信道建模与仿真

1、第七章 标量信道建模及其仿真平坦衰落信道建模平坦衰落信道理论模型信道模型信道模型多普勒功率谱经典功率谱高斯功率谱平均多普勒频移和多普勒扩展平坦衰落信道仿真13 正弦波叠加法等距离法（MED） 8等面积法（MEA） 8 法（MCM） 8 最小均方误差法（MSEM） 8 .精确多普勒扩展法（MEDS） 14多普勒相位的计算方法仿真器 （JM） 1 仿真方法的性能分析成形滤波器法频率选择性衰落信道建模13 频率选择性衰落信道仿真参考文献第七章 标量信道建模及其仿真前面的章节从总体上介绍了信道的基本知识和基本特性，包括大尺度传播、小尺度衰落等等。无疑，了解这些信道特性对我们要在频谱资源有限的信道上，尽

2、可能高质量、大容量传输有用信息起着指导性的作用：讨论大尺度传播不仅对分析信道的可用性、选择载波频率以及切换有重要意义，而且对于移动无线网络的规划也很重要；而讨论小尺度衰落则对传输技术的选择和数字接收机的设计至关重要。因此，信道建模和仿真是研究移动无线通信各种技术和网络规划的基础和关键。建模的评估标准是在不同的环境下所建立的模型与真实无线信道的吻合程度；而仿真的评估标准则在于运算量的复杂度。因此，研究人员需要根据实际情况的不同来进行建模和仿真。下面的章节将重点讲述信道的建模和仿真，本章先介绍标量信道的建模和仿真。在节中已经介绍了小尺度衰落信道的分类：根据信道的频率选择性，可以把信道分为平坦衰落信

3、道和频率选择性衰落信道；根据信道的空间选择性，可以把信道分为标量信道和矢量信道。因此，本章在介绍不考虑空间角度信息的标量信道建模和仿真时，将分别讨论平坦衰落信道和频率选择性衰落信道。 事实上， 平坦衰落信道只有一个可分辨径（包括了多个不可分辨径）， 而频率选择性衰落信道是由多个可分辨径组合而成（其中每一个可分辨径就是一个平坦衰落信道）， 这也就是说，频率选择性衰落信道的建模比平坦衰落信道的建模更复杂，它是由多个具有不同时延的平坦衰落信道组合而成。因此，平坦衰落信道建模是标量信道建模的基础，我们将在第七章的前半部分重点讲述；在此基础上，第七章的后半部分将介绍频率选择性衰落信道的建模和建模。平坦衰

4、落信道建模本节将讲述平坦衰落信道建模的两个模型Clarke 信道模型和Suzuki 信道模型，和与信道建模密切相关的多普勒功率谱。7.1.1 平坦衰落信道理论模型以下介绍两种描述平坦衰落信道的模型：Clarke 信道模型和Suzuki 信道模型，其中前者用于描述小尺度衰落，后者综合考虑大尺度衰落和小尺度衰落。7.1.1.1 Clarke 信道模型Clarke 11 提出了一种用于描述平坦小尺度衰落的统计模型，即瑞利衰落信道。其移动台接收信号场强的统计特性是基于散射的，这正好与市区环境中无直视通路的特点相吻合，因此广泛应用于市区环境的仿真中。基站和移动台之间传播环境主要特征是多径传播，即并不仅仅

5、来自一条直射路径，而更包括由于建筑物、树木及起伏的地形引起反射、散射及绕射后的信号，由于电波通过各个路径的距离不同，因而各路径来的反射波到达时间不同，相位也就不同。不同相位的多个信号在接收端迭加，有时同相迭加而加强，有时反相迭加而减弱。这样，接收信号的幅度将急剧变化，即产生了衰落。对于典型的市区环境(图6-2-7中的RX2),具有以下特点：发射天线放置在建筑物顶端，在接收天线的远场区空间上只存在很少的可分离的远端散射体，且每个主反射体一般只有一个主要路径；在发送端和接收端的附近存在大量的散射体(称为本地散射体)，由于它们产生的多径信号相对时延很小，所以可以认为任何平面波都没有附加时延，又由于不

6、存在直射路径，只存在散射路径，使得到达波都经历了相似的衰落，具有几乎相等的幅度，只是具有不同的频移和入射角。如图 7-1-1 ，由于移动台的移动，使得每个到达波都经历了多普勒频移。假设发射天线是垂直极化的， 入射到移动天线的电磁场由N 个平面波组成。对于第n 个以角度n 到达 x 轴的入射波，多普勒频移为：(7-1-1)其中的为入射波波长。到达移动台的垂直极化平面波存在电场E和磁场H的场强分量分别为：(7-1-2)(7-1-3)(7-1-4)这里的E0 是本地平均E 场 (假设为恒定值)的实数幅度，Cn 表示不同电波幅度的实数随机变量，是自由空间的固有阻抗(377 ), fc是载波频率，第n个

7、到达分量的随机相位n为：(7-1-5)图 7-1-1 入射角到达平面示意图对场强进行归一化后，即(7-1-6)由于多普勒频移与载波相比很小，因而三种场分量可以用窄带随机过程表示。若N 足够大，三个分量Ez、Hx、Hy可以近似为高斯随机变量。假设相位角在 0,2兀间隔内有均匀的概率密度函数，则 (7-1-2) 式可以用同相分量和正交分量表示：(7-1-7)其中(7-1-8)(7-1-9)根据中心极限定理，Tc (t)、 Ts(t) 都是高斯随机过程，且具有以下的统计特性：(7-1-10)(7-1-11)(7-1-12)(7-1-13)即它们是互不相关的、均值为零、方差为1 的高斯随机过程。它们的

8、包络(7-1-14)服从瑞利分布，(7-1-15)其中(7-1-16)7.1.1.2 Suzuki 信道模型1 Suzuki 衰落分布2用图 7-1-2 所示的统计模型来说明多径强度从局部特性到全局特性的转变。因为多次反射或折射而服从对数正态分布的主波，在移动终端所在地方因为当地物体的散射，而分裂成几条子径。每条子径假定有大概相等的幅度和随机均匀分布的相位。而且，它们到达移动终端时有大概相同的延时。这些成分的包络之和服从瑞利分布，而瑞利分布的参数服从对数正态分布，从而构成一个混合分布。图 7-1-2 城区无线多径信道示意图在前面章节介绍了瑞利分布和对数正态分布的基础上，综合考虑了这两种衰落过程

9、，形成Suzuki衰落分布2，即其包络的概率分布满足(7-1-17)式中 是瑞利分布中各高斯分量的标准差；s 和 s 分别为对数正态分布的均值和标准差。可以看出，上式是将瑞利分布的标准差在服从对数正态分布的情况下进行了积分，实现了从局部特性到全局特性的转化。因此，Suzuki 分布的衰落模型是联合考虑了小尺度衰落和大尺度衰落的综合模型。2 Suzuki 信道模型前面介绍Clarke 模型仿真的仅是小尺度衰落的瑞利衰落信道，现在介绍的Suzuki 信道模型，是将小尺度衰落模型和大尺度传播模型结合起来的一个混合模型，即在瑞利信道的基础上，考虑了阴影效应。因此，用Suzuki 模型来仿真平坦衰落信道

10、，意义更为重要。考虑典型市区环境，即在移动台和基站之间没有视距存在，因此，接收信号是一系列来自各个方向的独立反射信号的叠加。接收信号的包络服从瑞利分布，相位服从0,2兀区间内的均匀分布。如果移动台运动较短的距离，可以假设瑞利过程的平均功率保持恒定；如果运动距离较长，由于阴影效应，使瑞利过程的功率有显着的变化，在这种情况下，Suzuki 分布相比瑞利分布较为准确。Suzuki过程2 (t)可以表示为瑞利过程(小尺度衰落)与对数正态过程(大尺度衰落)的乘积：(如图 1-2-1 所示 )(7-1-18)(1) 瑞利过程(t)瑞利过程(t)可以定义为窄带复高斯随机过程(t)的包络：(7-1-19)这

11、里 1(t) 和 2(t) 是 不 相 关 的 实 正 态 随 机 过 程 ， 均 值 为 E i(t) mi 0 ， 方 差 Var i (t) i202， i 1,2。因此(7-1-20)是瑞利分布的随机过程。1(t)和2(t)要满足1中的经典功率谱分布函数(7-1-21)这里的fmax,为最大多普勒频移。根据功率谱密度，可以得到其自相关函数为(7-1-22)(2)对数正态过程t2对数正态过程t由均值为m3 0,方差3 =1的实高斯随机过程3(t)生成，(7-1-23)2参数m和s的引入是为了分别将 m3和3转换成实际的均值和方差。实高斯随机过程3(t)与(7-1-19)式中定义的复高斯随

12、机过程(t)不相关。通常假设3(t)的功率谱密度函数服从高斯分布，如下式所示：(7-1-24 )式中的c与3dB截止频率fc的关系是，fccj21n 2。总的说来,3dB截止频率fc比最大多普勒频移fmax小的多，可以表示为fc= fmax/k，所以这里的k1。参考文献4已经证明了，当参数 k大于10时，k和功率谱密度函数 S 3 (f)对Suzuki信道模型的随机特性影响不明显。同样根据(7-1-24)式，我们可以得到高斯过程3(t)的自相关函数：(7-1-25)3扩展Suzuki信道模型上一小节讨论的Suzuki模型，假设接收的信号中只有散射分量，没有直射分量。当接收信号中存在直射分量时，

13、t就不在服从瑞利分布，而是服从莱斯分布。需将式 (7-1-20)改写为：(7-1-26 )其中，mtm1 t jm2 tej2代表信号中的直射分量(均值)，,f ,分别是直射分量的幅度，多普勒频率和相位。在上式中，当f0时，均值mt mej是常数，不随时间变化，这相当于移动台运动的方向与直射信号传播的方向成直角。在扩展Suzuki模型中，散射信号分量也具有式(7-1-21)所示的功率谱，其相关函数如式(7-1-22) 所示，只是在此基础上增加了一个直射分量而已，所以其相关的统计特性不再做具体讨论。7.1.2多普勒功率谱第六章已经介绍了无线信道的衰落和多径现象，我们知道，由于接收机的运动和多普勒

14、效应，使得接收机的到达波产生了多普勒频移。由于不同的入射角产生不同的多普勒频移，因此所有的散射(反射)分量的叠加就形成了连续的多普勒频谱，也就是我们常说的“多普勒功率谱”。根据散射(反射)环境的不同，接收端的多普勒功率谱也不尽相同。下面将介绍两种常见的多普勒功率谱一一经典功率 谱和高斯功率谱。7.1.2.1 经典功率谱假设有N个入射波，它们在0,2兀内的入射功率是连续的，p( )d表示在入射角为 d 内的入射能量，A表示全向天线的平均接收功率， G()表示 方向的天线增益。当N 时，p( )d 成为连续分布。则全部入射能量可以表示为(7-1-27)假设发送信号的载频为fc ,则多普勒频率为(7

15、-1-28)fm为最大多普勒频移，因为f()为偶函数，所以f( ) f()。假设信道冲激响应为t 1 t cos2兀fct2 t sin2兀fctS (f)表示接收信号的功率谱，则有(7-1-29)X(7-1-28)求导，可得(7-1-30)(7-1-31)由(7-1-31)式，可得(7-1-32 )将(7-1-32)和(7-1-30)代入(7-1-29)，可得出 S (f)(7-1-33 )这表明功率谱以载波为中心，分布在fcfm之间，每个到达波都根据到达方向的不同有不同的频率。对于波长为/4的垂直极化天线，天线增益 G()在全方向上为常数，即 G( ) 2 2,且入射能量在02均匀分布，即

16、p() ,，则2支(7-1-34)(7-1-35)(7-1-35)作反傅立叶变换，因为 Si i(f)为偶函数，得(7-1-36)做代换f fmCOSX,代入上式，得(7-1-37)因为(7-1-38)所以(7-1-39)(7-1-40)图7-1-3示出了多普勒功率谱的曲线，从中我们可以看出，在最大多普勒频移方向(即0o和180o方向)多普勒功率谱为无穷，但是由于是连续分布的，所以取到某个具体的方向的概率为0。可以看出，经典功率谱的推导必须满足以下三个假设：1)电磁波的传播发生在二维平面内，接收机位于散射区域的中心；2)到达接收天线的来波入射角均匀分布在0,2兀比间；3)接收天线是全向天线。所

17、以，必须满足以上三个假设的信道才符合经典功率谱。(a)经典功率谱Si i(f)(b)相应的自相关函数 R i i ()图7-1-3经典功率谱及其相应的自相关函数(fm 91Hz, (2 1)7.1.2.2 高斯功率谱所谓高斯功率谱是指(7-1-41 )式中，上为3dB截止频率。X(7-1-41)作反傅立叶变换，得(7-1-42)理论调查证明了航空信道的多普勒功率谱服从高斯分布，在许多情况下可以用(7-1-41)式来近似。对于带宽少于10KHz的信号，航空信道属于非频率选择性信道。在参考文献18中已经指出：对于频率选择性信道，多普勒功率谱严重偏离经典功率谱，而高斯功率谱能够较好的吻合。高斯功率谱

18、偏离了原来的频率，这是因为反射回波主要来自于某一特定的方向。(a)高斯功率谱Si i(f)(b)相应的自相关函数 R i i ()图7-1-4高斯功率谱及其相应的自相关函数(fc2fm,fm 91Hz, 02 1)7.1.2.3 平均多普勒频移和多普勒扩展平均多普勒频移和多普勒扩展分别表示信号经过信道后经历的频率的均值和方差。它与电平交叉率(LCR Level Crossing Rate )、平均衰落时长(AFD , Average Fading Duration )、多普勒功率谱 都有关，是描述信道时变特性的重要参数。f ,平均多普勒频移 B1与多普勒扩展B 2i ii i勒频移定义为 S

19、i i f的一阶原点矩(均值)，(7-1-43)(标准差)，即：(7-1-44)假设随机过程 i (t)具有的多普功率谱密度为S是多普勒功率谱密度Si的两个参数，其中,即:而多普勒扩展定义为式中，ri i因为对于复确定过程(t)1(t)d2 r i id 22(t), S1f和S f相同且对称，则12 2(7-1-45)(7-1-46)这里02 r 0 , i i由上述定义可知，对经典功率谱和高斯功率谱而言,有：(7-1-47 )(7-1-48 )可见，如果经典功率谱的最大多普勒频移和高斯功率谱的3dB截止频率满足fc JF2fmax时，经cmax典功率谱的多普勒扩展和高斯功率谱的多普勒扩展相

20、同。下面考虑多谱勒扩展 B2与2的重要性。Clarke模型和Suzuki模型的高阶统计特性，如电 i ii i平通过率与平均衰落时长都与随机过程i t的自相关函数r 11t在零点的二阶导数r i i 0有关。实际信道中r i i 0可以表示为多谱勒扩展的平方，即(7-1-49 )仿真信道的情况，自相关函数11t在零点的二阶导数，即(7-1-50 )其中，222。，： i。由上面两式可见，仿真过程的多谱勒扩展2 .与实际信道的1203i i多谱勒扩展B2越接近，则0与r . . 0就越接近，仿真过程的高阶统计特性就与实际过程越相i ii ii i符。平坦衰落信道仿真13所有的信道模型的仿真都是基

21、于多个不相关的有色高斯随机过程。对于瑞利和莱斯过程需要两个 有色高斯随机过程，然而对于Suzuki过程需要三个有色高斯随机过程。产生有色高斯噪声的方法有两类：第一类方法是正弦波叠加法( SOS Sum-Of-Sinusoid );第二类是成形滤波器法。莱斯法12是正弦波叠加法中的一种，其实现框图如图7-2-2所示，就是基于无穷个加权谐波的叠加，即(7-2-1)式中(7-2-2a)(7-2-2b)相移i,n是0,2兀内均匀分布的随机变量；当 Ni 时，fi 0 ,这样就使频率成为连续分布 的。我们知道，高斯随机过程可以完全由均值、自相关函数(或者功率谱密度)来描述，因此，成形 滤波器法(图7-2

22、-1 )与正弦波叠加法(图 7-2-1 )是等效的。这是因为式(7-2-1)表示了均值为0、 且具有S i i(f)功率谱密度的高斯随机变量。图7-2-2正弦波叠加法实现有色高斯噪声成形滤波器法如图7-2-1 ,在线性时不变滤波器 H i ( f )的输入端输入白高斯噪声，且v(t) N (0,1),一,，2 则输出过程i(t)的功率谱密度满足 S . .(f) Hi(f)。所以，为了广生特7E的多普勒功率谱的随机 过程，可以采用相应的成形滤波器。图7-2-1成形滤波器法实现有色高斯随机过程同时，两种方法各有优缺点。第一类方法能够有效的减少运算量，因此得到广泛的应用，但是仿 真的衰落信道的性能

23、不理想。第二类方法所要求的成形滤波器的带宽相对于抽样率来说是非常窄的， 所以复杂度较高；为了设计出这样一个窄带的数字滤波器而减小运算复杂度，通常采用的方法是首先 设计一个低抽样率的数字滤波器，然后采用线形插值的方法将抽样率提高，此线形插值的过程同样具 有很大的运算复杂度，但是这种方法能够较好的仿真出独立的衰落信道。以下两小节分别讲述这两种 实现方法。7.2.1正弦波叠加法基于前面介绍的莱斯模型，如果用有限个谐波来代替无限个谐波，则随机过程表示为：(7-2-3)式中，ci,n和fi,n分别用(7-2-2a)和(7-2-2b)表示，相移i,n是0,2句内均匀分布的随机变量(实 现框图如图7-2-3

24、所示)，由于这里的i,n是随机变量，所以此模型称为“随机型仿真模型”。可以看出， 当 Ni 时，？i(t) i(t)。图7-2-3正弦波叠加法：随机仿真模型当i,n从0,2兀)均匀分布的随机器取出之后，就不再代表一个随机变量了，而是随机变量的一个实现。因此当i,n代表随机变量的一个实现时，(7-2-3)变成(7-2-4)因为这里的i,n在整个仿真过程中是确定的，所以此模型成为“确定型仿真模型”(见图7-2-4 )。注意到当Ni时，确定过程i是随机过程i(t)的取样函数。所以，本节的目的就是介绍几种计算(Ci,n,fi,n, i,n)的方法，使得确定过程i (t)的统计特性接近随机过程i (t)

25、的统计特性。图7-2-4正弦波叠加法：确定型仿真模型基于确定型实高斯随机过程，可以表示确定复高斯随机过程为(7-25)则确定的瑞利过程可以表示为(7-26)确定的莱斯过程可以表示为(7-27)其实现框图如图7-2-5表示。图7-2-5莱斯过程的确定仿真模型用于计算机仿真的离散仿真器只需要将仿真建立的初始阶段，必须确定参数(Ci n,nt用t kTs代替即可，其中Ts为抽样间隔, i,n，i,n)的值，且在整个仿真阶段保持不变。和i,n分别称为确定过程的多普勒系数、离散多普勒频移、多普勒相移。下面讨论确定过程 本特性和统计特性：1基本特性(1)时间均值假设确定过程i(t)满足fi,n0 (n 1

26、,2, ,Ni i 1,2)(下面的介绍可以看出，件恒满足)，则从(7-2-4)式可以得到k为整数。在我们把Ci,n，fi,ni (t)的基般情况下此条(7-28)(2)平均功率从(7-2-4)式可以得到很明显，平均功率 J仅仅与多普勒系数G,n有关，而与离散多普勒频移 关。(3)自相关函数从(7-2-4)式可以得到(7-29)fi,n、多普勒相移口无很明显，自相关函数 移口无关。且 ： i i ()仅仅与多普勒系数Ci,n有和离散多普勒频移(7-2-10)fi,n有关，而与多普勒相i(0)。(4)互相关函数假设i(t)和2(t)都是确定过程，则互相关函数为12() Tim 2T对所有的n 1

27、,2, ,Ni,m fl,n f2,m ,则这两个确定过程T一 * 1T1,2,(t)2(t)dt 0， f1,nf2,m,N2都满足。1(t)和2(t)不相关。其中N是Ni和N2中最大值。这时互相关函数 1(5)功率谱密度用(7-2-10)式作反傅立叶变换，得(7-211)所以只要离散多普勒频移fi,n、f2,m满足但如果出现fi,n2()还与多普勒相移f2,m ,则(7-212) i,n有关。可以看出，i (t)的功率谱密度是关于频率 f对称的,即 S.(f) S i ii(7-2-13)i ( f)；且位于f fi,n之2Ci,n / 4进行加权。(6) 互功率谱密度假设 1 (t) 和

28、 2(t) 都是确定过程，则根据式(7-2-11) 和 (7-2-12) 作反傅立叶变换，得S 1 2(f) 0， f1,n,m(7-214)(7-215)对所有的n 1,2, ,Ni,m 1,2, ,N2都满足，其中N是Ni和N2中最大值。同时互功率谱还满足 S 21(f) S* 1 2(f)。(7) 平均多普勒频移假设确定过程1* t t / 一 、，. r r. r . r -t- r .i (t) 具有的多普功率谱密度为S i i f ， 平均多普勒频移12B 1 与多普勒扩展B 2 是多普勒功率谱密度即：SiSii的一阶原点矩(均值)(7-2-16)SiiSiif ，所以(7-2-1

29、7)对于复确定过程(t)1(t)j2(t),如果实部和虚部互不相关，则(7-2-18)(8) 多普勒扩展 而多普勒扩展定义为S，即：(7-2-19)所以(7-2-20)这里可见，如果2i(7-2-21)，则确定过程i(t)的多普勒扩展与理想随机过程i(t)的多普勒相同。2 统计特性(1) 幅度、相位概率密度函数讨论一个确定过程i (t) 的统计特性，是将时间t 看作是在时间间隔内均匀分布的随机变量。考虑莱斯复随机变量(7-2-22)式中(7-2-23a)(7-2-23b)所以，幅度、相位概率密度函数13 分别为这里(7-2-24)(7-2-25)(7-2-26)(7-2-27a)(7-2-27

30、b)当 N i 时， 幅度和相位完全服从莱斯分布的幅度分布(6-2-37) 式和相位分布(6-2-38) 式， 这就说明“确定型仿真模型”从概率密度函数的角度能够很好的吻合上“随机型仿真模型”。下面将讨论“随机型仿真模型”产生信号的各态历经性，即从均值和自相关函数的角度，来比较 两种模型的吻合程度。(2) 各态历经性1) 关于均值的各态历经性对于随机过程?i (t) ，如果i (t) 的时间平均收敛到?i(t) 的统计平均m? 1 ( ) E ?i (t) ，则称随机过程?i (t) 关于均值各态历经，即满足：(7-228)因为多普勒相移i,n在0,2劝内均匀分布，所以左边的等式一定等于0；右

31、边的等式在fi,n 0 (n 1,2, ,Ni i 1,2)时也为0。 (在下面介绍的内容中，可以看到这个条件很容易满足)。 因此(7-229)即随机过程?i (t) 关于均值各态历经。2) 关于自相关函数的各态历经性对 于 随 机 过 程 ?i(t) ， 如 果 i(t)i(t ) 的 时 间 平 均 ， 能 够 收 敛 到?i(t) 的 自 相 关 函 数r?1 1 ( ): E ?i (t) ?i(t) ，则称随机过程?i(t) 关于自相关函数各态历经，即满足：(7-230)当多普勒系数Ci,n和离散多普勒频移fi,n为确定值，多普勒相移i,n在0,2力内均匀分布，则(7-231)根据

32、(7-2-10) 式，可以得出(7-232)所以随机过程?i (t) 关于自相关函数各态历经。综上，在多普勒系数和离散多普勒频移都是确定值的前提条件下，随机过程?i (t) 关于均值、自相关函数各态历经，这就证明了用确定过程i(t) 代替随机过程?i (t) 的合理性，这样的简化有利于信道模型的仿真；同时对于信道建模的好坏，评估标准是确定过程i (t) 的随机特性与理想随机过程i (t) 的随机特性之间的偏差, 即是下面两个准则：(3) 两个准则1) 概率均方误差准则i(t)是均值为零且正态分布的随机过程，即 i(t)N(0, 02),则概率p i(X)与P i(X)的均方 误差为(7-233

33、)这样能够评估确定型过程的概率分布函数与理想随机过程的概率分布函数的接近程度。2) 自相关函数均方误差准则众所周知，实高斯随机过程可以完全由其概率密度函数、自相关函数描述，因此另外一个准则就是评估确定型过程的自相关函数与理想随机过程的自相关函数的均方误差(7-234)已经证明取max Ni /2fmax比较合适，特别对于经典功率谱。计算确定过程(7-2-3)式中的参数(Ci,n，fi,n，i,n)的值，即多普勒系数、离散多普勒频移、多普勒 相移，下面将介绍几种方法：等距离法(MED、等面积法(MEA、Monte Carlo 法、最小均方误差法(MSEM精确多普勒扩展法(MEDS和Jakes仿真

34、法，它们都是采用正弦波叠加法来实现的，各有优 缺点，其中应用最为广泛的是Jakes仿真器。7.2.1.1等距离法(MED网顾名思义，等距离法指的是相邻的离散多普勒频移之间的距离是相等的。具有相同距离的离散多 普勒频移的值可以通过下式来得到：(7-2-35 ) 其中：(7-2-36 ) 表示了第i个随机过程i t ,i1,2,3的相邻的离散多普勒频移之间的距离。对多普勒系数ci n的计算则要考虑到在区间： ,n(7-2-37 ) _ 要使理想的功率谱密度函数Sf计算得到的功率与仿真得到的功率谱密度函数Sf计算1 ii i得到的功率相等。即：(7-2-38 ) 以下，我们分别考虑两种功率谱密度的情

35、况：1经典功率谱经典功率谱函数Sii f中的频率范围限制在 f fmax的范围内。这样，相邻的两个离散多普 勒频移之间的距离 片可定义为：fi fmax/Ni ,因此，各个离散多普勒频移的数值可根据下式来确 定：(7-2-39 ) 相应的多普勒系数，根据式(7-1-35)、(7-2-13)和(7-2-39),经过一定的推导，可得：(7-2-40 )从式(7-2-9)和(7-2-10)可以看出，i t的均值为零，因此，方差为相关函数在零点的值，即： (7-2-41)对于复确定过程t1tj2t,其方差为221222 且为了保证小和2 t的不相关性，可以选择N2Ni 1,这保证了对所有的n 1,2,

36、 ,Ni和m 1,2,电都满足f1,nf 2,m。图7-2-6绘出了相应于等距离法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图 (b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。另外，利用等距离法得出的随机过程的自相关函数i t是一个周期函数：(7-2-42 )fi,n的最大公约数记为Figcdfi,nNi1 ,则周期Ti1/Fi2/ fi 2Ni/fmax。所以，必须保证仿真白时间Tsim不超过T ,即TsimTi2Ni/fmax。在车速v 110km/h ,载波f0900MHz的情况下，fmax 91Hz ,所以仿真时间Tsim 0.549s。并且这里选择max Ti

37、/ 4 Ni / 2fmax来计算(7-2-34)式中的自相关函数的均方差，绘于(C)图。(a)功率谱馅度S f(Ni 25)(b) 相关函数i i (Ni 25)(c)自相关函数的均方差Er i i ( max岫/2降*)图7-2-6等距离法(经典功率谱，02 1, Jax 91HZ)oI max2高斯功率谱由(7-1-41)式所示的高斯功率谱 Si f，一般将f的变化范围限制在fkcfc的范围内，kc由仿真所需的离散多普勒频移fi,n的选择范围来决定，下面选择kc 2懑。因此，两个相邻的离散多普勒频移之间的距离可以表示为fkcfc/Ni ,这样，结合式(7-2-35)，可以将离散多普勒频移

38、的值(7-2-43)其中n 1,2，,Ni。从式(7-1-41)和(7-2-13)和上式可以推导得到离散多普勒系数的表达式：(7-2-44)显然，i t的均值是零，方差为(7-2-45)图7-2-7绘出了相应于等距离法生成的高斯功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。注意到，it的周期为Ti1/Fj2/fi2Njkcfc。同样，必须保证仿真的时间丁则不超过工，即Tsim Ti 2Ni/kcfc,并且这里选择 max Ti/4 N/2七九，来计算(7-2-34)式中的自相关函数的均 方差，绘于(c)图。为了保证1 t和2 t的不相关

39、性，可以选择N2N1 1 ,这样就保证了对所有的n 1,2, , N1,m 1,2, ,N2都满足 f1,nf2,m。(a)功率谱密度S，f (Ni 25)(b)相关函数ii (Ni 25)(c)自相关函数的均方差Er i i ( max Ni /2kc fc)图7-2-7等距离法(高斯功率谱),2(01, fc Wln2fmax,fmax 91Hz , kc 2可2/ln2)7.2.1.2 等面积法(MEA网所谓等面积法指的是在功率谱密度函数一定的情况下，任意两个离散多普勒频移之间 fi,n 1 ffi,n的区间面积Ai都等于2i/2Ni。即：(7-2-46)而fi,o 0。为了方便推导，引

40、入函数：(7-2-47)从式(7-1-41)和式(7-1-41)可以看出S i i f 一个对称函数，即： S i i f S,， f ,这样， 结合式(7-2-46),可将式(7-2-47)写为：(7-2-48 )假设函数F的反函数存在，记为 F 1 ,则离散多普勒频移可写为： ii(7-2-492同时，注意到在区间Iin fin i, fin内，S. f的平均功率等于史，根据式(7-2-13)，多普 i i4勒系数可写为：(7-2-50 )式(7-2-50)意味着在等面积法中得到的各个多普勒系数是相等的。下面，我们将利用等面积法求得经典功率谱和高斯功率谱下的多普勒频移和系数的表达式。1经典

41、功率谱将(7-2-4)式中的经典功率谱表达式代入到式(7-2-22)可得：(7-2-51)其中，0f max。显然，F .的反函数F J存在，解式(7-2-24)可得离散多普勒频移：,n I maxij(7-2-52 )从式(7-2-50)，将 i用代替容易得到多普勒系数：(7-2-53)当Ni 5时，fi,n的最大公约数Figcdfi,nNii近似等于零，所以周期 Ti 1/Fi为无穷。因此确定过程i(t)是非周期的。图7-2-8绘出了相应于等面积法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较；图 (c)中选择了max Ti

42、/4Ni/2fmax。(a)功率谱密度S fi i(Ni 25)(b)相关函数i i (Ni 25)(C)自相关函数的均方差Er i i ( max Ni /2fmax)图7-2-8等面积法(经典功率谱，02 1, fmax 91Hz)通常选择N2 N1 1 ,由于 f1,N1f2,N2fmax , 所以1 t和2 t不是完全的不相关。但是注意到，只要适量的Ni就可以得到较小的相关性，因此可以忽略不计。下面证明了当Ni 时，i i( ) r i i()。(7-2-54)同样可以证明：当Ni 时， i (x) p i (x)；所以由无穷多个振荡器生成的确定过程i (t)是随机过程i的取样函数。2

43、高斯功率谱对式(7-1-41)的高斯功率谱，同样引入函数 Fi :(7-2-55)但上式中误差函数的反函数并不存在，这样，将得不到离散多普勒频移fi,n的闭合表达式，因此，只能通过查表来寻找满足下式的fi,n ：(7-2-56)可以得到，相邻的离散多普勒频移间隔f finfin 1依赖于具体的下标n,因此，自相关函I i n ,n I ,n I数i i t并不是周期性的；或者说，fi,n的最大公约数Fi gcd fi,nNi1近似等于零，所以周期丁 1/Fi 为无穷。因此确定过程 i(t)是非周期的。同样，多普勒系数ci,n的值：(7-2-57 ) 图7-2-9绘出了相应于等面积法生成的高斯功

44、率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较；图 (c)中选择了max Ti/4 Ni/2kcfc。为了保证i t和2 t的不相关性，可以选择 N2 Ni 1。(a)功率谱馅度S f (Ni 25)(b) 相关函数 i i (Ni 25)(c)自相关函数的均方差Er i i ( max Ni /2kc fc)图7-2-9等面积法(高斯功率谱) 2(01, fc vln2fmax,fmax 91Hz, kc 2d2/ln2)7.2.1.3 Monte Carlo 法(MCM 8Monte Carlo方法(MCM的基本思想是通过描述t中离散多

45、普勒频移f的概率分布的概率密度函数(pdf)来产生离散多普勒频移fn。显然，f的概率密度函数(可记为 p f )与 t的功率谱密度是成比例的。如：(7-2-58)其中，常数c用以保证概率的归一化：p f df 1。为了得到所需的离散多普勒频移，首先生成一个在区间 0,1服从均匀分布的随机变量 un及在该区 间上定义的一个函数 g un ,令离散多普勒频移 fn g un的分布与下面的分布函数相等：(7-2-59 )由此，g un是 P fnun的反函数。这样，离散多普勒频移可以表示为：(7-2-60 )通常，按照MCMt得出的离散多普勒频移 fn既有正值也有负值，当概率密度函数p f是偶函数，

46、 如p f p f时，可以仅计算出正值的 fn ,只需要将式(7-2-60)中0,1区间上服从均匀分布 的随机变量un替换为在 3,1区间上服从均匀分布的随机变量 1 un/2就可以了。选择G,n的原则为确定过程i (t)的平均功率与随机过程i (t)的方差相等，即 02 i i (0)02,因此选择(7-2-61 )注意到MCMt中，不仅仅多普勒相移i,n是随机变量，而且多普勒频移离散多普勒频移fi,n也是随机变量。原则上，采用确定型方法和随机型方法来计算参数(Ci,n, fi,n, i,n)没有差别，因为过程i (t)对于每一定义总是确定的(前面已经讲述，确定过程i(t)是随机过程？i (

47、t)的取样函数或者是一个实现)。 但是，由于较少的振荡器数目，使得采用了MCMt产生的？i(t)的各态历经特性较差，这就造成确定过程i(t)的许多重要特性一一多普勒扩展、水平交叉率、平均衰落持续时间，都变成了随机值，与参考 模型的特性有较大的偏差。下面具体考虑经典功率谱和高斯功率谱的情况。1经典功率谱当对符合经典功率谱的 S i i f用MCMt时，可以得到：(7-2-62 )其中，un 0,1 , n 1,2,., Ni,i 1,2。注意到，上式只要将un用n/Ni代替，即un n/Ni ,就与等面积法一样。由于离散多普勒频移fi,n是随机变量，所以fi,n的最大公约数Fi gcdfi,nN

48、i也是随机变量，但是一般假设Fi很小，则周期Ti 1/Fi为无穷大，因此确定过程i(t)是非周期的。且由于随机性，即使选择N2 Ni, fi,N1和f2,N2 也几乎没有交集，所以 11和2 t是不相关。 (a)功率谱馅度S f(Ni 25)(b)相关函数 .(Ni 25)i iii(c)自相关函数的均方差Ern ( max帅/2/)(#=1是统计一次的结果，#=10表示统计十次的结果)图 7-2-10 MCM 法(经典功率谱，02 1, fmax 91Hz)图7-2-10绘出了相应于 MCMfc生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线(图中

49、的 theoretical 曲线)便于与计算值进行比较，注意到不 同的实现(图中的deterministic和deterministic2 ”曲线) (t)具有不同的自相关函数。图中选择了 max Ti/4 Ni/2fmax。虽然(7-2-63 )但是？i i( )i i(),所以随机过程 ?i(t)不是关于自相关函数各态历经的，且用自相关均方误差准则评估，其性能很差。2高斯功率谱当对符合高斯功率谱的 S 33f用MCMt时，离散多普勒频移fn得不到闭合的表达式，而必须通 过求出满足下面等式的频率数值：(7-2-64 ) 而多普勒系数则为：(7-2-65 )其中，n 1,2,.,Ni,un 0

50、,1。MCM1中，当均匀分布的随机变量un,n1,2,，Nj,i 1,2,3取值为?N时，MCMt得到的离散多普勒频移就与等面积法(MEA得到的相同了。由于离散多普勒频移fi,n是随机变量，所以fi,n的最大公约数Fi gcd fi,nN1也是随机变量，但是一般假设Fi很小，则周期Ti 1/Fi为无穷大，因此确定过程i(t)是非周期的。且由于随机性，即使选择N2N1,f1,N1和f2,N2也几乎没有交集，所以1t和2 t是不相关。图7-2-11绘出了相应于 MCMt生成的高斯功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图(b)中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较，注意到不同的实现

51、 i(t)具有不同的自相关函数，这说明随机过程？i(t)不是关于自相关函数各态历经的。图 (c)中选择了 max Ti/4 Ni/2kc fco(a)功率谱馅度S f(Ni 25)(b)相关函数 i i(Ni 25)(c)自相关函数的均方差Er i i ( max Ni /2kc fc)图7-2-11 MCM法(高斯功率谱)/2(01, fc ln 2 fmax, fmax 91Hz , % 242/ln2)7.2.1.4 最小均方误差法(MSEM8最小均方误差法的出发点是使均方误差值最小：(7-2-66 )实际上，离散多普勒频移fn可取一组相对简单的等距离解，,fi如fn fn : - 2n

52、 1 ,n 1,2,., N2Er 一这样，上式对多普勒系数 Cn求偏导数，并令其为零，即 一二 0,解得： cn(7-2-67 )其中，积分区间 max为：max1/ 4 1/20。另外，当 fi0时，式(7-2-42)可以表示为：(7-2-68a)同时，数值分析的方法可以得出，当fi0时，对ci,n采取下列近似：(7-2-68 b)所以对于较小的N,仍能较好地逼近式(7-2-67)中的准确值。且当 Ni 时，ii() rii()(7-2-69 ) 下面，利用MSEMI分别来计算经典功率谱和高斯功率谱时的参数： 1经典功率谱虽然MSEMf法采用的离散多普勒频移与MEDt的相同，却有不同的多普勒系数：(7-2-70 )其中，max Ti/4 Ni /2fmax。利用MSEM法得出的确定过程i (t)是一个周期为 Ti1/Fi2fi2Ni/fmax的函数。所以，必须保证仿真的时间Tsim不超过Ti,即TsimTi2N i /fmax。图7-2-12绘出了相应于 MSEM法生成的经典功率谱、自相关函数及其自相关函数的均方差。在图 (b) 中，绘出了理论自相关函数的曲线便于与计算值进行比较。 (a)功率谱密度Si i f (Ni 25)(b)相关函数Ji (Ni 25)(c)自相关函数的均方差Er. (max Ni /2fmax) i