第三章 振动、波动和声

1、第三章第三章 振动、波动和声振动、波动和声 广义振动广义振动：任一物理量：任一物理量( (如位移、电流等如位移、电流等) )在某一在某一 数值附近反复变化。数值附近反复变化。 振动分类振动分类 非线性振动非线性振动线性振动线性振动 受迫振动受迫振动自由振动自由振动 机械振动机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动。：物体在一定位置附近作来回往复的运动。 3-1 简谐振动简谐振动 简谐振动简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其所受：一个作往复运动的物体，如果其所受 的回复力跟离开平衡位置的位移成正比方向相反。的回复力跟离开平衡位置的位移成正比方向相反。 一、简谐振动的基本特征及其表示一、简谐

2、振动的基本特征及其表示 kxF 弹簧振子模型弹簧振子模型 弹簧振子：弹簧弹簧振子：弹簧物体系统物体系统 平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置 轻弹簧轻弹簧质量忽略不计，形变满足胡克定律质量忽略不计，形变满足胡克定律 物体物体可看作质点可看作质点 k x O m kxF 2 2 dt xd mkx m k 2 简谐振动简谐振动 微分方程微分方程 0 2 2 2 x dt xd 其通解为：其通解为： )tcos(Ax 0 0 2 2 2 x dt xd 简谐振动的微分方程简谐振动的微分方程 简谐振动的运动学方程简谐振动的运动学方程 )tsin()tcos( 2

3、00 2 0 )tsin(x 二、二、描述简谐振动的特征量描述简谐振动的特征量 )tcos(Ax 0 1 1、振幅、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位简谐振动物体离开平衡位置的最大位 移（或角位移）的绝对值。移（或角位移）的绝对值。 )tsin(Av 0 00 0vv ,xx,t 初始条件初始条件 00 cosAx 0 0 sin A v 20 2 0 ) v (xA 频率频率 ：单位时间内振动的次数。单位时间内振动的次数。 2、周期周期 、频率、角频率频率、角频率 对弹簧振子对弹簧振子 2 1 T 角频率角频率 2 2 T k m T 2 m k 2 1 m k 周期周期T ：物体完

4、成一次全振动所需时间。物体完成一次全振动所需时间。 00 )Tt(cosA)tcos(A 2 T )tsin(Av 0 0 是是t =0时刻的位相时刻的位相初位相初位相 00 0 cosAxt 时时 00 sinAv 0 0 0 x v tan 3、位相和初位相位相和初位相 )tcos(Ax 0 位相，决定谐振动物体的运动状态位相，决定谐振动物体的运动状态 0 t 位相差位相差 两振动位相之差。两振动位相之差。 12 当当=2k ,k=0,1,2,两振动步调相同两振动步调相同, ,称称同相同相 当当 = (2k+1) , k=0,1,2. 两振动步调相反两振动步调相反, ,称称反相反相 0 2

5、 超前于超前于 1 或或 1滞后于滞后于 2 位相差反映了两个振动不同程度的参差错落位相差反映了两个振动不同程度的参差错落 三、简谐振动的三、简谐振动的旋转矢量表示法旋转矢量表示法 0 t = 0 A x t+ 0 t = t A )tcos(Ax 0 o X )tcos(a)tcos(Aa m 00 2 )tcos(Ax 0 )tcos(v)tsin(Av m 2 00 谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系 t o T a v x .avx T/4T/4 例：例： 一质点沿一质点沿x 轴作简谐振动，振幅轴作简谐振动，振幅A= 0.12 m，周期，周

6、期 T= 2 s， 当当t = 0 时，质点对平衡位置的位移时，质点对平衡位置的位移 x0 = 0.06 m, 此时刻质点向此时刻质点向x 正向运动。求此简谐振动的表达式。正向运动。求此简谐振动的表达式。 解解取平衡位置为坐标原点。取平衡位置为坐标原点。 )cos(tAx 由题设由题设T= 2 s，则，则, T 2 A= 0.12 m 由初条件由初条件 x0 = 0.06 m，v0 0 得得,cos 0 Ax 0,Av0 sin 2 1 A x cos 0 3 5 , 3 0, sin 3 5 简谐振动的表达式为简谐振动的表达式为 ) 3 5 cos(12. 0 tx 设简谐振动的表达式为设简

7、谐振动的表达式为 例例 已知某简谐振动的已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如图速度与时间的关系曲线如图 所示，试求其振动方程。所示，试求其振动方程。 431. 431. 715. 715. 0 1)(st )( 1 cmsv 解：方法解：方法1 1 00 715 cms.sinAv )tcos(Ax 0 设振动方程为设振动方程为 0 0 2 0 cosAa 1 431 cmsvA m . 2 1 431 715 0 0 . . A v sin 6 5 6 0 或或 00 00 cos,a则则 6 0 1 7151 cmsvt. 2 1 6 1 m v v A v )sin( 6 11 6

8、7 6 1或 01 0 0 1 )cos( ,a 则则 6 7 6 1 1 143 s. cm v A m 10 143 431 . . 故振动方程为故振动方程为cmtx)cos( 6 10 方法方法2： 用旋转矢量法辅助求解。用旋转矢量法辅助求解。 )cos( tAx )cos()sin( 2 tvtAv m 1 431 cmsAvm. 0 t st1 2 v o v的旋转矢量的旋转矢量 与与v轴夹角表轴夹角表 示示t 时刻相位时刻相位 2 t 由图知由图知 3 2 2 6 1 1 s cm v A m 10 143 431 . . cmtx)cos( 6 10 以弹簧振子为例以弹簧振子为例

9、 谐振动系统的能量谐振动系统的能量=系统的动能系统的动能Ek+系统的势能系统的势能Ep 某一时刻，谐振子速度为某一时刻，谐振子速度为v，位移为位移为x )tsin(Av 0 )tcos(Ax 0 2 2 1 mvE k )t(sinkA 0 22 2 1 2 2 1 kxE p )t(coskA 0 22 2 1 谐振动的动能和势能是时间的周期性函数谐振动的动能和势能是时间的周期性函数 四、四、 简谐振动的能量简谐振动的能量 一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成一、同方向、同频率的两个简谐振动的合成 合振动是简谐振动合振动是简谐振动, , 其频率仍为其频率仍为 )cos(AAAAA 1020

10、21 2 2 2 1 2 202101 202101 0 coscos sinsin tg AA AA )tcos(A)t(x 1011 )tcos(A)t(x 2022 )tcos(Ax xxx 0 21 质点同时参与同方向同频率质点同时参与同方向同频率 的谐振动的谐振动 : : 合振动合振动 : : 3-2 简谐振动的合成简谐振动的合成 2 A 1 A A 10 20 0 1 x2 x x 1 M 2 M M 如如 A1=A2 , , 则则 A=0 ,kk2102 1020 两分振动相互加强两分振动相互加强 21 AAA ,k)k(21012 1020 两分振动相互减弱两分振动相互减弱 2

11、1 AAA 分析分析 若两分振动同相：若两分振动同相： 若两分振动反相若两分振动反相: : )cos(AAAAA 102021 2 2 2 1 2 合振动不是简谐振动合振动不是简谐振动 式中式中tAtA) 2 cos(2)( 12 tt) 2 cos(cos 12 随随t 缓变缓变 随随t 快变快变 合振动可看作振幅缓变的简谐振动合振动可看作振幅缓变的简谐振动 二二. . 同方向不同频率简谐振动的合成同方向不同频率简谐振动的合成-拍拍 分振动分振动)tcos(Ax 11 )tcos(Ax 22 合振动合振动 )tcos(t )cos(Ax 22 2 1212 21 xxx 当当 2 1时时,

12、,ttAxcos)(则：1212 拍拍 合振动忽强忽弱的现象合振动忽强忽弱的现象 拍频拍频 : : 单位时间内强弱变化的次数单位时间内强弱变化的次数 =| 2- 1| x t t x2 t t x1 t t 12 拍拍 12 2 T或或： 三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成三、两个相互垂直的同频率简谐振动的合成 合振动合振动 )(sin)cos( A y A x A y A x 1020 2 1020 21 2 2 2 2 1 2 2 分振动分振动 )tcos(Ax 101 )tcos(Ay 202 0(1) 1020 0 2 21 ) A y A x ( x A A y 1 2 合振动的

13、轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且 在第一、第三象限内的直线在第一、第三象限内的直线 1 2 A A 斜斜率率 质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移 讨论讨论 )(sin)cos( A y A x A y A x 1020 2 1020 21 2 2 2 2 1 2 2 y x )tcos(AAyxS 2 2 2 1 22 1020 (2)0 2 21 ) A y A x (x A A y 1 2 合振动的轨迹为通过原点且合振动的轨迹为通过原点且 在第二、第四象限内的直线在第二、第四象限内的直线 1 2 A A 斜斜率率 质点离开平衡位置的位移质点离开平衡位置的位移 )(sin)

14、cos( A y A x A y A x 1020 2 1020 21 2 2 2 2 1 2 2 y x )tcos(AAyxS 2 2 2 1 22 2 (3) 1020 1 2 2 1 2 A y A x 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴和y轴轴 为轴线的椭圆为轴线的椭圆 )tcos(Ax 101 质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。质点沿椭圆的运动方向是顺时针的。 )(sin)cos( A y A x A y A x 1020 2 1020 21 2 2 2 2 1 2 2 y x )tcos(Ay 2 101 y x 2 (4) 1020 合振动的轨迹为以合振动的轨迹为以x轴和轴

15、和y轴轴 为轴线的椭圆为轴线的椭圆 )tcos(Ax 101 质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。质点沿椭圆的运动方向是逆时针的。 )(sin)cos( A y A x A y A x 1020 2 1020 21 2 2 2 2 1 2 2 )tcos(Ay 2 101 0 时，逆时针方向转动。时，逆时针方向转动。 0时，顺时针方向转动。时，顺时针方向转动。 *四、两个相互四、两个相互垂直方向不同频率的简谐振动的合成垂直方向不同频率的简谐振动的合成 如果两个分振动如果两个分振动 的频率相差较大，的频率相差较大， 但有简单的整数但有简单的整数 比关系，这时合比关系，这时合 振动为有一定规振动为有一

16、定规 则的稳定的闭合则的稳定的闭合 曲线，这种曲线曲线，这种曲线 称为利萨如图形称为利萨如图形 一、一、 阻尼振动阻尼振动 阻阻 尼尼 振振 动动 能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。能量随时间减小的振动称阻尼振动或减幅振动。 摩擦阻尼：摩擦阻尼： 系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的系统克服阻力作功使振幅受到摩擦力的 作用，系统的动能转化为热能。作用，系统的动能转化为热能。 辐射阻尼：辐射阻尼： 振动以波的形式向外传波，使振动能量振动以波的形式向外传波，使振动能量 向周围辐射出去。向周围辐射出去。 3-3 阻尼振动阻尼振动 受迫振动受迫振动 共振共振 阻尼振动的振动方程阻尼振动的振动方程

17、（系统受到弱介质阻力而衰减）（系统受到弱介质阻力而衰减） 振子动力学方程振子动力学方程 2 2 dt xd m dt dx kx 振子受阻力振子受阻力 dt dx vf r 02 2 0 2 2 x dt dx dt xd m k 0 系统固有角频率系统固有角频率 m2 阻尼系数阻尼系数 弱介质阻力是指振子运动速度较低时，弱介质阻力是指振子运动速度较低时， 介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比介质对物体的阻力仅与速度的一次方成正比 阻力系数阻力系数 弱阻尼弱阻尼 每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢，每一周期内损失的能量越小，振幅衰减越慢， 周期越接近于谐振动。周期越接近于谐振动。 0 )

18、tcos(eAx t 00 2 2 0 0 2 2 0 222 T 阻尼振动的振幅按指数衰减阻尼振动的振幅按指数衰减 阻尼振动的准周期阻尼振动的准周期 二、二、 受迫振动受迫振动 受迫振动受迫振动 振动系统在周期性外力作用下的振动。振动系统在周期性外力作用下的振动。 弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程弱阻尼谐振子系统在策动力作用下的受迫振动的方程 ptcosF td dx kx td xd m 0 2 2 tpcosfx td dx td xd 2 0 2 2 2 令令 m k 0 周期性外力周期性外力策动力策动力ptcosFF 0 m F f 0 m2 稳定解稳定解)ptcos(

19、Ax (1)频率频率: : 等于策动力的频率等于策动力的频率 (2)振幅振幅: : 2/122222 0 4)(pp f A (3)初相初相: : 22 0 2 p p tg 特点特点: :稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化稳态时的受迫振动按简谐振动的规律变化 )ptcos(A)t(coseAx t 00 阻尼振动阻尼振动 简谐振动简谐振动 三、三、共振共振 在一定条件下在一定条件下, , 振幅出现极大值振幅出现极大值, , 振动剧烈的现象。振动剧烈的现象。 1 1、位移共振、位移共振 (1)共振频率共振频率 : : 22 0 2 r p (2)共振振幅共振振幅 : : 22 0 2 f A

20、r 2、速度共振、速度共振 一定条件下一定条件下, , 速度振幅极大的现象。速度振幅极大的现象。 速度共振时，速度与速度共振时，速度与 策动力同相，一周期策动力同相，一周期 内策动力总作正功，内策动力总作正功， 此时向系统输入的能此时向系统输入的能 量最大。量最大。 0 r p2fvmr )ptsin(pAv 2222 2 0 4)(pp pf pAvm 波动波动是一切微观粒子的属性，是一切微观粒子的属性， 与微观粒子对应的波称为与微观粒子对应的波称为物质波物质波。 各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性，各种类型的波有其特殊性，但也有普遍的共性， 有类似的波动方程。有类似的波动方程。 机械

21、振动在介质中的传播称为机械振动在介质中的传播称为机械波机械波。 声波、水波声波、水波 3-4 机械波的产生和传播机械波的产生和传播 一、机械波产生的条件一、机械波产生的条件 如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹如果波动中使介质各部分振动的回复力是弹 性力，则称为弹性波。性力，则称为弹性波。 弹性力：弹性力： 有正弹性力（压、张弹性力）和切弹有正弹性力（压、张弹性力）和切弹 性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切性力；液体和气体弹性介质中只有正弹性力而没有切 弹性力。弹性力。 1 1、有作机械振动的物体，即波源、有作机械振动的物体，即波源 2、有连续的介质、有连续的介质 二、纵波和横波

22、二、纵波和横波 横波横波振动方向与传播方向垂直，如电磁波振动方向与传播方向垂直，如电磁波 纵波纵波振动方向与传播方向相同，如声波。振动方向与传播方向相同，如声波。 0 t 4/Tt 2/Tt 43 /Tt Tt 45 /Tt 横波在介质中传播时，介质中产生横波在介质中传播时，介质中产生切变切变，只能在，只能在固体固体 中传播。中传播。 纵波在介质中传播时，介质中产生纵波在介质中传播时，介质中产生容变容变，能在，能在固体固体、 液体液体、气体气体中传播。中传播。 结论：机械波向外传播的是波源（及各质点）结论：机械波向外传播的是波源（及各质点） 的振动状态和能量。的振动状态和能量。 三、波线和波面

23、三、波线和波面 波场波场-波传播到的空间。波传播到的空间。 波面波面-波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹。 波前（波阵面）波前（波阵面）-某时刻波源最初的振动状态某时刻波源最初的振动状态 传到的波面。传到的波面。 波线（波射线）波线（波射线）-代表波的传播方向的射线。代表波的传播方向的射线。 各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直各向同性均匀介质中，波线恒与波面垂直. . 沿波线方向各质点的振动相位依次落后。沿波线方向各质点的振动相位依次落后。 波线波线 波面波面 波面波面 波线波线 平面波平面波 球面波球面波 波面波面 波线波线 波线波线 波波 面面 四

24、、描述波动的几个物理量四、描述波动的几个物理量 振动状态（即位相）在单位时间内传播振动状态（即位相）在单位时间内传播 的距离称为的距离称为波速波速 1 1、波速、波速 u G u 在固体媒质中在固体媒质中纵波纵波波速为波速为 E u / G、 E为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量为媒质的切变弹性模量和杨氏弹性模量 为介质的密度为介质的密度 在固体媒质中在固体媒质中横波横波波速为波速为 在同一种固体媒质中，在同一种固体媒质中，横波横波波速比波速比纵波纵波波速小些波速小些 3、波长、波长 2、波的周期、波的周期和频率和频率 12 T u uT 波的周期：一个完整波形通过介质中某固定点波的周期：一个

25、完整波形通过介质中某固定点所需所需 的时间，用的时间，用T表示。表示。 波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波波的频率：单位时间内通过介质中某固定点完整波 的数目的数目，用，用 表示。表示。 同一波线上相邻的位相差为同一波线上相邻的位相差为2 的两质点的距离的两质点的距离。 介质决定介质决定 波源决定波源决定 一、平面简谐波的波动方程一、平面简谐波的波动方程 平面简谐波平面简谐波 简谐波的波面是平面。简谐波的波面是平面。( (可当作一维简谐波研究）可当作一维简谐波研究） 3-5 波动方程波动方程 一平面简谐波在理想介质中沿一平面简谐波在理想介质中沿x轴正向传播，轴正向传播， x轴即为某一

26、波线轴即为某一波线 设原点振动表达式：设原点振动表达式： tcosAy 0 x y p u O x y表示该处质点偏离平衡位置的位移表示该处质点偏离平衡位置的位移 x为为p点在点在x轴的坐标轴的坐标 p点的振动方程：点的振动方程：) u x t(cosAy t 时刻时刻p处质点的振动状态重复处质点的振动状态重复 u x t 时刻时刻O处质点的振动状态处质点的振动状态 x y p u O x O点振动状态传到点振动状态传到p点需用点需用 u x t 沿沿x轴正向传播的平面简谐波的波动方程轴正向传播的平面简谐波的波动方程 u x 沿着波传播方向，各质点的振动依次落后于波源振动沿着波传播方向，各质点

27、的振动依次落后于波源振动 为为p点的振动落后与原点振动的时间点的振动落后与原点振动的时间 沿沿x轴负向传播的轴负向传播的 平面简谐波的波动方程平面简谐波的波动方程 ) u x t(cosAy )tcos(Ay 00 若波源（原点）振动初位相不为零若波源（原点）振动初位相不为零 ) x T t (cosAy 0 2 ) x tcosAy 0 2 2 )xut(cosAy 0 2 )xut(kcosA 0 ) u x t (cosAy 0 或或 2 k波矢波矢，表示在，表示在2 长度内所具有的完整波的长度内所具有的完整波的 数目。数目。 二、波动方程的物理意义二、波动方程的物理意义 0 ) u x

28、 t (cosAy 1、如果给定、如果给定x，即即x=x0 y O t T T x0处质点的振动初相为处质点的振动初相为 0 0 2 x 0 2 x 为为x0处质点落后于原点的位相处质点落后于原点的位相 为为x0处质点的振动方程处质点的振动方程则则y=y(t) ) x tcos(A)t(y 0 0 2 若若x0= 则则 x0处质点落后于原点的位相为处质点落后于原点的位相为2 是波在空间上的周期性的标志是波在空间上的周期性的标志 2、如果给定、如果给定t，即即t=t0 则则y=y(x) 22 12 12 xxx 00 ) u x t (cosAy 表示给定时刻波线上各质表示给定时刻波线上各质 点

29、在同一时刻的位移分布点在同一时刻的位移分布 ，即给定了，即给定了t0 时刻的波形时刻的波形 同一波线上任意两点的振动位相差同一波线上任意两点的振动位相差 X Y O u x1x2 2 1212 T t )tt( 同一质点在相邻两时刻的振动位相差同一质点在相邻两时刻的振动位相差 T是波在时间上的是波在时间上的 周期性的标志周期性的标志 3.如如x,t 均变化均变化y=y(x,t)包含了不同时刻的波形包含了不同时刻的波形 0 ) u x t (cosA)x( y x y u O x tt t x 0 ) u tux tt (cosA)tt ,xx( y t时刻的波形方程时刻的波形方程 t+ t时刻

30、的波形方程时刻的波形方程 0 ) u x tt (cosA)x( y t时刻时刻,x处的某个振动状态经过处的某个振动状态经过 t ，传播了，传播了 x的距离的距离 0 ) u x t (cosA )t , x( y)tt , xx( y 在时间在时间 t内整个波形沿波的内整个波形沿波的 传播方向平移了一段距离传播方向平移了一段距离 x 行波行波 ) t , x( y) tt , xx( y x y u O x tt t x 例例.一平面简谐波沿一平面简谐波沿x正正方向传播，振幅方向传播，振幅A10cm，圆频圆频 率率 当当t=1.0s时，位于时，位于x=10cm处的质点处的质点a经过经过 平衡

31、位置向平衡位置向y轴负方向运动。此时轴负方向运动。此时,位于位于x=20cm处的质处的质 点点b的位移为的位移为5cm, 且向且向y轴正方向运动。设该波波轴正方向运动。设该波波 长长 ，试求该波的波动方程。，试求该波的波动方程。 1 7 s cm10 解：设该波的波动方程为：解：设该波的波动方程为： )(cos u x tAy 求解的关键是求出波速求解的关键是求出波速u 及原点的初位相及原点的初位相 由题意知由题意知t=1.0s时时 07710 )cos(. u x ya0 a v 所以所以2707/. u X O a b u smu/.840 317 / 取取3/ 故得波动方程为故得波动方程

32、为 )() . (cos.m x ty 3840 710 5 . 0)/4 . 17cos( u0 b v 得得3417/. u 时，时，b点的位相只能取点的位相只能取 （还考虑了（还考虑了 以及以及 的条件。）的条件。） 3/ cm10 cmxx ab 10 注意注意a点落后于点落后于b点，故同一时刻（点，故同一时刻（t=1.0s)a点的位相点的位相 取取2/ 同理同理 X O a b u 例：如图有一平面简谐波在空间传播，已知例：如图有一平面简谐波在空间传播，已知P点的振动方程为点的振动方程为 )cos( tAyP （1）分别就图中的两种坐标写出其波动方程）分别就图中的两种坐标写出其波动方

33、程 （2）写出距）写出距P点为点为b的的Q点的振动方程点的振动方程 )(cos u l tAyO 原点的振动方程原点的振动方程 波动方程波动方程 )(cos u l u x tAy 原点的振动方程原点的振动方程 )cos( tAyO 波动方程波动方程 )(cos u x tAy O l b PQ X Y u b PQ X O Y u O l b PQ X Y u b PQ X O Y u )(cos u l u x tAy )(cos u x tAy （2）写出距）写出距P点为点为b的的Q点的振动方程点的振动方程 将将代代入入blx )(cos u b tAyQ)(cos u b tAyQ 代

34、代入入bx 将将 一一、波的能量和能量密度、波的能量和能量密度 波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振波不仅是振动状态的传播，而且也是伴随着振 动能量的传播。动能量的传播。 有一平面简谐波有一平面简谐波 0 ) u x t (cosAy 质量为质量为 在在x处取一体积元处取一体积元VVm 质点的振动速度质点的振动速度 0 ) u x t(sinA t y v 3-6 波的能量波的能量 体积元内媒质质点动能为体积元内媒质质点动能为 mvE k 2 2 1 V u x tA)(sin 2 1 0 222 体积元内媒质质点的弹性势能为体积元内媒质质点的弹性势能为 V u x tAE p )(sin

35、 2 1 0 222 体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为： pk EEE V u x tA)(sin 0 222 1）在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能 不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同不仅大小相等而且相位相同，同时达到最大，同 时等于零。时等于零。 说明说明 2）在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒。 能量密度能量密度 单位体积介质中所具有的波的能量。单位体积介质中所具有的波的能量。 )(sin 0 222 u x tA V E w 平均能量密度平均能量密度 一个周期内能量密

36、度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。 22 2 1 Aw dt) u x t(sinA T wdt T w T T 11 0 22 0 2 0 T 2sin 0 2 d V u x tAE)(sin 0 222 能流能流: :单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 截面的能量。截面的能量。 二、二、波的波的能流和能流密度能流和能流密度 波强波强 Swup 平均能流平均能流：在一个周期内能流的平均值。：在一个周期内能流的平均值。 SuwSwup 能流密度（波的强度）能流密度（波的强度）： 通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。 uw

37、S p I uAI 22 2 1 2 米米单位：瓦单位：瓦 u u S 三、三、波的吸收波的吸收 波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介波在实际介质中，由于波动能量总有一部分会被介 质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。质吸收，波的机械能不断减少，波强亦逐渐减弱。 波通过厚度为波通过厚度为dx的介质，其强度衰减量为的介质，其强度衰减量为-dI IdxdI x eII 0 处波的强度和分别是、xxxII 0 0 ,是介质的吸收系数 介质的吸收系数与介质的性质和波的频率有关介质的吸收系数与介质的性质和波的频率有关 一一、惠更斯原理惠更斯原理 惠更斯原理惠更斯原理： 介质中波阵面（波前）

38、介质中波阵面（波前） 上的各点，都可以看作上的各点，都可以看作 为发射子波的波源，其为发射子波的波源，其 后一时刻这些子波的包后一时刻这些子波的包 迹便是新的波阵面。迹便是新的波阵面。 3-7 波的叠加原理波的叠加原理 波的干涉波的干涉 t时刻波面时刻波面 t+ t时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向 如你家在大山后如你家在大山后, ,听广播和看电听广播和看电 视哪个更容易视哪个更容易? (? (若广播台、电若广播台、电 视台都在山前侧视台都在山前侧) ) 二二、波的叠加原理波的叠加原理 各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性各列波在相遇前和相遇后都保持原来的特性 （频率、波长、振动方向、

39、传播方向等）不变，（频率、波长、振动方向、传播方向等）不变， 与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振与各波单独传播时一样，而在相遇处各质点的振 动则是各列波在该处激起的振动的合成。动则是各列波在该处激起的振动的合成。 波传播的波传播的独立性原理独立性原理或波的或波的叠加原理叠加原理： 说明说明： 振动的叠加仅发生在单一质点上振动的叠加仅发生在单一质点上 波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上波的叠加发生在两波相遇范围内的许多质点上 能分辨不同的声音正是这个原因能分辨不同的声音正是这个原因 两列波若两列波若频率相同频率相同、振动方向相同振动方向相同、在相遇点的、在相遇点的 位相相同或位相差

40、恒定位相相同或位相差恒定，则合成波场中会出现某些点，则合成波场中会出现某些点 的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵的振动始终加强，另一点的振动始终减弱（或完全抵 消），这种现象称为波的干涉。消），这种现象称为波的干涉。 相干条件相干条件 具有恒定的相位差具有恒定的相位差 振动方向相同振动方向相同 两波源具有相同的频率两波源具有相同的频率 满足相干条件的波源称为相干波源。满足相干条件的波源称为相干波源。 三三、波的干涉现象和规律、波的干涉现象和规律 传播到传播到p点引起的振动分别为：点引起的振动分别为： )cos( 10110 tAy )cos( 20220 tAy 在在p点的振动为同

41、点的振动为同 方向同频率振动方向同频率振动 的合成。的合成。 设有两个相干波源设有两个相干波源S1和和S2 发出的简谐波在空间发出的简谐波在空间p点相遇。点相遇。 合成振动为：合成振动为： )tcos(Ayyy 021 )rtcos(Ay 11011 2 )rtcos(Ay 22022 2 cos2 21 2 2 2 1 2 AAAAA 其中：其中： )rr()( 121020 2 )tcos(Ay 0 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的，因而合强，因而合强 度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。度在空间形成稳定的分布，即有干涉现象。 ) r sin(A) r cos(A

42、 ) r sin(A) r sin(A tan 2 202 1 101 2 202 1 101 0 22 22 其中：其中： ,.,kk rr 3210 22 12 1020 ）（ 21max AAAA ,.,k)k()rr()(321012 2 121020 | 21min AAAA 相长干涉的条件相长干涉的条件： 相消干涉的条件相消干涉的条件： cos2 21 2 2 2 1 2 AAAAA 当两相干波源为同相波源时，相干条件写为当两相干波源为同相波源时，相干条件写为 ,.3 , 2 , 1 , 0, 12 kkrr ,.3 , 2 , 1 , 0, 2 ) 12( 12 kkrr 相长干

43、涉相长干涉 相消干涉相消干涉 称为波程差称为波程差 波的非相干叠加波的非相干叠加 21 III 例题例题 位于位于A、B两点的两个波源，振幅相等，频两点的两个波源，振幅相等，频 率都是率都是100赫兹，相位差为赫兹，相位差为 ，其，其A、B相距相距30米，米， 波速为波速为400米米/ /秒，求秒，求: :A、B连线之间因相干干涉而连线之间因相干干涉而 静止的各点的位置。静止的各点的位置。 解：如图所示，取解：如图所示，取A点为坐标原点，点为坐标原点，A、B联线为联线为X轴，轴， 取取A点的振动方程点的振动方程 : : )cos( tAyA 在在X轴上轴上A点发出的行波方程：点发出的行波方程：

44、 ) 2 cos( x tAyA B点的振动方程点的振动方程 : :) 0cos( tAyB B A X x m30 x30 O ) 2 cos( x tAyA B点的振动方程点的振动方程 : : )0cos( tAyB 在在X轴上轴上B B点发出的行波方程：点发出的行波方程： )30(2 0cos x tAyB 因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干因为两波同频率，同振幅，同方向振动，所以相干 为静止的点满足：为静止的点满足： )( )( 12 3022 k xx ,.2, 1, 0 k B A X x m30 x30 O 相干相消的点需满足：相干相消的点需满足： kx 230 m u

45、 4 因为因为： ,.2, 1, 0 215 k kx mx29,27,25,.9 , 7 , 5 , 3, 1 )12( )30(22 k xx ,.2, 1, 0 k 四、四、 驻波驻波 当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传当两列振幅相同的相干波沿同一直线相向传 播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波，播时，合成的波是一种波形不随时间变化的波， 称为驻波。称为驻波。 将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦将弦线的一端系于电动音叉的一臂上，弦 线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮线的另一端系一砝码，砝码通过定滑轮P对弦对弦 线提供一定的张力，调节刀口线提供一定的张力，调节刀口B的位置，就会的

46、位置，就会 在弦线上出现驻波。在弦线上出现驻波。 1、驻波方程、驻波方程 ) x tcos(Ay 2 1 ) x tcos(Ay 2 2 tcos x cosAyyy 22 21 tcos)x(Ay x AxA2cos2)( )x, t ( y)tux, tt ( y 函数不满足函数不满足它不是行波它不是行波 它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频它表示各点都在作简谐振动，各点振动的频 率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的率相同，是原来波的频率。但各点振幅随位置的 不同而不同。不同而不同。 驻波的驻波的特点特点：不是振动的传播，而是媒质中各质：不是振动的传播，而是媒质中各质 点都作稳定的

47、振动。点都作稳定的振动。 tcos)x(Atcos x cosAy 22 tcos)x(Ay 12cos x x AxA2cos2)( 振振幅幅最最大大，波波腹腹AxA2)( k x 2 ,kkx210 2 02cos x 振振幅幅最最小小，波波节节0)( xA )k( x 2 1 2 ,k)k(x210 22 1 （1 1）、波腹与波节）、波腹与波节 驻波振幅分布特点驻波振幅分布特点 2、驻波的特点、驻波的特点 相邻波腹间的距离为：相邻波腹间的距离为：22 1 k |kx 相邻波节间的距离为：相邻波节间的距离为：2 x 相邻波腹与波节间的距离为：相邻波腹与波节间的距离为： 4 因此可用测量波

48、腹间的距离，来确定波长。因此可用测量波腹间的距离，来确定波长。 ,kkx210 2 波波腹腹 ,k)k(x210 22 1 波波节节 txAy cos 2 cos2 （2）、驻波的位相的分布特点、驻波的位相的分布特点 时间部分提供的相位对于所有的时间部分提供的相位对于所有的 x是相同的，是相同的， 而空间变化带来的相位是不同的。而空间变化带来的相位是不同的。 在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或在波节两侧点的振动相位相反。同时达到反向最大或 同时达到反向最小。速度方向相反。同时达到反向最小。速度方向相反。 两个波节之间的点其振动相位相同。同时达到最大或两个波节之间的点其振动相位相同。

49、同时达到最大或 同时达到最小。速度方向相同。同时达到最小。速度方向相同。 3-8 3-8 声波声波 声波：客观上是声振动在弹性介质中的传播，主观上声波：客观上是声振动在弹性介质中的传播，主观上 是这种物理现象可引起人的听觉。是这种物理现象可引起人的听觉。 声波：可听声声波：可听声 频率频率 20Hz20000Hz 次声次声 频率频率20000Hz 声波是纵波，可在固、液、气态中传播声波是纵波，可在固、液、气态中传播 声的主要特征量声的主要特征量 ：频率和声压：频率和声压 一、声压、声强和声强级一、声压、声强和声强级 1声压：当声波在介质中传播时，介质的密度声压：当声波在介质中传播时，介质的密度

50、 作周期性变化，稠密时压强大，稀疏时压强小，在作周期性变化，稠密时压强大，稀疏时压强小，在 某一时刻，介质中某一点的压强与无声波时的压强某一时刻，介质中某一点的压强与无声波时的压强 之差。之差。 若若声波方程为：声波方程为： u x tAycos 则则可以证明：可以证明： 2 cos u x tAuP 声压的幅声压的幅值：值：AuP max 2声阻抗声阻抗 u v P v P z m m 声阻抗是表征介质声学特性的一个重要物理量声阻抗是表征介质声学特性的一个重要物理量 声压的单位即压强的单位声压的单位即压强的单位N/m2,声阻抗的单位是声阻抗的单位是kg.m-2.s-1。 讨论：（讨论：（1）

51、声压与介质振动速度具有相同位相，）声压与介质振动速度具有相同位相， （2）声压超前位移）声压超前位移 /2， （3）声压与）声压与f成正比；成正比； （4）声压一定，声阻抗与介质振动速度幅值成反比，）声压一定，声阻抗与介质振动速度幅值成反比， （5）要注意声速与介质振动速度区别。）要注意声速与介质振动速度区别。 3. 声强：声强：单位时间通过单位面积（与声速垂直）的平单位时间通过单位面积（与声速垂直）的平 均能量，也叫能流密度。均能量，也叫能流密度。 2 max 22 max22 2 1 22 1 2 1 zv z P u P AuI m 例：例：1000hz的痛域强度的痛域强度 I=1W/m2 )(120 10 1 lg10 12 dBL 则 在听觉区域中，声强差别很大，但人耳主观感觉差别在听觉区域中，声强差别很大，但人耳主观感觉差别 并没有这样大。因此用声强级来表示声音强度的等级。并没有这样大。因此用声强级来表示声音强度的等级。 4声强级：声强级： )(lg10)(lg 00 dB I I B I I L )10( 2 12 0 标准参考强度 m W