专题16一元二次不等式及简单的不等式(解析版)

1、专题15 一元二次不等式及简单的不等式知识央背J夯实根底知识，掌握根本技能“三个二次的关系判别式A = b24acA 0A = 0A 0)的图象|别I1oJ*一兀二次方程ax2+ bx+ c= 0(a0)的根有两相异实根xi,X2( X10(a0)的解集 x| xX2 X| X 丰 Xix| x Rax2 + bx+ c0)的解集 x| xi X 0; (2) x 6-x【解析】因为8 - 4X ( 1) X ( 3) = 520,所以方程一 X + 8x 3= 0有两个不相等的实根 xi = 4一冷13, X2= 4+J13.又二次函数y= x2 + 8x 3的图象开口向下，所以原不等式的解

2、集为x|4 13x 6 x2,即为 x2 + x 6 0，即(x + 3)(x 2) 0,解得 x V 3 或 x 2.所以不等式 x 6 x2 的解集是(一a, 3) U (2 ,+).2x 4x + 6,x?0,变式：设函数f(x)=那么不等式f(x) f(1)的解集是x+6,xf(1)即f(x) 3,如果xv0，那么由x + 63可得x 3,可得3Vx2V 0.如果x0,由x 4x + 6 3可得x 3或0Wxv 1，综上不等式的解集为 (3, 1) U (3 ,+)例2、 解以下不等式x + 2(1) 口 0； (2)x+ 1x2x + 2 x + 2【解析】(1)由 0,1 x x

3、1此不等式等价于(x + 2)( x 1)0 ,原不等式的解集为x|x1.x + 1法一：移项得 2W0,x 2x + 5x 5左边通分并化简有 5 0, 或x 20, +5w0,即x 5?0,x 2x 2x 2 x 5?0,它的同解不等式为x 2工 0, x 5.原不等式的解集为x| x5.x 5法二：原不等式可化为 0,x 2x 5?0,此不等式等价于x 20解得x5,解得x2,原不等式的解集为x| x5.例3、解关于x的不等式x2 5ax + 6a2 v 0.【解析】：原不等式化为(x 3a)(x 2a) v 0._ 2 当a = 0时，3a = 2a，那么原不等式化为 x v 0,贝U

4、 x ?； 当a0时，3a2a，那么原不等式的解集为x|2a v xv 3a; 当a v 0时，2a 3a那么原不等式的解集为x|3a vx v 2a. 综上，当a= 0时，原不等式解集为？；当a 0时，原不等式解集为x|2a v x v 3a;当a v 0时，原不等式解集为x|3a v x v 2a.变式：解关于 x的不等式ax2 2x + a v 0.【解析】：a = 0时，有2xv 0,所以x0.(2) a 0 时，= 4 4a2.1 土、； 1 a21 * f 1 一 a2当 0，即0v av 1时，方程ax? 2x+ a= 0的两根为:，所以不等式的解集为x| :av x v 1 +

5、1 a.当= 0,即卩a= 1时，原不等式即为 x2 2x + 1 v0,显然x ?；当 1时，方程ax2 2x + a = 0无实数根，不等式ax2 2x + a v 0 无解，所以 x ?.2(3)当 av 0 时，= 44a ,当20,即一1 v av 0时，不等式 ax 2x + av 0的解集为x|x v 1+1 a2或x 11 a2 ；aa当=20,即卩a= 1不等式化为(x + 1) 0,所以xm 1;当1时，x ?；当a = 0时，解集为x|x0；1-a)；当0vav 1时，解集为x|上2a,aa1 +1 a r、 1 11 a当一1v av 0时，解集为x| xv或x1；aa

6、当a= 1时，解集为x| xm 1；当av 1时，解集为R1 1 1当a= 2时，不等式的解集为？；当a 2时，不等式的解集为x axv 2.例4.对任意的k 1,1，函数f(x) = X2+ (k 4)x+ 4 2k的值恒大于零，那么 x的取值范围是【答案】x3.22【解析】：对任意的 k 1,1 , x + (k 4)x + 4 2k0 恒成立，即 g(k)= (x 2)k + (x 4x+ 4)0，在x 5x+ 60,k 1,1g( 1)0且g(1)0，即2解得x3.x 3x+ 20,g 1 0,g 2 o,2x x 10, 即 22x 2x 10,解得1 2 3xmf mx- 10对于

7、m 1,2恒成立，求实数 x的取值范围.【答案】1 3 1 + 曲2 ， 2 .【解析】：设g(m) = mx mx-1 = (x2 x)m 1，其图像是直线，当 m 1,2时，图像为一条线段,1x+ 2 3x?0,解：(1)原不等式等价于3 x 丰 0,x+ 2 x 3 w 0,即心? - 2wx3.原不等式的解集为x| 2w x0,即3x 24x 3等价于(3x 2)(4 x 3)0.2 3 原不等式的解集为x|-x 0，所以 x x 6 0,所以(x + 2)(x 3) 0,所以一2x 3.因此，不等式 cx + bx+ a 0 的解集为x| 2 x 3.7、函数f(x) = x2 +

8、ax + b(a , b R)的值域为0 ,+)，假设关于x的不等式f (x)0的解集为 .(用区间表示)【答案】x| 4x0 可知，(X + 4)( x1)0，得4x1.x3、.不等式一 0的解集为x + 1【答案】x| 1x 0.x【解析】：由 x- 0 得 X(X+ 1) 0( XM 1)，解得一1x 0.X I4、不等式二1或x 122 ( x+ 1)x 1【解析】： 1?0? x1 或 x0的解集是 一, 3，贝U a+ b=【答案】14.a b9+ 3 + 2 = 0，【解析】tx=2，X2= 3是方程ax2+ bx+ 2 = 0的两个根,a= 12,解得 b= 2,： a+ b=

9、- 14.6、不等式ax2 + bx + c 0的解集为x| 1 xv 1，那么不等式cx2+ bx+ a v 0的解集为【答案】x| 2 x 0的解集为x| v xv3，所以,3是方程ax + bx + c= 0的两根,且 a 0.所以一1+*一 a， 1X1=a，所以 b=6,c 12c 2 ba 6不等式cx+ bx + a 0，所以【答案】9222a【解析】由题意知，函数f(x)值域为0 ,+)，所以当x + ax + b= 0时有，= a 4b= 0,即b= 4 ,22a2a 2a 2厂 a一 a-f(x) = x + ax + b= x + ax + 4 = x + ? 因为 f(

10、x) = x+ ? c,解得 cx + 2Jc,即一Jc 2x ca 2.Q8、假设又因为不等式f(x) 0在R上恒成立，求实数 a的取值范围.解：当a= 0时，原不等式可化为 2x + 20,其解集不为R,故a= 0不满足题意，舍去;当a0时，要使原不等式的解集为R,只需a 0,2A = 2 4X2 a v 0,解得a1综上，所求实数a的取值范围为2,+ . 29、解关于 x 的不等式 ax (2a+ 1) x + 2v 0( a R).解析：原不等式可化为(ax 1)( x2) v 0.(1)当a 0时，原不等式可以化为a(x 2) x1 v 0,a根据不等式的性质，这个不等式等价于(x12) x av 0.因为方程(x 2) x a = 0的两个根分别是1112, o,所以当0v av时，2va2a那么原不等式的解集是当a1时,x|2 vx v 1 ；当a= *时，原不等式的解集是2，那么原不等式的解集是x v xv 2aa 当a= 0时，原不等式为一(x 2) v0,解得x2,即原不等式的解集是x|x2