m,使得Tm = 2021?如果存在，求出 m的值；如果不存在，请说明 理由.例6、(2021宿迁期末)数列an各项均为正数，Sn是数列an的前n项的和，对任意的 n N*,都 有2Sn= 3an+ an 2.数列bn各项都是正整数，b1 = 1, b2= 4,且数列ab1, ab2

14、, ab3,abn是等比数列.(1) 证明：数列an是等差数列；(2) 求数列bn的通项公式bn；求满足bS+24的最小正整数n.题型四、数列中的“定义型问题数列中的新定义数列问题，考查等差数列，等比数列的定义、通项、性质的应用，解决该类问题的关键 是理解新定义数列的性质，其次借助所学的数列的研究方法、变形手段以及数据的性质分析等解决相关问 题考查学生利用数列知识解决数列综合问题的能力，对代数变形与推理论证能力要求较高.例7、2021ai, a2，an同时满足以下三个条件，那么称该数列为P数列.首项 ai = 1；aia2an； 对于该数列中的任意两项ai和ajiw i j 4,且数列b1,

15、b2,，bn是P数列，求证：数列 b1, b2,，bn是等比数列.1、 2021盐城三模.设数列 an的前n项和为Sn，假设Sn 2an nn N ，那么数列 an的通项公 式为an .2、 2021南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调设等比数列an的前n项和为Sn假设S3, S9,S6成等差数列，且aa= 3,贝U a5的值为.3、 2021镇江期末数列an为等比数列，且 a1+ 1, a3+ 4, a5+ 7成等差数列，那么公差 d=.4、2021苏锡常镇调研设等比数列an的前n项和为Sn,假设S3,S9,S6成等差数列，且a2 + a5= 4,那么a8的值为.5、2021无锡期末设

16、公差不为零的等差数列an满足a3= 7,且a1-1,a2- 1,a4- 1成等比数列,那么aio等于6、(2021扬州期末)在正项等比数列 an中，假设a4+ a3 2a2 2ai = 6,那么a5+ a6的最小值为 7、(2021苏北四市一模)1在数列an中，ai = 3,1 2an +1 = an 31,n N*,设Sn为an的前n项和.(1) 求证：数列3 nan是等差数列；(2) 求 Sn；(3) 是否存在正整数p, q, r(pv qv r)，使Sp, Sq, Sr成等差数列？假设存在，求出 p, q, r的值；假设不存 在，说明理由.8、(2021苏州期初调查)数列an的奇数项是首

17、项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列， 数列a n前n项和为Sn, 且满足 S3 = a4, a5= a2+ a3.(1) 求数列an的通项公式；(2) 假设amam+1 = am+ 2,求正整数 m的值；(3) 是否存在正整数 m,使得子匹恰好为数列an中的一项？假设存在，求出所有满足条件的m值，假设不S2m 1存在，说明理由.9、(2021 常州期末)数列an中，a1= 1,且 an+1 + 3an+ 4 = 0, n N*.(1) 求证：an+ 1是等比数列，并求数列an的通项公式；(2) 数列an中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后，构成等差数列？假设存在， 求满足条件的

18、项;假设不存在，说明理由.10、(2021镇江期末)数列an的前n项和为Sn,对任意正整数n,总存在正数p, q, r，使得an= pn 1， Sn= qn r恒成立；数列bn的前n项和为Tn，且对任意正整数 n, 2Tn= nbn恒成立.(1) 求常数p, q, r的值；(2) 证明数列bn为等差数列；卄、r2n+ bi2n+b22n + b3, 2n+bn 12n + bn曰才卄齐十齢爲,/击/曰亠(3) 假设b2= 2，记Pn=+ 百，是否存在正整数 k,使得对任意an2an4an2 an2 an正整数n, PnW k恒成立，假设存在，求正整数k的最小值；假设不存在，请说明理由.11、(2021扬州期末)数列an与bn的前n项和分别为 An和Bn,且对任意n N*, a“+1 an = 2(bn + 1 bn)恒成立.(1) 假设 An= n2, b1 = 2,求 Bn ；b2b3b4bn + 11(2) 假设对任意n N，都有an= Bn及a a + _ _ + _ _ +v 3成立，求正实数 b1的取值范围；a1a2 a2a3 a3a4anan+1 3(3) 假设a1= 2, bn= 2n,是否存在两个互不相等的整数s, t