专题39 空间几何体综合练习（新高考地区专用）（解析版）

1、专题39 空间几何体综合练习一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1用一个平面去截一个几何体,得到的截面是圆面,这个几何体不可能是( )。A、圆锥 B、圆柱 C、球 D、棱柱【参考答案】D【解析】用一个平面去截圆锥、圆柱、球均可以得到圆面,但截棱柱一定不会产生圆面,故选D。2如图所示,在多面体中,已知四边形是边长为的正方形,且、均为正三角形,则该多面体的体积为( )。A、 B、C、 D、【参考答案】A【解析】将几何体割成一个三棱柱和两个相同的三棱锥,在梯形中易知,则该几何体体积为,故选A。3如图所示,已知一圆台上底面半径为,下底面半

2、径为,母线长为,其中在上底面上,在下底面上,从的中点处拉一条绳子,绕圆台的侧面转一周达到点,则这条绳子的长度最短为( )。A、 B、C、 D、【参考答案】C【解析】画图,则设,圆心角为,则,解得,则,故选C。4如图,在长方体中,用截面截下一个棱锥,则棱锥的体积与剩余部分的体积之比为( )。A、 B、C、 D、【参考答案】A【解析】法一：设,则长方体的体积,又,且三棱锥的高为,则剩余部分的几何体体积,则,故选A。法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱,设它的底面面积为,高为,则它的体积为,而棱锥的底面面积为,高为,棱锥的体积,剩余部分的体积是,棱锥的体积与剩余部分的体积之比为,故选A。5

3、在地球北纬圈上有、两点,它们的经度相差,、两地沿纬线圈的弧长与、两点的球面距离之比为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】由题知,两地的球面距离是,而两地纬线圈的弧长为小圆的半个圆周,故选D。6已知、是球的球面上两点,为该球面上的动点,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】如图,当点位于垂直于面的直径端点时,三棱锥的体积最大,设球的半径为,此时,故,则球的表面积为,故选C。7平行四边形中,且,沿将四边形折起成平面平面,则三棱锥外接球的表面积为( )。A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】将平面平面,又平面平面,平面,平面,

4、四边形为平行四边形,同理平面,、均为,设中点为,连、,则,为三棱锥外接球半径,则,则,故三棱锥外接球的表面积为,故选C。8如图所示,在三棱柱中,三条棱、两两垂直,且,分别经过三条棱、作一个截面平分三棱锥的体积,截面面积依次为、,则、的大小关系( )。A、 B、C、 D、【参考答案】A【解析】还原生长方体,连、,与交于点,则平面将三棱锥体积平分,到平面的距离,有,则,同理,而,因此,故选A。二、选择题：本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分。9如右图所示,在正方体中,、分别是、的中点,则图中阴影部分在正方体

5、的六个面上的正投影(投射线垂直于投射面所得的平行投影)可能为下图中的( )。A、 B、C、 D、【参考答案】AC【解析】A选项为在上的投影,C选项为在上的投影,故选AC。10两平行平面截半径为的球,若截面面积分别为和,则这两个平面间的距离是( )。 A、 B、 C、 D、【参考答案】AD【解析】如图(1)所示,若两个平行平面在球心同侧,则,如图(2)所示,若两个平行截面在球心两侧,则,故选AD。注意：用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质“与底面全等或相似”,同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面“轴截面”的性质,利用相似三角形中的相似比,构设相关几何变量的方程组,进而得解。

6、11已知四面体是球的内接四面体,且是球的一条直径,则下面结论正确的是( )。A、球的表面积为B、上存在一点,使得C、若为的中点,则D、四面体体积的最大值为【参考答案】ACD【解析】是球的一条直径,球的半径为,球的表面积为,A正确,与平面相交,上找不到一点,使得,B错误,连接、,为的中点,C正确,易知点到平面的距离的最大值为球的半径,四面体体积的最大值为：,D正确,故选ACD。12如图所示,正方体的棱长为,、分别是棱、的中点,过直线、的平面分别与棱、交于、,设,则下列命题中正确的是( )。A、平面平面B、当且仅当时,四边形的面积最小C、四边形周长是单调函数D、四棱锥的体积为常函数【参考答案】AB

7、D【解析】A选项,平面,又平面,平面平面,A对,B选项,四边形为菱形,又,要使四边形的面积最小,只需最小,则当且仅当时,四边形的面积最小,B对,C选项,在上不是单调函数,C错,D选项,点到平面的距离为,又,点到平面的距离为,为常函数,D对,故选ABD。三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分。13在有太阳的某时刻,一个大球放在水平地面上,球的影子伸到距离球与地面接触点处,同一时刻一根长的木棒垂直于地面,且影子长,则此球的半径为 。【参考答案】【解析】,设(),由题意知,即,在中,。14古希腊数学家阿基米德是世界上公认的三位最伟大的数学家之一,其墓碑上刻着他认为最满意的一个数学发现。如图,

8、一个“圆柱容球”的几何图形,即圆柱容器里放了一个球,该球顶天立地,四周碰边,在该图中,球的体积是圆柱体积的,并且球的表面积也是圆柱表面积的,若圆柱的表面积是,现在向圆柱和球的缝隙里注水,则最多可以注入的水的体积为 。【参考答案】【解析】设球的半径为,则由题意可得球的表面积为,圆柱的底面半径为,高为,最多可以注入的水的体积为。15连接正方体相邻各面的中心(中心是指正方形的两条对角线的交点)后所得到了一个几何体,设正方体的棱长为,则该几何体的表面积为 ,该几何体的体积为 。(本题第一空2分,第二空3分)【参考答案】 【解析】这正八面体每个面是全等的正三角形,。16已知正四棱锥内接于半径为的球,则当

9、此正四棱锥的体积最大时,其高为 。【参考答案】【解析】由球的几何性质可设四棱锥高为,从而,有,可知当时,体积最大。四、解答题：本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17（10分）如图所示,正方体的棱长为,过顶点、截下一个三棱锥。(1)求剩余部分的体积；(2)求三棱锥的高。【解析】(1), 2分故剩余部分的体积； 4分(2)由(1)知,设三棱锥的高为, 6分则, 8分故,解得。 10分18（12分）如图所示,在长方体中,点、分别在、上,。过点、的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由)；(2)求平面把该长方体分成的两部

10、分体积的比值。【解析】(1)交线围成的正方形如图所示； 4分(2)如图,作,垂足为,则, 6分四边形为正方形,于是, 8分故四边形的面积,四边形的面积, 10分长方体被平面分成两个高为的直棱柱,其体积的比值为(也正确)。 12分19（12分）正四棱台两底面边长分别为和。(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为,求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和,求它的高。【解析】(1)如图,设、分别为上、下底面的中心,过作于,过作于,连接,则为正四棱台的斜高, 2分由题意知, 4分又,斜高, 6分； 7分(2)由题意知, 9分,又,。 12分20（12分）如图,底面为菱形

11、的直棱柱中,、分别为棱、的中点。(1)在图中作一个平面,使得,且平面；(不必给出证明过程,只要求作出与直棱柱的截面。)(2)若,求点到所作截面的距离。【解析】(1)如图,取、的中点、,连接、,则平面即为所求平面； 6分(2)设点到平面的距离为,由等体积法得：,又, 8分,又, 10分又由得：,。 12分21（12分）如图,矩形中,。、分别在线段和上,将矩形沿折起。记折起后的矩形为,且平面平面。(1)求证：平面；(2)若,求证：；(3)求四面体体积的最大值。【解析】(1)证明：四边形,都是矩形,四边形是平行四边形, 2分,平面,平面； 4分(2)证明：连接,设,平面平面,且,平面,又,四边形为正方形, 6分平面,又平面, 8