应用随机过程(第三章)

1、第三章 Poisson过程 3.1 Poisson过程 定义3.1.1 随机过程 称为计数过程，如 果 表示从0到t时刻某一特定事件A发 生的次数，它具备以下两个特点： （1） 且取值为整数； （2） 时， 且 表示 时间内事件A发生的次数。 0, ttN ts 0tN tN tNsN sNtN ts, 定义. 计数过程称为参数为的 Poisson过程，如果： （1） ； （2）过程有独立增量； （3）在任一长度为t的时间区间中事件发生 的次数服从均值为t的Poisson分布，即对 一切 ，有： 0, ttN 00 N 0, 0ts , 2 , 1 , 0, ! nensNstNP n t n

2、 Poisson的特性 平稳增量性。 由 ，知是单位时间内发和事件 的平均次数。 称为Poisson近程的强度或速率。 例3.1.1 售票处乘客以10人小时的平均速率 到达，则9：00 10：00最多有5名乘客的 概率？10：00 11：00没有人的概率？ ttNE 例3.1.2 保险公司接到的索赔次数 设保险公司每次的赔付都是1，每月平均接 到的索赔要求是4次，则一年中它要付出的 金额平均是多少？ ! 124124 012 n n enNNP 48124012 NNE Poisson过程的等价定义 设 是一个计数过程，它满足： (1) N(0)=0； (2) 过程有平稳独立增量； (3) 存

3、在0，当h0时有： (4) 当h0时有： 0, ttN hohtNhtNP1 hotNhtNP2 定理3.1.1 满足上述条件(1) (4) 的计数过程 是Poisson过程。 反过来Poisson过程一定满足这四个条件。 0, ttN 例3.1.3 事件A的发生形成强度为的poisson过 程 ，如果每次事件发生时以概率 p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t 被记录下来的事件总数，则 是一个强度为p的Poisson过程。 0, ttN 0, ttM mntNPmntNmtMP mtMP n 0 0 ! 1 n t nm tnmm nm eppC nm 0 ! 1 n nm tpptt

4、nm e ! 0 ! 1 !m ptpt n n tp m ptt ee nm 例3.1.4 设每条蚕产卵数服从poisson分布，强度 为，而每个卵变成成虫的概率为p，且每 个卵是否变成成虫彼此间没有关系，求在 时间0，t内每条蚕养活k条小蚕的概率。 pt k pt e k ! 例3.1.5 天空中的星体数服从Poisson分布，其参数 为V，V为被观测区域的体积。若每个星球 上有生命存在的概率为p，则在体积为V的 宇宙空间中有生命存在的星球数服从强度 为pV的Poisson 分布。 与Poisson过程相联系 若干分布 0 1 2 3 tN 0 T 1 T 2 T 3 T t 1 X 2

5、X 3 X 与 的分布 表示第n次事件发生的时间； 规定 ， 表示第n次与第n-1次事件发生的时间 间隔， 定理3.2.1 服从参数为的指数分布，且相互独立。 n T , 2 , 1n 0 0 T n X , 2 , 1n n X n T , 2 , 1nX n 0 1 tNtX t etNPtXP 0 1 t etXP 1 1 sXsNtsNPsXtXP 112 0 0sNtsNP t e 定理3.2.1 服从参数为n和的分布。 证明： , 2 , 1nTn n i in XT 1 Xi独立且服从相 同的指数分布 指数分布分n=1的分布，且具有可 加性。定理得证。 证明2 tTntN n n

6、tNPtTP n nj j tt j e ! 对上式两端对t求导，可得Tn 的密度函数为： !1! 1 j t nj t nj j tt n jj eetf !1 1 n tt n e tn n et n 1 定义3.2.1 计数过程 是参数为的 Poisson过程，如果每次事件发生的时间间 隔X1，X2， ， 相互独立，且服从同一 参数为的指数分布。 0, ttN 例3.2.1 设从早上8：00开始有无穷人排队，只有一 名服务员，且每人接受服务的时间是独立 的并服从均值为20min的指数分布，则到中 午12:00为止平均有多少人已经离去？已有 9人接受服务的概率是多少？ 过程的是强度为Poi

7、ssontN3 12 ! 12 04 enNNP n n 12 !9 129 904 eNNP 例3.2.2 假定某天文台观测到的流星流是一个 Poisson过程，以往资料统计，平均每小时 观察到3颗流星，试求上午8：00 12：00 期间，该天文台没有观测到流星的概率？ 过程的是强度为PoissontN3 4304PNN 1212 !0 120 004 eeNNP 事件发生时刻的条件分布 1 1 tNsTP 考虑n=1的情形，对于st有： 1 1; 1 tNP tNsTP 1 A,(A tNP tssP没有发生内之前，发生在时刻 1 01 tNP sNtNPSNP t sts te ese

8、t s 定理3.2.3 在已知N(t)=n的条件下，事件发生的n 个时 刻T1，T2，,Tn的联合密度函数为 n n t n ttt tttf n 21 !21 0 , 例3.2.3 乘客按强度为的Poisson过程来火车站， 火车在t 时刻启程，计算(0，t内到达的乘 客等车时间总和的数学期望。 解：即要求计算 其中Ti是第i个乘客的到达时间。 tN i i TtE 1 由于N(t)为一随机变量，取条件期望 tN i i ntNTtE 1 n i i ntNTtE 1 22 1 ntnt ntntNTEnt n i i 2 11 nt UEntNTE n i i n i i tN i i T

9、tE 1 tN i i tNTtEE 1 02n ntNP nt 0 2n ntNPn t 22 2 t tNE t 例3.2.4 事件A的发生形成强度为的poisson过 程 ，如果每次事件发生时以概率 p能够被记录下来，并以M（t）表示到时刻t 被记录下来的事件总数，则 是一个强度为p的Poisson过程。 现在设A在时刻s时，被记录到的概率为p(s) 那么 还是Poisson过程吗？ 0, ttN 0, ttM 0, ttM M(t) 已不是一个Poisson过程，它仍具有独 立增量性，不在具有平稳增量性。 mtMP kmtNPkmtNmtMP k 0 kmtNmtMP k m pp m

10、 km 1 内发生且被记录事件在, 0tPp dssP t 0 时刻发生且被记录事件在 tt dssP t dssP t 00 11 kmtNPkmtNmtMP k 0 t km km k e km t pp m km ! 1 0 t km km k e km t pp km km ! 1 ! ! 0 k k k t m t k p e m pt ! 1 ! 0 pt m e m tp ! Poisson过程的推广 非齐Poisson过程 定义3.3.1 计数过程 称作强度函 数为 的非齐Poisson过程， 如果： (1) (2) 具有独立增量 0, ttN 00tt 00 N 0, ttN

11、 (3) (4) hotNhtNP2 hohttNhtNP1 定义3.3.2 计数过程 称为强度函数为 的非齐次Poisson过程， 若： （1） （2） 具有独立增量； 0, ttN 0, 0tt 00 N 0, ttN （3）对任意实数 为具有参数 的Poisson分布。称 为非齐Poisson过程的均值函数（累积强度函 数） tNstNst, 0, 0 duutmstm st t t duutm 0 定理3.3.1 设 为强度函数为 的非齐 次Poisson过程，对任意 令： 则 是一个强度为1的Poisson过程。 0, ttN t 0t tmNtN 1 tN 例3.3.1 设某设备的

12、使用年限为10年，在前5年内它 平均2.5年需要维修一次，后5年平均2年维 修一次。试求它在使用期内只维修过1次的 概率？ 解： 105 50 2 1 5 . 2 1 t t t 10 0 5 0 10 5 5 . 45 . 04 . 010dtdtduum 10 0 5 0 10 5 5 . 45 . 04 . 010dtdtduum 5 . 4 ! 1 5 . 4 1 1010 eNNP 复合Poisson过程 定义3.3.3：称随机过程 为复 合Poisson过程，如果对于 ，它可表 示为： 其中 是一个Poisson过程， 是一族独立同分布的随机变量，并且与 独立。 0, ttX 0t

13、 tN i i YtX 1 0, ttN , 3 , 2 , 1,iYi 0, ttN 例3.3.2 保险公司接到的索赔次数服从一个Poisson 过程 ，每次的赔付金额Yi都相 互独立，且有相同的分布F，且每次的索赔 额与与它发生的时间无关。则0，t内保险 公司赔付的总额 就是一个复 合Poisson 过程，其中： 0, ttN 0, ttX tN i i YtX 1 例3.3.3 （顾客成批到达的排队系统）设顾客到达某 服务系统的时刻 形成一个 强度为的Poisson 过程，在每个时刻 都可以同时有多名顾客 到达。Yn表示时刻Sn到达的顾客人数，假 设Yn n=1,2,3相互独立，且与Sn

14、也 独立，则在0 ，t时刻内到达服务系统的总 人数可用一复合Poisson过程来描述。 , 21 SS , 2 , 1,nSn 例3.3.4 设顾客按照参数为的Poisson过程进 入一个商店。又设每个顾客消费金额形成 一个独立同分布随机变量。以X(t)记到时刻t 为止顾客在此商店的消费总额，易见 是一个复合Poisson过程。 0, ttX 定理3.3.2 设 是一个复合Poisson过程，Poisson过程 的强度为，则： （1） 有独立增量； （2） 若 ，则 0, 1 tYtX tN i i 0,ttN tX 2 i YE 1 YtEtXE 2 1 YtEtXVar 例3.3.5 保险

15、公司索赔模型中，设索赔要求以每月 平均两次的速率的 Poisson过程到达保险公 司。每次赔付服从均值为10000万元的正态 分布，则一年中保险公司的平均赔付额为 多少？ 1000012212 1 YtEXE 例3.3.6 顾客以每分钟6人的平均速率进入商场，服 从Poisson 过程。每位顾客买东西的概率为 0.9，且 每位顾客是否买东西互不影响，也 与进入商场的人数无关。求一天（12）小 时在该商场买东西的顾客人数。 12606t 位顾客在商场未买东西第 位顾客在商场买东西第 i i Y i 0 1 以 表示在时间0，t内到达商场的人 数， 以 表示在时间0，t内在商场买东西 的人数， tN1 432012 1 NE tN 2 9 . 0 1 1 1 tYEtNE tN i i 若以Zi 表示第i位顾客在商场消费金额，且 则 表示在时间0，t内该商场的营业额。 5 . 0 ,200 BZi tN i i ZtN 1 1 3 2 200 3 720612NE 条件Poisson 过程 定义3.3.4 设随机变量0，在=的条件下，计数过 程 是参数为的Poisson过程 ，则称 为条件Poisson过程。 设的分布为G，则 0, ttN 0, ttN 0 ! dGensNs