学生讲义-巧解外接球问题.doc

1、优质参考文档快速解决巧解外接球问题如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球 的内接多面体，这个球称为多面体的外接球有关多面体外接球的问题，是立体 几何的一个重点，也是高考考查的一个热点考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既 要运用多面体的知识，又要运用球的知识，并且还要特别注意多面体的有关几何 元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至 关重要的作用.一、直接法公式法1、求正方体的外接球的有关问题【例1】上海中学假设棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，那么该球的外表积为.【例2】交大附中一个正方体的各顶点均在同一球的球

2、面上，假设该正方体的外表积为24，那么该球的体积为2、求长方体的外接球的有关问题点上的三条棱长分别为1,2,3【例3】复兴高级中学一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶，贝吐匕球的外表积为 二_棱柱高为 4，体积【例4】七宝中学各顶点都在一个球面上的正四 为16，那么这个球的外表积为A.16二 二 c.24 D.323. 求多面体的外接球的有关问题【例5】上海实验中学一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底9面，该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为8，底面周长为3，那么这个球的体积为 .二、构造法补形法1、构造正方体【例6】2021年上海高考题假设三棱锥的三条侧棱两两垂直，

3、且侧棱长均 为3，那么其外接球的外表积是.【例7】上海中学假设三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为匕，那么其外接球的外表积是.【小结】一般地，假设一个三棱锥的三条侧棱两两垂直，且其长度分别为a b c，那么就可以将这个三棱锥补成一个长方体，于是长方体的体对角线的长 就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R，那么有2R二V2 b2 c2 .出现“墙角结构利用补形知识，联系长方体。【原理】长方体中从一个顶点出发的三条棱长分别为?，：，那么体对角线长、/1 J 二+/十/为，:七+几何体的外接球直径为二：体对角线长即：优质参考文档【例8】：在四面体血用V，假设该四面体的四个顶点中,共顶点的

4、三条棱两两垂直，其长度分别为【例9】建平中学上，那么此球的外表积为A.3二 二 c.3 忌 二2,四个顶点在同一球面B球的外表积。例 10】华二附中在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2忆D为AB的中点，将AADE与ABEC分布沿ED、EC向上折起，/=60吏A/B重合于点P，那么三棱锥P-DCE的外接球的体积为()Tt JI JI JEA. 27 B. 2 C. 8 D. 24例 11】交大附中球的面上四点A、B、C、D，da 一平面ABC，C图5三多面体几何性质法【例13】大同中学各顶点都在同一个球面上的正四棱柱的高为4 ,体积为16，那么这个球的外表积是兀 兀 兀 兀【小结】此题是运用“

5、正四棱柱的体对角线的长等于其外接球的直径这一性质来求解的四.寻求轴截面圆半径法【例14】西南位育中学正四棱锥S-ABCD的底面边长和各侧棱长都为S 2，点S A B、C、D都在同一球面上，那么此球的体积 为【小结】根据题意，我们可以选择最正确角度找出含有正 棱锥特征元素的外接球的一个轴截面圆，于是该圆的半径就 是所求的外接球的半径此题提供的这种思路是探求正棱锥外 接球半径的通解通法，该方法的实质就是通过寻找外接球的 一个轴截面圆，从而把立体几何问题转化为平面几何问题来 研究这种等价转化的数学思想方法值得我们学习五.确定球心位置法【例15】上海第二中学在矩形ABCD中，AB=4,BC=3，沿AC将矩 形ABCD折成一个直二面角B - AC - D，那么四面体ABCD的外接球的 体积为Q12512512512531JE JI 31A. 12 B. 9 C. 6 D. 3【原理】：直角三角形斜边中线等于斜边一半。球心为直角三角形 斜边中点。DOO图4 B【例16】复旦附中三棱锥的四个顶点都在球 的球面上, 且-，乂一-,求球：的体积