级数敛散性判别方法综述

1、 山东财经大学本科毕业论文(设计)题目： 级数敛散性判别方法综述 学 院 数学与数量经济学院 专 业 信息与计算科学专业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财经大学教务处制二一四年五月山东财经大学学士学位论文山东财经大学学士学位论文原创性声明本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究工作所取得的成果.除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意.本声明的法律结果由本人承担.学位论文作者签名： 年 月 日山东财经大学关于论文使用授权的说明本人完全了解山东财经大

2、学有关保留、使用学士学位论文的规定，即：学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文.指导教师签名： 论文作者签名： 年 月 日 年 月 日级数敛散性判别方法综述摘 要级数理论在数学分析中占有重要的地位，它是研究函数、进行数值运算以及数据分析的一种工具.级数敛散性判别的方法有很多，一般教材对级数敛散性的判别方法都有介绍.本文对其判别方法做了整理、归纳，主要介绍了柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法等判别方法，方便大家深入了解和熟悉各种判别方法的使用，以期有利于大家解题.关键词：级数；收敛；发散；判别Study on th

3、e Methods of the Convergence and Divergence of the Series ABSTRACT The theory of Series is important in Mathematical Analysis, it can be used in studying function, numerical operation and data analysis.There are many Determination Methods for the Convergence and Divergence.This article mainly summar

4、ize these methods,for example, the Cauchy Criterion, Darren Bell Criterion discriminant Methods,and Integral Methods.It will be useful to solve problems.Keywords: Series; Convergence; Divergence; Determination目录一、 引言1二、 级数收敛的概念和基本性质1三、 判定定理的发展1四、 判别方法及其推广3（一） 柯西判别法及其推广31. 柯西判别法132. 柯西判别法23 3. 广义柯西判别

5、法144. 广义柯西判别法245. 广义柯西判别法34（二） 达朗贝尔判别法及其推广51. 达朗贝尔判别法152. 达朗贝尔判别法253. 广义达朗贝尔判别法154. 广义达朗贝尔判别法265. 广义达朗贝尔判别法36（三） 积分判别法6柯西积分判别法7（四） 绝对收敛的导数判别法7（五） 拉伯判别法与高斯判别法7（六） 拉贝尔判别法与狄利克雷判别法8五、 小结10参考文献11一、引言随着数据研究的进一步发展，无穷级数概念已经深入渗透到科学技术的多个领域，因此级数敛散性判别方法的重要性可见一斑.数项级数敛散性的判别，是数学分析的一个难点.主要因为其敛散性与极限的联系非常密切.仅由收敛原理来判别

6、级数的敛散性非常局限.并且数项级数敛散性判别方法很多，技巧性非常强，这就需要解题的同时结合多种数学知识，例如不等式、定积分、导数、泰勒公式等.在学习级数收敛判别方法的时候发现有这样一个问题，就是每当老师讲解完一种方法，会布置相应类型的题目，我们根据指定的判别方法往往很容易将题目求解出来.然而当老师将所有的方法都讲解一遍，再让我们做综合判别时，我们要么束手无策，要么选择判别方法时带有一定的盲目性，将简单的问题繁琐化，往往还不得其果.造成这种情况的主要原因是我们对于所学判别方法的使用条件及特点不太熟悉，解题思路比较乱.所以，我觉得有必要归纳总结一下级数收敛的判别方法.二、级数收敛的概念和性质概念

7、给定一个数列，形如 (1)称为无穷级数(常简称级数),用表示.无穷级数(1)的前项之和，记为 (2)称它为无穷级数的第个部分和，也简称部分和.若无穷级数(2)的部分和数列收敛于,则称无穷级数收敛，若级数的部分和发散则称级数发散.研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理：定理2.1 若级数和都收敛，则对任意的常数和，级亦收敛，且定理2.2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性.定理2.3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和.定理2.4 级数(1)收敛的充要条件是：任给0，总存在自然数和任意的自然数，使得当时，都有以上是收敛级数的

8、判别所需的一些最基本定理，但是，在解决实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以，总结归纳级数敛散性的判别方法是十分必要的.3、 判定定理的发展正项级数，是指级数中各项的符号均为正号的级数，它是数项级数中最简单也是最有代表意义的数项级数，所以它收敛的最基本的判别方法也是从级数的收敛性质中引出：定理3.1 正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正数，对一切正整数有 .证明： 由于，所以是单调递增数列.而单调数列收敛的充要条件是该数列有界，这就是本定理的结论.有了着一方法来判断某些简单的正项级数的收敛性后，以它作为参照，来判断另外一些稍微复杂的级数的收敛性，这就引出了我们第一个比较常用的判

9、定定理比较判别法.这种方法虽然比较简单，但它必须先大致估计自己的敛散性，然后找一个敛散性已知的合适级数与之相比较.这就对它产生一个比较大的制约.于是我们在它的基础上改进得到了两种更适用的判别方法-达朗贝尔判别法（比值判别法）与柯西判别法（根式判别法）.达朗贝尔判别法与柯西判别法都是建立在正项级数比较判别法基础上的，所用的比较级数是收敛速度相对比较快的等比级数.这两种方法虽然更方便，但是它们也只能用于判别那些比等比级数收敛速度更快的级数，而对于那一类比等比级数收敛速度更缓慢的级数，这两种判别法就无能为力了.既然收敛速度有快有慢，那怎么来判断级数间收敛速度的快慢呢？因此，我们需要设定一个级数收敛速

10、度快慢的标准. 设, 均为正项级数,记=,= ,=, =, 1)若, 均为收敛,且, 则称是比收敛较慢的级数； 2)若, 均为发散,且, 则称是比发散较慢的级数；既然等比级数的收敛速度有些快,因此我们总想另外找一些形式比较简单,而收敛速度相对较慢的级数作为比较级数,于是我们就引进了-级数.作为比较级数,并由此导出了较比值法更为精细的拉伯判别法: 定理3.2设为正项级数,且存在某正整数及常数, 1)若对一切,成立不等式,则级数收敛； 2)若对一切,成立不等式,则级数发散；虽然拉伯判别法的判别范围比比式判别法的范围要广,但它也有自己的局限,即当时仍无法判断.因此我们需要更精细的判别法.于是我们以收

11、敛速度更慢的级数()作为比较级数,由此可导出高斯判别法: 定理3.3设0 ().若时有+,则当时，收敛; 时，发散. 那是否存在收敛得最慢得级数,并以它作为一切级数判敛的比较级数呢,这是没有的.对任何一个收敛的正项级数, 我们总能构造出比它收敛得更慢的级数,这只要令, (=).此时即有=0(),且有=.由的收敛性可知也收敛,而=,可见的收敛速度要比更慢.也因此,正项级数判敛方法的精细程度没有尽头,随着级数收敛速度的变慢,相应的判别越来麻烦,也不太有多少应用价值了.理顺几种判定定理的整体关系后,接下来再对具体的一些判定定理做进一步的分析与推广.四、判别方法及其推广（一）柯西判别法及其推广1.定理

12、4.1（柯西判别法1）设为正项级数，则(i)若从某一项起，即存在，当时，有（为常数），则收敛； (ii)若从某项起，则发散. 2.定理4.2（柯西判别法2）设为正项级数，则 (i)当时，收敛；(ii)当时（或时），发散；(iii)当时，法则失效.例1.判别正项级数的敛散性解 因为所以原级数收敛.3.定理4.3（广义柯西判别法1）设为正项级数，如果它的通项的次方根的极限等于,即.则当时，级数收敛；当时，级数发散；当级数可能收敛也可能发散.例2.判别级数的敛散性.解 因为由广义柯西判别法1知，该级数收敛.4.定理4.4（广义柯西判别法2） 设为正项级数，如果它的一般项的（是大于1的正整数）次根的极

13、限等于，即，则当时，级数收敛；当时，级数发散；当时，级数可能收敛也可能发散.例3.判别级数的收敛性.解 因为由广义柯西判别法2知原级数收敛.5.定理4.5（广义柯西判别法3） 设（），若,则当时，级数收敛；当时，级数发散.例4.判定级数的敛散性.解 设则由于根据广义柯西判别法3知，级数收敛.（二）达朗贝尔判别法及其推广 1.定理4.6（达朗贝尔判别法1）设为正项级数，则(i)若从某一项起，（存在）,有,则收敛； (ii)若从某一项起，（存在）,有1，则发散.2.定理4.7（达朗贝尔判别法2） 设,则 (i)当时，收敛； (ii)当时（或时），发散； (iii)当时，敛散性不能确定.例5.判别级

14、数的敛散性. 解 因为所以原级数发散. 3.定理4.8 （广义达朗贝尔判别法1）设为正项级数，是某一正整数，(i)如果对一切,有，则级数收敛； (ii)如果，则级数发散.例6.判别级数的收敛性.解 取由于据广义达朗贝尔判别法1知该级数收敛. 4.定理4.9（广义达朗贝尔判别法2）设为正项级数，是某一正整数，(或+)， 则 (i)如果，则级数收敛； (ii)如果,则级数发散.例7.确定级数的敛散性.解 取所以原级数收敛. 5.定理4.10（广义达朗贝尔判别法3） 设给定正项级数，满足（1,2,3）且=，则(i)当时，级数收敛；(ii)当时，级数发散；(iii)当时不能判定.例8.判别的敛散性.解

15、 利用不等式可直接推出且有 故级数发散.注：求极限的第二个等号用到了斯特林公式 .（三）积分判别法定理4.11（柯西积分判别法）对于正项级数，设单调减少，作单调减少的连续函数(),使单调减少，则级数与广义积分同时收敛，同时发散. 例10.讨论级数的敛散性，其中为常数. 解 取它在非负，单调减少且连续. 令 当时， 当时，故级数当收敛，当时发散.（四）绝对收敛的导数判别法 定理4.12(绝对收敛的导数判别法) 设在的某邻域内有定义，（或当n充分大时成立），且在处存在，则级数绝对收敛的充分必要条件是：. 例11.判别级数的敛散性. 解 令显然在处二阶可导，且又由导数判别法知收敛.（五）拉伯判别法与

16、高斯判别法1.定理4.13 （拉伯判别法）设为正项级数，若有 ， （1）则在时，级数收敛；而在时，级数发散. 注 等式（1）等同于 , （2） 推论（拉伯判别法的极限形式） 设为正项级数，且极限（2）存在，则：(i)当时，收敛；(ii)当时,级数发散；(iii)当时，拉伯判别法失效.例12.判别级数的收敛性.解 由，故根据拉伯判别法知级数收敛. 2.定理4.14（高斯判别法） 设为正项级数，若有 （）， （3）则在时级数收敛；而在时级数发散. 例略.（六）拉贝尔判别法与狄利克雷判别法 1.定理4.15（阿贝尔判别法） 如果级数收敛，数列单调有界，即存在正数，使得,则级数收敛.例13.若级数收敛

17、，证明级数都收敛，它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收敛.证 取分别取它们都是单调有界的，由阿贝尔判别法知它们均收敛.2.定理4.16（狄利克雷判别法）如果级数的部分和有界，即存在正数，使,并设数列趋向于零，则级数收敛.例14.若数列单调趋于零，证明：级数对任何都收敛.证 先考虑当时级数的部分和，由积化和差公式，有从而 由狄利克雷判别法知收敛. 当时，级数的通项为零，级数自然收敛.五、小结级数敛散性判别方法有很多，真正认识方法，不仅仅是知道相应的定理，还要能够做到熟练，了解这个定理的特点和它的使用局限,同时还要了解在哪些情况下用这个定理可能会相对方便简单，举一反三，从而帮助我们方便快捷的将题目解答出来.判断正项级数收敛有多种方法，但每一种方法都有它自身的特点与局限.本文主要分析几种常用判别方法间的联系和区别，以及它们本身的特点和局限，同时研究如何更好地应用这些定理来解题.这就有很好的应用意义，给解题带来很大的方便.参考文献1华东师范大学数学系.数学分析（第三版）.下册M.北京：高等教育出版社，2001.2刘三阳.于力.李广民.数学分析选讲M.北京：科学出版社，2007.3杨钟玄.双比值判别法与对数判别法的比较J.四川师范大学学报，2004，（1）：57-60.4刘芜健.一