必修四平面向量知识点整理+例题+练习+答案.doc

1、平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量： abbaab0向量表示：几何表示法AB ；字母a 表示；坐标表示： a j （，）. 向量的模：uuurruuurrr设 OA a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：| a |.rx22r 2r2x22。）（ | a |y, a | a |y零向量：长度为0 的向量。 aOa O.rrrr【例题】 1. 下列命题：（

2、1）若 ab ，则 ab 。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点uuuruuur相同，终点相同。（ 3）若 ABDC ，则 ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，则uuuruuurrrrrrrr r r rr rABDC 。（ 5）若ab,bc ，则 ac 。（6）若 a / b,b / c ，则 a / c 。其中正确的是 _r r60ouurr2. 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为，那么 | a3b | _2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点相同连对角- 1 -三角形不等式：rrrrrrababab 运算性质： 交换

3、律：rrrrrrrrrr；abba ； 结合律：abcabcrrrrrCa00aa 坐标运算：设rx1 , y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2ra， b，则 abar3、向量减法运算：b三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量rruuur uuuruuurabCC坐标运算：设rx1 , y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2a， b，则 abuuur设 、 两点的坐标分别为 x1, y1， x2 , y2 ，则x1x2 , y1y2【例题】uuuruuuruuuruuuruuuruuur_；（1） ABBCCD_； ABADDCuuuruuuruuuruuur (

4、 AB CD ) ( AC BD) _uuurr uuurr uuurrrrr（2）若正方形 ABCD 的边长为 1， ABa, BCb, ACc ，则 | abc | _4、向量数乘运算：实数r的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作r与向量 aarr aa ；当0 时，rra的方向与 a 的方向相同；当0 时，rr0 时，rra的方向与 a 的方向相反；当a0运算律： rrrrrrrrraa ； aaa ；abab rrx,y 坐标运算：设 ax, y ，则 ax, y- 2 -1【例题】（ 1）若 M（-3 ， -2 ），N（6，-1 ），且 MPMN，则点 P 的坐标为 _3rr5、向

5、量共线定理：向量 a arrrax1, y1 ， bx2 , y2 ，（ brrrr0 与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 ba 设rr r2r r2 。0 ）( a b)(| a | b |)rrrr【例题】 (1) 若向量 a(x,1), b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同rr(4, x) ，rrrrrrrr（ 2）已知 a(1,1),bua2b ， v2ab ，且 u / v ，则 x_rrrrrrrr0 .6、向量垂直： aba b 0| ab | | ab |x1 x2y1 y2uuuruuuruuuruuur【例题】 (1) 已知 OA( 1,2),

6、OB(3,m) ，若 OAOB ，则 m（2）以原点 O和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B 90 ，则点 B 的坐标是_rrurrurur（3）已知 n( a,b),向量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是 _7、平面向量的数量积：rrr rrr rr o180o零向量与任一向量的数量积为0 a ba b cosa0, b0,0rrrrrrrrrrr r性质：设 a 和 b 都是非零向量，则 abab 0 当 a 与 b 同向时，aba b ；当rrrrrrr rr2r2rr rrrr ra 与 b 反向时，abab； a aaa或 aa a aba b rrrrrrr

7、 rrrrrrr rr r运算律： a bba ； aba bab； abca cb c 坐标运算：设两个非零向量rx1rx2 , y2r rx1 x2y1 y2 a, y1 ， b，则 a brr2x22rx22若 ax, y ，则 ay，或 ayrrx2 , y2 ，则 abab0x1x2 y1y20.设 ax1 , y1 ， br设 acos则 aba b( b0)rrx1 , y1r、 b都 是 非 零 向 量 ， a， b x2 , y2r rx1 x2y1 y2rrr ra br r2222 ；（注 | a ? b | a | b |）a bx1y1x2y2x1 y2 x2y1.r

8、 r， 是 a 与 b 的 夹 角 ， 则【例题】（ 1） ABC中， | AB |3 ， | AC |4 ， | BC |5 ，则 AB BC_- 3 -r1r1rrr urrrrur，则 k 等于 _（ 2）已知 a(1,), b(0,), cakb, dab ， c 与 d 的夹角为224rrr r3 ，则rr（3）已知a2, b5, a bab 等于 _grrrrrrr rr（ 4）已知 a, b 是两个非零向量，且abab ，则 a与 ab 的夹角为 _（ 5）已知 a( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值围是 _（ 6）已知向量 a （ sinx

9、，cosx ）,b （ sinx ，sinx ）,c （ 1，0）。（ 1）若 x，求向量 a 、 c 的夹角；3r0。8、 b 在 a 上的投影：即 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于【例题】已知 | a |3， | b | 5 ，且 a b12 ，则向量 a 在向量 b 上的投影为 _9、（必修五的容）正弦定理（ 其中 R 表示三角形的外接圆半径） ： （ 1）abcsin Asin B2Rsin C（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3） sin Aa ,sin ABb ,sin Cc ,2R2R2R余弦定理（1） b 2 =a2c22ac cos B

10、（2） cos Ab 2c 2a 22bc（3） S1 a ha； S1 bc sin A221 ab sin C1 ac sin B ；22附： ABC的判定：c 2a2 b 2ABC为直角A+ B=2c 2 a 2b 2为钝角A + ABCB2c 2 a 2b 2ABC为锐角A + B2附：证明： cosCa 2 b2 c 2，在钝角 ABC中， cosC 0 a2b2c20 a2b2c22ab- 4 -在 ABC中，有下列等式成立 tan A tanBtan C tan A tan B tanC .证明：因为 A BC, 所以 tan A B tanC ，所以 tan A tan Bta

11、n C ， 结论！1 tan A tan B三角形的四个“心” ；重心：三角形三条中线交点 .外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.心：三角形三角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.非零向量 a 与 a 有关系是 ： a 是 a 方向上的单位向量aa练习题：一、平面向量的概念及其运算1、若向量b 满足a b ab，则a与 b 必须满足的条件为a、2、若 ABb, ACc ，则 BC 等于（）A b cB c bC b cD b c3、正六边形 ABCDEF中， BACDEF （）A 0B BEC CDD CF4、在边长为 1 的正方形 ABCD中，设 ABa, ADb, AC

12、c ，则 abc =5、在 ABC 中，已知 BC3BD ，则 AD 等于（）A 1( AC 2AB)B 1( AB 2AC)C 1( AC3AB)D 1( AC 2AB)33446、在 ABC 中， E、 F 分别是 AB和 AC的中点，若 ABa, ACb ，则 EF 等于（）- 5 -A 1 (a b)B 1 (a b)C 1 (b a)D 1 (a b)22227、已知：向量 a, b同向，且 a 3, b7 ，则 2a b二、平面向量的基本定理及坐标表示8、若 AB 3e1 , CD5e1 ，且 ADBC ，则四边形 ABCD是（）A 是平行四边形B菱形C等腰梯形D不等腰梯形9、已知

13、 A( 2,4), B(3,1), C( 3,4) 且 CM 3CA,CN2CB ，试求点 M、N和 MN 的坐标10、已知向量 a( 3, 4) ，则与 a 同向的单位向量是（）A (3,4)B (3,4)C( 3,4)D (3,4)555511、已知 A(3,2), AB(8,0) ，则线段 AB中点的坐标是12、若三点 P(1,1), A(2,4), B(x, 9)共线，求 x13、若向量 a( x 3, x 23x 4) 与 AB 相等地，已知 A(1,2),B(1,2) ，则 x 的值为（）A-1B-1 或-4C 4D1或4三、平面向量的数量积14、已知， a2, b 3,ab 33

14、，则 a 与 b 的夹角等于15、已知 ABCD为菱形，则 ( ABBC) ( AB AD ) 的值为16、已知 b5 ，且 ab12 ，则向量 a 在 b 方向上的投影为17、已知向量 a 与 b 的夹角为 120o ，且 a 4, b2 ，（1）求 a 在 b 方向上的投影（2）求 3a4b- 6 -（3）若向量 akb 与 5a b垂直，数k 的值18、已知 a 、 b 满足 a1, b1 且 (ab) 23 ，则 a b19、若 a bab ，且 a 与 b 不共线，则 a 与 b 的夹角为20、已知 a( 2,1),b( ,1) ，若 a 与 b 的夹角为钝角，则的取值围是（）A(

15、1,2)(2,)B(2, )C (1, )D (,1 )22221、已知 a(6,0), b(5,5) ，则 a 与 b 的夹角为22、已知 A(3,2), B(1, 1) ，若点 P( x, 1 ) 在线段 AB的中垂线上，则 x =2平面向量高考经典试题一、选择题r( 5,6)rrr1、已知向量 a， b(6,5) ，则 a与 bA垂直B不垂直也不平行C 平行且同向D 平行且反向2、已知向量 a(1， n)， b( 1， n) ，若 2ab 与 b 垂直，则 a（）A1B2C2D43、若向量r r满足r r，r rr rr r=_；a, b| a | | b | 1a,b的夹角为 60，则

16、a aa buuuruuur uuur1 uuuruuur4、在 ABC 中，已知 D 是 AB 边上一点，若 AD，CACB ，则（）2DB CD3A 2B 1C 1D 233335、若 O、E、F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（）uuuruuuruuurB.uuuruuuruuurA EFOFOEEFOFOE- 7 -uuuruuuruuurD.uuuruuuruuurC. EFOFOEEFOFOE6、已知平面向量 a(11)， b(1， 1) ，则向量 1a3b（）22 (2， 1) (2，1) ( 1，0) (1，2)二、填空题1、已知向量 a =2，4， b = 11，

17、若向量 b(a +b) ，则实数的值是2、若向量r rrrrrra b 的夹角为 60 ， ab 1，则 ag ab，3、在平面直角坐标系中，正方形OABC 的对角线 OB 的两端点分别为O (0，0) ， B(11)， ，则uuur uuurABgAC三、解答题：1、已知ABC三个顶点的直角坐标分别为A(3，4) 、B(0，0) 、C( c ， 0) (1) 若 ABgAC 0 ，求 c 的值；(2) 若 c 5 ，求 sin A 的值rrrrrrr3 b 平2. 已知 a(1,2) , b ( 3,2) , 当 k 为何值时，（ 1） kab 与 a3b垂直？（2）kab 与 a行？rr(

18、cos ,sin ) ，（ 0rrrr3已知 a(cos ,sin ) ， b）求证： ab与 ab 互相垂直；- 8 -4已知 a(2,1) 与 b(1,2) ，问当实数 t 的值为多少时atb 最小。rrrr5已知向量 a(cos ,sin ) ，向量 b( 3, 1) ，则 2ab 的最大值是平面向量知识点整理1、概念向量：既有大小，又有方向的量数量：只有大小，没有方向的量- 9 -有向线段的三要素：起点、方向、长度单位向量：长度等于 1个单位的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量零向量与任一向量平行相等向量：长度相等且方向相同的向量相反向量： abbaab0向量表示：几何

19、表示法AB ；字母 a 表示；坐标表示： a j （，）. 向量的模：uuurruuurrr设 OAa ，则有向线段OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作： | a |.rx22r 2r 2x22。）（ | a |y, a | a |y零向量：长度为0 的向量。 aOa O.rrrr【例题】 1. 下列命题：（1）若 ab ，则 ab 。（ 2）两个向量相等的充要条件是它们的uuuruuur起点相同，终点相同。（3）若 ABDC ，则 ABCD 是平行四边形。（4）若 ABCD 是平行四边形，uuuruuurrr rrrrr r r rr r则 ABDC 。（5）若 ab,bc ，则 ac

20、 。（6）若 a / b,b / c ，则 a / c 。其中正确的是 _（答：（4）（5）r r60ouurr2. 已知 a, b 均为单位向量，它们的夹角为，那么 | a3b | _（答：13 ）；2、向量加法运算：三角形法则的特点：首尾相接连端点平行四边形法则的特点：起点相同连对角-10-三角形不等式：rrrrrrababab 运算性质： 交换律：rrrrrrrrrr；abba ； 结合律：abcabcrrrrra00aa C坐标运算：设rx1 , y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2ra， b，则 abar3、向量减法运算：b三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量

21、rruuur uuuruuurabCC坐标运算：设rx1 , y1rx2 , y2rrx1x2 , y1y2a， b，则 abx1, y1uuurx1x2 , y1y2设 、 两点的坐标分别为， x2 , y2 ，则【例题】uuuruuuruuuruuuruuuruuur_；（1） ABBCCD_； ABADDCuuuruuuruuuruuur_uuuruuurr）； (ABCD )( ACBD )（答： AD ； CB； 0（2）若正方形 ABCD 的边长为uuurr uuurr uuurrrrr2 ）；1， ABa, BCb, ACc ，则 | abc |_（答： 2（3）已知作用在点 A

22、(1,1)uuruuruururuuruuruur的三个力 F1(3,4), F2(2,5), F3(3,1)，则合力 FF1F2F3 的终点坐标是（答：（9,1 ）4、向量数乘运算：实数rr与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a rr aa ；当0 时，rra的方向与 a 的方向相同；当0 时，rr0 时，rra的方向与 a 的方向相反；当a0运算律： rrrrrrrrraa ； aaa ；abab rx, y，则rx, yx,y坐标运算：设 aa-11-【例题】（ 1）若 M（-3 ， -2 ），N（6，-1 ），且 MP1MN，则点 P 的坐标为 _3（答： ( 6,7)

23、 ）；rrr3r rr设5、向量共线定理 ：向量 a a0与 b 共线，当且仅当有唯一一个实数，使 barrrrr r 2r r2。ax1, y1 ， bx2 , y2 ，（ b0 ） ( a b)(| a | b |)【例题】 (1)rrr r若向量 a(x,1), b(4, x) ，当 x _时 a 与 b 共线且方向相同（答： 2）；rrrrrrrrr r（ 2）已知 a(1,1),b(4, x) ， ua2b， v2ab ，且 u / v ，则 x_（答： 4）；rrrrrrrr6、向量垂直： aba b0| ab | | ab |x1 x2y1 y20 .uuuruuuruuuruu

24、ur【例题】 (1) 已知 OA ( 1,2), OB(3,m) ，若 OAOB ，则 m（答： 3 ）；2（2）以原点 O和 A(4,2) 为两个顶点作等腰直角三角形OAB， B 90，则点 B 的坐标是_（答： (1,3)或（ 3， 1）；rrurrurur（3）已知 n ( a,b),向量 nm ，且 nm ，则 m 的坐标是 _（答： ( b,a)或 ( b, a) ）7、平面向量的数量积：rrr rrr rr o180o零向量与任一向量的数量积为0 a ba b cosa0, b0,0rrrrrr当rrrrr r性质：设 a 和 b 都是非零向量，则 abab 0a 与 b 同向时，

25、aba b ；当rrrrrrr rr2r2rr rrrrra 与 b 反向时，a bab； aaaa或 aa a aba b rrrrrrr rrrrrrr rr r运算律： a bba ； ababab； abca cb c -12-坐标运算：设两个非零向量r, y1rx2 , y2r rx1 x2 y1 y2 a x1， b，则 a brr 2x22rx22若 ax, y ，则 ay，或 ayrrx2 , y2，则 abab0x xy y0.设 ax1 , y1 ， b1212则ab a b b0x1 y2 x2y1.()r设 acosrrx1 , y1r，rr、 b都 是 非 零 向 量

26、 ， a， b x2 , y2是 a 与 b 的 夹 角 ， 则r rx1 x2y1 y2rrr ra br r2222；（注 | a ? b | a | b |）a bx1y1x2y2【例题】（ 1） ABC中， | AB |3，| AC |4，| BC |5 ，则 AB BC _（答： 9）；r1 r(0,1 rrr urrrrur，则 k 等于 _（ 2 ）已 知 a(1,),b),ca kb, dab ， c 与 d 的夹 角为224（答： 1）；rrr rrr23）；（ 3）已知 a2, b5, agb3 ，则 ab 等于 _（答：r rrrrrrrr（ 4）已知 a, b 是两个非

27、零向量，且 ab ab ，则 a与 ab 的夹角为 _（答： 30o ）（ 5）已知 a( ,2) ， b(3,2) ，如果 a 与 b 的夹角为锐角，则的取值围是 _（答：4 或0 且1 ）；33（ 6）已知向量 a （ sinx ，cosx ）,b （ sinx ，sinx ）,c （ 1，0）。（ 1）若 x，求向量 a 、 c 的夹角；（答： 150）；3r0。8、 b 在 a 上的投影：即 | b | cos，它是一个实数，但不一定大于【 例 题】 已知 | a | 3， | b |5 ，且 a b12 ， 则 向 量 a 在 向 量 b 上 的 投 影为 _（答： 12 )59、（

28、必修五的容）-13-正弦定理（ 其中 R 表示三角形的外接圆半径） ： （ 1）abcsin Asin B2Rsin C（2）a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC（3） sin Aa ,sin ABb ,sin Cc ,2R2R2R余弦定理（1） b 2 =a2c22ac cos B（2） cos Ab 2c 2a 22bc（3） S1 a ha； S1 bc sin A221 ab sin C1 ac sin B ；22附： ABC的判定：c 2a2 b 2ABC为直角A+ B=2c 2 a 2b 2为钝角A + BABC2c 2 a 2b 2ABC为锐角A + B2附：证明： cosCa 2 b2 c 2，在钝角 ABC中， cosC 0a2b2c20 a2b2c22ab在 ABC中，有下列等式成立 tan AtanBtan C tan A tan B tanC .证明：因为 A BC, 所以 tan AB tanC ，所以 tan Atan Btan C ， 结论！1 tan A tan B三角形的四个“心” ；重心：三角形三条中线交点 .外心：三角形三边垂直平分线相交于一点 .心：三角形三角的平分线相交于一点 .垂心：三角形三边上的高相交于一点 .非零向量 a 与 a 有关系是 ： a 是 a 方向上的单位向量