1.2.1极坐标系的概念

1、1 2021/3/27 新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列 高中数学 选修选修44 2 2021/3/27 1.1.极坐标系的概念极坐标系的概念 3 2021/3/27 1、理解极坐标的概念、理解极坐标的概念,弄清极坐标系的结弄清极坐标系的结 构（构（ 建立极坐标系的四要素）建立极坐标系的四要素）; 2、理解广义极坐标系下点的极坐标、理解广义极坐标系下点的极坐标 （,）与点之间的多对一的对应关系）与点之间的多对一的对应关系; 3、已知一点的极坐标会在极坐标系中描、已知一点的极坐标会在极坐标系中描 点，以及已知点能写出它的极坐标。点，以及已知点能写出它的极坐标。 教学目标教学目标 4 20

2、21/3/27 目标在哪目标在哪? 在以在以为为X轴轴 以以为为Y轴轴, 坐标是坐标是. 算的太慢了！算的太慢了！ 5 2021/3/27 以天河路为以天河路为X轴轴 以广州大道为以广州大道为Y轴轴. 请问请问: 去广州塔怎么走去广州塔怎么走? 6 2021/3/27 痴线！痴线！ 以天河路为以天河路为X轴轴 以广州大道为以广州大道为Y轴轴. 7 2021/3/27 以天河路为以天河路为X轴轴 以广州大道为以广州大道为Y轴轴. 8 2021/3/27 从这向东从这向东 2000米。米。 请问请问: 去广州塔怎么走去广州塔怎么走? 9 2021/3/27 请分析上面这句话请分析上面这句话,他告诉

3、了问路人什他告诉了问路人什 么么? 从 这 向 东 走从 这 向 东 走 2 0 0 0 米米 ! 出发点出发点 方向方向距离距离 在生活中人们经常用方向和距离来在生活中人们经常用方向和距离来 表示一点的位置。这种用表示一点的位置。这种用方向方向和和距离距离表表 示平面上一点的位置的思想示平面上一点的位置的思想,就是极坐就是极坐 标的基本思想。标的基本思想。 10 2021/3/27 一、极坐标系的建立一、极坐标系的建立: 在平面内取一个定点在平面内取一个定点O,叫做叫做极点极点。 引一条射线引一条射线OX,叫做叫做极轴极轴。 再选定一个长度单位再选定一个长度单位 和和角度单位角度单位及及它的

4、正它的正 方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针 方向）。方向）。 这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。 X O 极坐标系的四要素极坐标系的四要素? 11 2021/3/27 二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定 X O M 对于平面上任意一点对于平面上任意一点M,用用 表示线段表示线段OM的长度的长度,用用 表示从表示从OX到到OM 的角的角 度，度， 叫做叫做M的极径，的极径， 叫做点叫做点M的极角，有序数的极角，有序数 对（对（ ， ）就叫做）就叫做M的极的极 坐标。坐标。 特别强调特别强调: 表示线段表示线段OM的长度的长度,既点既点M到极点到极

5、点 O的距离的距离; 表示从表示从OX到到OM的角度的角度,既以既以OX （极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。 12 2021/3/27 题组一题组一:说出下图中各点的极坐标说出下图中各点的极坐标 A B C D E F G O X 4 6 5 3 5 3 4 2 13 2021/3/27 平面上一点的极坐标是否唯一平面上一点的极坐标是否唯一? 若不唯一若不唯一,那有多少种表示方法那有多少种表示方法? 坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？ 不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？ 特别规定特别规定: 当当M在极点时在极点时,

6、它的极它的极 坐标坐标 = 0, 可以取任意值。可以取任意值。 想一想想一想? 极点（极点（0, ）（）（ R） 即极点有无数个极坐标。即极点有无数个极坐标。 14 2021/3/27 三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究 X O M 如图如图:OM的长度为的长度为4, 4 请说出点请说出点M的极坐标的其的极坐标的其 他表达式。他表达式。 思考思考:这些极坐标之间有何异同这些极坐标之间有何异同? 思考思考:这些极角有何关系这些极角有何关系? 这些极角的始边相同这些极角的始边相同,终边也相同终边也相同,也就也就 是说它们是终边相同的角。是说它们是终边相同的角。 本题点本题点M

7、的极坐标统一表达式的极坐标统一表达式: 4 2k+ 4 ， 极径相同极径相同,不同的是极角。不同的是极角。 15 2021/3/27 (3,0)(6,2 )(3,) 2 45 (5,)(3,)(4, ) 36 5 (6,) 3 ABC DEF G 题组二题组二:在极坐标系里描出下列各点在极坐标系里描出下列各点 16 2021/3/27 4 6 5 3 5 3 4 2 AB C D E F G O X 17 2021/3/27 本节课总结本节课总结: 1极坐标系的建立需确定几条极坐标系的建立需确定几条? 极点极点;极径极径;长度单位和角度正方向。长度单位和角度正方向。 2极坐标系内一点的极坐标有

8、多少种表达式极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式? 无数种。是因为极角引起的。无数种。是因为极角引起的。 3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？ 有。有。 4 2 k， 18 2021/3/27 四、四、1、负极径的定义、负极径的定义 说明说明:一般情况下一般情况下,极径都是正值极径都是正值;在某些必要在某些必要 情况下情况下,极径也可以取负值。（极径也可以取负值。（?） 对于点对于点M（ , ）负极径时的规定负极径时的规定: 1作射线作射线OP,使使 XOP= 2在在OP的反向延长的反向延长 线上取一点线上取一点M,使使 OM = O X P M 19 2021/3/

9、27 O X P = /4 M 四、四、2、负极径的实例、负极径的实例 在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点 M （-3, /4）的位置的位置 1作射线作射线OP,使使 XOP= /4 2在在OP的反向延长的反向延长 线上取一点线上取一点M,使使 OM = 3 20 2021/3/27 四、四、3、关于负极径的思考、关于负极径的思考 “负极径负极径”真是真是“负负”的的? 根据极径定义根据极径定义,极径是距离极径是距离,当然是正的。当然是正的。 现在所说的现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底是什到底是什 么意思么意思? 有比较才能有鉴别有比较才能有鉴别! 把负极径时点的确定过程把负极

10、径时点的确定过程,与正极径时点与正极径时点 的确定过程相比较的确定过程相比较,看看有什么相同，有什么看看有什么相同，有什么 不同不同? 21 2021/3/27 四、四、4、正、负极径时、正、负极径时,点的确定过程比较点的确定过程比较 O X P M O X P 1作射线作射线OP,使使 XOP= /4 2在在OP的反向延长线上的反向延长线上 取一点取一点M,使使 OM = 3 1作射线作射线OP,使使 XOP= /4 2在在OP的上取一点的上取一点M,使使 OM = 3 M 画出点画出点 （3, /4） 和（和（-3, /4） 22 2021/3/27 四、四、5、负极径的实质、负极径的实质

11、 从比较来看从比较来看,负极径比正负极径比正 极径多了一个操作极径多了一个操作,将射线将射线 OP“反向延长反向延长”。 O X P M O X P M 而反向延长也可以说而反向延长也可以说 成旋转成旋转 ,因此因此,所谓所谓“负极负极 径径”实质是管方向的。这与实质是管方向的。这与 数学中通常的习惯一致，用数学中通常的习惯一致，用 “负负”表示表示“反向反向 ”。 23 2021/3/27 练习练习:写出下列各点的负极径的极坐标写出下列各点的负极径的极坐标 （3, /4） 答答:（-3, + /4） （-3, - /4） （3,- /4） 24 2021/3/27 负极径总结负极径总结: 极

12、径是负的极径是负的,等于极角增加等于极角增加 。 负极径的负与数学中历来的习惯相同负极径的负与数学中历来的习惯相同,用用 来表示来表示“反向反向” 特别强调特别强调:以后不特别声明以后不特别声明, 0 。 因为因为,负极径只在极少数情况用。负极径只在极少数情况用。 25 2021/3/27 五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标 O X P M 探索点探索点M（3, /4）的所有极坐标）的所有极坐标 1极径是正的时候极径是正的时候: 4 23 k， 2极径用极径用“-3” ) 4 23 k，（ 26 2021/3/27 五、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况五、极坐标系下点与它的极坐

13、标的对应情况 O X P M O X M P 1首先首先,给定极坐标给定极坐标M（ , ） 在平面上可以确定唯一的一点。在平面上可以确定唯一的一点。 2反过来反过来,给定平面上一点给定平面上一点, 却有无数个极坐标。却有无数个极坐标。 原因原因:极径有正有负极径有正有负;极角有极角有 无数个。无数个。 但是但是,有统一表达式两个。有统一表达式两个。 27 2021/3/27 如果如果限定限定0,02 那么除极点外那么除极点外,平面内的点和极坐标就平面内的点和极坐标就 可以可以一一对应一一对应了了. 28 2021/3/27 3一点的极坐标有否统一的表达式一点的极坐标有否统一的表达式? 小结小结

14、 1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点极点;极轴极轴;长度单位；角度单位和它长度单位；角度单位和它 的正方向。的正方向。 2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式表达式? 无数无数,极角有无数个。极角有无数个。 有。（有。（,2k+） 29 2021/3/27 极坐标和直角坐标的互化极坐标和直角坐标的互化 30 2021/3/27 平面内的一个点的直角坐标是平面内的一个点的直角坐标是(1, )3 这个点如何用极坐标表示这个点如何用极坐标表示? 31 2021/3/27 Ox y 在直角坐标系中在直角坐标系中, 以原点作为极点以原点作为

15、极点, x轴的正半轴作为极轴轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相并且两种坐标系中取相 同的长度单位同的长度单位 点点M的直角坐标为的直角坐标为(1, 3) (1, 3)M 设点设点M的极坐标为的极坐标为(,) 231 22 ）（ 3 1 3 tan M ( 2, / 3) 32 2021/3/27 极坐标与直角坐标的互化关系式极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点设点M的直角坐标是的直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,) x=cos, y=sin ) 0(tan, 222 x x y yx 33 2021/3/27 互化公式的三个前提条件互化公式的三个前提条件: 1. 极点与直

16、角坐标系的原点重合极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的极轴与直角坐标系的x轴的正半轴的正半 轴重合轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同两种坐标系的单位长度相同. 34 2021/3/27 例例1. 将点将点M的极坐标的极坐标 化成直角坐标化成直角坐标. 2 (5,) 3 解解: 2 5 3 2 cos5 x 2 35 3 2 sin5 y 所以所以, 点点M的直角坐标为的直角坐标为) 2 35 , 2 5 ( 35 2021/3/27 已知下列点的极坐标已知下列点的极坐标,求它们的直求它们的直 角坐标。角坐标。 ) 6 , 3( A) 2 , 2( B) 2 , 1( C ) 4 , 2 3 ( D) 4 3 , 2( E 36 2021/3/27 例例2. 将点将点M的直角坐标的直角坐标 化成极坐标化成极坐标. (3, 1) 解解: 21)3( 22 ）（ 3 3 3 1 tan 因为点在第三象限因为点在第三象限, 所以所以 6 7 因此因此, 点点M的极坐标为的极坐标为) 6 7 , 2( 37 2021/3/27 练习练习: 已知点的直角坐标已知点的直角坐标, 求它们求它们 的极坐标的极坐标. )3, 3( A)3, 1(B )0 , 5(C )2, 0( D )3, 3( E 38 2021/3/27 例例3 已知两点（