《现代金融经济学》第10章期权定价模型

1、第第1010章章 期权定价模型期权定价模型 复合证券和衍生证券的定价原则复合证券和衍生证券的定价原则 布莱克布莱克舒尔斯舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式期权定价公式 期权定价公式的应用期权定价公式的应用 前提假设：前提假设： 经济行为主体及其效用函数的假设经济行为主体及其效用函数的假设 证券市场组成的假设证券市场组成的假设 证券市场的均衡消费配置是帕累托最优的证券市场的均衡消费配置是帕累托最优的 在以上假设下，我们可以构建一个具有严格凹的增效用函数在以上假设下，我们可以构建一个具有严格凹的增效用函数 u0 和和u1 的代表性经济行为主体。并由此推导出的代表性经济行为主体。并由此

2、推导出证券的风险证券的风险 补偿均衡关系：补偿均衡关系： 也即风险证券也即风险证券j的风险补偿为正值的充分必要条件是其时期的风险补偿为正值的充分必要条件是其时期1 的随机收益与时期的随机收益与时期1的总财富正相关。的总财富正相关。 )( / ) ( ,()1 ( 001 CuCurCovrrrE jffj )( /) ( ,()1( 001 CuMurCovrrrE jffj 利用效用函 数的特点 + (10.9) 即在证券市场均衡即在证券市场均衡时，证券时，证券j 的风险补偿和市场组合的风险的风险补偿和市场组合的风险 补偿成比例。其比例系数等于补偿成比例。其比例系数等于rj和和 的协方差与的

3、协方差与rm和和 的协方差之比的协方差之比 )( / ) ( ,()1 ( 001 CuMurCovrrrE mffm ) ( ,( ) ( ,( 1 1 fm m j fj rrE MurCov MurCov rrE ) ( 1 Mu ) ( 1 Mu 效用函数为幂函数时的定价关系效用函数为幂函数时的定价关系 假设经济行为主体在时期假设经济行为主体在时期1的效用函数为幂函数的效用函数为幂函数 当当B = -1时，经济行为主体的效用函数为二次效时，经济行为主体的效用函数为二次效 用函数，上式变为我们所熟悉的用函数，上式变为我们所熟悉的CAPM关系式。关系式。 当当B = -1/2时，代表性的经

4、济行为主体时期时，代表性的经济行为主体时期1的消的消 费的效用函数为三次函数费的效用函数为三次函数 B ii BzA B zu /11 )( 1 1 )( 3 1 ) 2 1 ( 3 2 )(zAzu 由期权的性质我们可以判断期权的现时价格由期权的性质我们可以判断期权的现时价格 并不依赖于经济行为主体的效用函数和标的证券的未来收并不依赖于经济行为主体的效用函数和标的证券的未来收 益分布。益分布。 以上严格不等式背后隐含的直观经济含义如下：以上严格不等式背后隐含的直观经济含义如下： 一个必须执行的，以执行价格一个必须执行的，以执行价格k在时期在时期1购买购买1个单位的标个单位的标 的证券的证券j

5、的义务，其现值为的义务，其现值为pj k /(1+rf)。 当存在一个严格正值的概率使得当存在一个严格正值的概率使得 严格小于严格小于k时，不用时，不用 执行购买的选择权就具有严格正的价值。执行购买的选择权就具有严格正的价值。 0, 1 max),( f jjj r k pkpv j x 从纯粹市场套利的观点来讨论的期权从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质价格的一些性质 一支期权的价格是其执行价格的凸函数。可以证明，这个一支期权的价格是其执行价格的凸函数。可以证明，这个 性质在更加一般的条件下也成立，也即性质在更加一般的条件下也成立，也即 一一支标的资产为正值权重的证券组合，执行价

6、格为支标的资产为正值权重的证券组合，执行价格为k的期的期 权，其价值要小于以组合中的证券为标的资产，执行价格权，其价值要小于以组合中的证券为标的资产，执行价格 同样为同样为k 的相同权重的期权组合的价值。的相同权重的期权组合的价值。 ),() ,()1 (),(kpvkpvkpv jjjjjj J j jjj kpvkpv 1 * ),(, 从纯粹市场套利的观点来讨论的期权从纯粹市场套利的观点来讨论的期权 价格的一些性质价格的一些性质 这里我们将首先证明，在标的证券或标的资产的未来收这里我们将首先证明，在标的证券或标的资产的未来收 益率分布业已固定的情况下，一个买入期权的价格是其益率分布业已固

7、定的情况下，一个买入期权的价格是其 标的证券或标的资产的价格的增函数和凸函数。标的证券或标的资产的价格的增函数和凸函数。 第一个证明是：看涨期权的价格第一个证明是：看涨期权的价格vj (pj, k)是是pj的增函数，的增函数， 并且如果并且如果 k的概率严格为正，则的概率严格为正，则vj (pj, k)是是pj的严格的严格 增函数。增函数。 第二个证明是：第二个证明是：vj (pj, k)是是pj的凸函数。的凸函数。 j x 前提假设前提假设 两期的证券市场经济两期的证券市场经济 经济行为主体的效用函数如关系式经济行为主体的效用函数如关系式(10.12)所定义所定义 在时期，我们赋予经济行为主

8、体消费物品和市场交在时期，我们赋予经济行为主体消费物品和市场交 易证券易证券 选择一个代表性的经济行为主体，使其效用函数为幂选择一个代表性的经济行为主体，使其效用函数为幂 函数函数 进一步假设进一步假设 和和 服从二维对数正态分布。服从二维对数正态分布。 0 1 I i i A BB z B z B zuzu 1 1 1 00000 1 1 1 1 布莱克布莱克- -舒尔斯舒尔斯(Black-Scholes)(Black-Scholes)期权定价公式期权定价公式 的推导的推导 j x C 求得布莱克求得布莱克-舒尔斯舒尔斯(Black-Scholes)期权定价公式期权定价公式 如下：如下： )

9、()1 ()(),( 1 kfjkjjj ZkNrZNpkpv j j fj k rkp Z 2 1 )1ln()/ln( 几点几点说明：说明： 期权定价期权定价公式是在一种特定假设的经济中推导的，在这种经济公式是在一种特定假设的经济中推导的，在这种经济 中，经济行为主体的效用函数是具有相同谨慎度中，经济行为主体的效用函数是具有相同谨慎度B的线性风险容的线性风险容 忍效用函数，并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券。忍效用函数，并且假定经济行为主体的初始收入只是交易证券。 在市场均衡时，每个经济行为主体都持有一支无风险证券和市在市场均衡时，每个经济行为主体都持有一支无风险证券和市 场组合构

10、成的线性组合，并且实现了帕累托最优。这样，如果场组合构成的线性组合，并且实现了帕累托最优。这样，如果 一个以某支证券为标的的买入期权被引入经济中，在市场均衡一个以某支证券为标的的买入期权被引入经济中，在市场均衡 时就没有人需要这支期权。时就没有人需要这支期权。 这就是说，只要期权是按照关系式这就是说，只要期权是按照关系式(10.32)和和(10.35)式定价的，那式定价的，那 么，在经济处于均衡时，引入一个买入期权，初始的均衡就不么，在经济处于均衡时，引入一个买入期权，初始的均衡就不 会遭到破坏。会遭到破坏。 期权的定价使得在均衡时的经济中没有一个行为主体对其有所期权的定价使得在均衡时的经济中

11、没有一个行为主体对其有所 需求。在这样的背景下，期权在经济均衡时就没有配置资源的需求。在这样的背景下，期权在经济均衡时就没有配置资源的 作用，因而有时就被称为多余证券或资产。作用，因而有时就被称为多余证券或资产。 证券定价的两个基本方法：证券定价的两个基本方法： 均衡方法和无套利方法均衡方法和无套利方法 均衡均衡是从相互作用的经济行为主体的活动中产生，所以需要对是从相互作用的经济行为主体的活动中产生，所以需要对 经济主体效用函数作出假设。经济行为主体的效用函数被假定经济主体效用函数作出假设。经济行为主体的效用函数被假定 为是具有相同谨慎度为是具有相同谨慎度B的线性风险容忍效用函数，并且假定经济

12、的线性风险容忍效用函数，并且假定经济 行为主体的初始收入只是交易证券。行为主体的初始收入只是交易证券。 无套利方法无套利方法是基于无套利原理是基于无套利原理在没有套利机会的金融市场中，在没有套利机会的金融市场中， 两个期末收益相同的证券在任一时刻的交易价格应该相等。它两个期末收益相同的证券在任一时刻的交易价格应该相等。它 只对价格进行比较，所以与行为主体效用函数无关。不管什么只对价格进行比较，所以与行为主体效用函数无关。不管什么 样的效用主体，只要市场是完全和有效的，则其价格关系必须样的效用主体，只要市场是完全和有效的，则其价格关系必须 满足无套利原理。满足无套利原理。 无套利原理的核心思想是

13、我们能用交易的证券完全复制一个证无套利原理的核心思想是我们能用交易的证券完全复制一个证 券，并因此给该证券定价。但无套利方法并不总是可以使用，券，并因此给该证券定价。但无套利方法并不总是可以使用， 有时我们无法使用无套利方法。但却可以使用均衡方法。有时我们无法使用无套利方法。但却可以使用均衡方法。 均衡方法为分析市场和证券定价提供了更一般的框架，也是一均衡方法为分析市场和证券定价提供了更一般的框架，也是一 以贯之地在本书中得到体现和强调的思想逻辑主线。该方法把以贯之地在本书中得到体现和强调的思想逻辑主线。该方法把 证券的价格更多地与基本经济概念联系起来，即使是最简单的证券的价格更多地与基本经济

14、概念联系起来，即使是最简单的 确定性模型，也可导出资产价格关于经济参数的表达式。正是确定性模型，也可导出资产价格关于经济参数的表达式。正是 在这种意义上，均衡方法比无套利方法更基本，因为后者假定在这种意义上，均衡方法比无套利方法更基本，因为后者假定 价格是给定的，而均衡方法则可以说明价格的起因。价格是给定的，而均衡方法则可以说明价格的起因。 期权定价公式的一个比较典型的应用是对于有风险期权定价公式的一个比较典型的应用是对于有风险 的公司债券的定价研究。的公司债券的定价研究。 前提假设前提假设 假设公司假设公司j 有个单位的普通股股票和一支面值为有个单位的普通股股票和一支面值为k 的贴现的贴现

15、债券在外流通。债券在外流通。 股票和债券的价格分别为股票和债券的价格分别为Sj和和Dj，贴现公债在，贴现公债在时期到期。时期到期。 公司公司j 在时期的总收入为在时期的总收入为 ，我们假设，我们假设 与时期的总与时期的总 消费消费 构成联合对数正态分布，并且这个分部的参数和我构成联合对数正态分布，并且这个分部的参数和我 们上一节的讨论相同。们上一节的讨论相同。 的现值是该公司在时期的价值，我们用的现值是该公司在时期的价值，我们用Vj来表示，因此，来表示，因此， Vj = Sj+Dj。 j x j x C j x 运用关系式（）计算运用关系式（）计算Dj 可得：可得： 同时，我们也可以用布莱克同

16、时，我们也可以用布莱克-舒尔斯期权定价公式舒尔斯期权定价公式 以一种更直接和直观的方式来计算以一种更直接和直观的方式来计算Dj B j C C kxED 0 , min )()1 ()(1 ( 1 kfjkjjjj ZkNrZNVSVD 我们对有风险的公司债券可以作出两种解我们对有风险的公司债券可以作出两种解 释释 第一种第一种 第二种第二种 (10.44) 0 , max , minkxxkx jjj )45.10(0 , max, min jj xkkkx 在推导布莱克在推导布莱克-舒尔斯期权定价公式的条件下，我们总可舒尔斯期权定价公式的条件下，我们总可 以利用关系式以利用关系式(10.3

17、2)和（）对以总消费量或总财富为标和（）对以总消费量或总财富为标 的的欧式买入期权进行定价。依据第章的讨论我们知的的欧式买入期权进行定价。依据第章的讨论我们知 道，可以利用这些期权价格对任何复合证券进行定价。道，可以利用这些期权价格对任何复合证券进行定价。 qc(k)的的一个比较静态分析一个比较静态分析 从从qc(k)在不同的在不同的k 之下的结构提取一些信息之下的结构提取一些信息 以上分析表明，用布莱克以上分析表明，用布莱克-舒尔斯期权定价公式对以总消舒尔斯期权定价公式对以总消 费量为标的的欧式看涨期权进行正确定价的充分条件是，费量为标的的欧式看涨期权进行正确定价的充分条件是， 时期的总消费量服从对数正态分布，并且代表性经济时期的总消费量服从对数正态分布，并且代表性经济 行为主体的相对风险厌恶是固定的。行为主体的相对风险厌恶是固定的。 我们知道，一个以对总消费量的状况权证的定价概率密我们知道，一个以对总消费量的状况权证的定价概率密 度被该总消费水平发生的概率密度除的结果就是，以就度被该总消费水平发生的概率密度除的结