推荐下载山西省太原市高中数学竞赛解题策略-几何分册第5章直角三角形中直角边所在直线上的点

1、第5章 直角三角形中直角边所在直线上的点直角三角形中直角边所在直线上的点有如下的结论，作为其性质介绍如下：性质 设D是直角ABC （NC=90 口）的直角边BC所在直线上一点（异于 B）,则_2 2 _ 22 _ 2AB =DB +DA - 2DB DC = DB + DA -2DB DC .图5-1证明 对于图5-1 (1),当点D在BC的延长线上时，由勾股定理，有_22_ 2AB = BC CA 2_ 22=BC DA -DC= (BC2 DC2 2BC DC) DA2 -2DC2 -2BC DC二(BC DC)2 DA2 -2(DC BC) DC2_2=BD +DA -2DB DC .当

2、点D在CB的延长线上时，类似地有_ 22_22AB =BC DA -DC二 (BC2 DC2 -2BC DC) DA2 -2DC2 2BC DC二 (DC - BC)2 DA2 -2(DC -BC)DC 2_2=BD +DA -2DB DC .对于图5 -1 (2),当D在边BC上时，类似地有 2_ 22_ 2AB =BC DA -DC二(BC2 DC2-2BC DC) DA2-2DC2 2BC DC _ 22_= (BC -DC) DA 2(BC -DC) DC 22_=BD +DA +2DB DC .显然，在图5 -1中，若点D与点C重合，则DC =0 ,有届2 C 2A+ 2 ，此即为勾

3、股定理.因 此，我们可把上述性质称为广勾股定理.由上述性质，还可得如下推论：注： 也 可 运 用 余 弦 定 理 证：AB2 =DB2 DA2 -2DB DA cos,ADB =BD2 DA2-2DB DA cosADC22= DB2 +DA2-2DB DC .推论1三角形一边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和，视其该边所对的角是直角、 锐角或钝角而定.推论2 三角形的一角是直角、锐角或钝角，视其该角所对的边的平方等于、小于或大于其他两边的平方和而定.下面给出三角形的广勾股定理应用的例子.1.直接在直角三角形中用例1（三角形的中线长公式）三角形一边上的中线长的平方，等于其他两条边长的平方和

4、之半减去该边长平方的四分之一.证明 如图5-2 , O为4ABC的边AB的中点，作CD_LAB于D .分别在 AAOC和OBC 中应用广勾股定理（即（5-1）式），有_22_2_AC =OC AO 2OA OD2 1 _2_=OC +AB +AB OD , 4 _22_2_BC =OC OB -2OB OD212_=OC +AB -AB OD . 4由上述两式相加，得 OC2 =1（AC2 +BC2） 1 AB2 .24例2 （平行四边形边长与对角线长关系）平行四边形各边的平方和等于两对角线的平方和.事实上，在图5-2中，将CO延长至E,使OE=OC,则四边形 AEBC为平行四边形，由三角形中

5、线长公式，即得 2（AC2+BC2）=AB2+CE2 .例3 （定差哥线定理）设MN, PQ是两条线段，则MN_LPQ勺充要条件为PM2 - PN2=QM2- QN证明 必要性.如图5-3,若MN _L PQ ,则可设MN _L PQ于D .图5-3分别在4MQP , APQN中应用广勾股定理，有PM 2 =QM 2 +PQ2 -2QP QD ,I.I2_2_ 2PN =QN +PQ _2QP QD .上述两式相减，得 PM 2 -PN 2 =QM 2 -QN 2.充分性.当 PM2 PN2 =QM 2 QN2时，如图5_4 .P图5-4设R, S,T, K, E, F分别为ON , NP ,

6、 PM, MQ . PQ , MN的中点，将这些中点联结如图，则KRST , RFTE , KFSE均为平行四边形.由例2的结论，有2(KF 2 +KE2) =EF2 +KS2 , 2(ER2 +RF2)22=EF +RT .由题设有 PM 2 +QN2 =PN2+QM2 ,即有 4KE2 +4KF2 =4ER2+4RF2 .上述三式整理得 KS2 =RT2 ,即KS = RT,从而KRST为矩形，有 KT _L KR .而 KT / PQ , KR II MN ,故 MN 1PQ .例4 如图 5-5,在 RtABC 中，/ACB=90 点 D 在边 CA 上，使得 CD=1, DA=3,

7、且 /BDC =3/BAC .求 BC 的长.图5-5解 由 /BDC =3/BAC ,知 /ABD =2/BAC .过点B作/ABD的平分线交DA于E,则4AEB为等腰三角形.令 AE = x，则BE=x，且DE =3x .分别对 AEBC, 4ABC应用广勾股定理，有2222x =BE =BD DE 2DE DC22_=BD +(3x) +2(3x),2_ .一BD =8x_15.2AB=BD +DA +2DA DC =8x15+9+2 ,3=8x .又由角平分线性质，有BD DE28x -15 (3-x)BA EA8x24x =一11从而 BC =；BD -CD二 8x -16=4行为所

8、求.112.作出垂线，构造新直角三角形如图56,已知在 ABC中，ZACB=90.(1)(2)(3)解（不含端点）时，求证:2-BD AD - BD如图所示，当点 D在斜边AB上CD2BC2当点D与点A重合时，（1） 当点D在BA的延长线上时, （1）过 C 作 CE _LBD 于 E ,中的等式是否成立？请说明理由；（1）中的等号是否成立？请说明理由. 则由射影定理（或直角三角形相似）有2BC = BA BE .对RtCBE的直角边BE上的点D应用广勾股定理，有 CD2=BC2+BD22BD BE , 即 CD2 -BD2 =BC2 -2BD BE .222CD -BD BC -2BD BE

9、BC2BC2BA BE -2BD BEBA BE(BA -BD) -BDAD - BD此时,BA当点D与A重合时，（1）中等式仍然成立.AD =0 , CD =AC , BD =AB .AB(3)22_2_ 2CD -BD AC -AB -BCBC2BC2BC22一 =T ，AD - BDAB_ 2-ABCD -BDBC2AB2AD - BDAB当点D在BA的延长线上时，（1）中的等式不成立.此时，同（1）作辅助线，应用广勾股定理，有CD2 =BC2+ BD22BD EE ,即CD - BD 二2BC-2BD BE .从而22CD - BDAD BD AD - BDBC2ABAB例6 如图5

10、_7,已知四边形 ABCD为正方形，|_|0过正方形的顶点 A和对角线的交点 P, 并分别交 AB, AD于点F , E .(1)求证：DE=AF ;(2)若O的半径为 ,AB=+1 ,2求AE的值.ED解 显然EF为O的直径，即O点在EF上.联结EP , FP ,则 ZEFP =/EAP =45 = ZFAP =/FEP ,即知 EPF为等腰直角三角形，于是 EP =&E =.2(1)由 DP=AP, /EDP=453=NFAP , NDEP=/AFP,知 DEP AFP .从而 DE = AF.(2 )过 P 作 PM _LAD 于 M ,则 M 为 AD 的中点，AM =1(J2+1),

11、 211 AP=42AM =(J2+2),令 AE=x ,则 EM =(72+1)x .22对RtAAPM的直角边AM上的点E应用广勾股定理，有222AP =AE +EP +2EA EM .亦即X2 (72+1)x+&=0 .解得AE =x =1或金,所以，E- =42或. ED2例 7 如图 5 8,在 4ABC 中，/A=75,，/B=35 D 是边 BC 上一点，BD=2CD.求证：AD2 =(AC +BD)(AC -CD).图5-8证明如图，延长BC至E,使CE=AC.由题设/C =70,则/E =35*=/B ,即知 ABE为等腰三角形.过点A作AM .L BE于M ,则M为BE的中

12、点.取 BD的中点F ,则BF =FD =DC ,联结 AF . 对RtAABM的直角边BM所在直线上的点 C应用广勾股定理，有 _ 2_2 2 AB =AC BC -2CB CM_2 _=AC BC(BC -CM -CM )_ 2 _=AC BC(BM CM) 2 = AC2 BC(EM -CM ) _ 2=AC BC CE2=AC +BC AC又在RtAAFM , RtAACM中分别对点D应用广勾股定理，有 _ 22_ 2AF =FD +AD +2DF DM ,-2 2_2AC =CD +AD -2DC DM . 此两式相加得 AF2 +AC2 =2CD2 +2AD2.同理，在RtAABM

13、 , RtAADM中分别对点F应用广勾股定理，有 _ 2_ 22AB =AF +BF +2FB FM , _2_22AD =AF +DF -2FD FM , 此两式相加，得 AB2 +AD2 =2AF2 +2CD2 .由，得2AC2+AB2 =6CD2+3AD2 ,将代入并注意 BC =3CD ,得 222AC +AC CD =2CD +AD .故AD2 =AC2 +AC CD -2CD2 =(AC +2CD)(AC -CD) = (AC +BD)(AC -CD).3.作出特殊线，证明是垂线 例8 (中等数学2008 (4)数学奥林匹克问题 222号)如图59,O在矩形ABCD内，讨顶点A,

14、B , C , D分别彳O的切线，切点分别为 A1, B1, C1 , D1 .若AA1 =3 , BB1 = 4 ,CCi =5,求 DDi 的长.图5-9解 联结 AO , BO , CO , DO , A1O , B1O , C1O , D1O，则 OA1 ,L AA1, OB1 _L BB1 , OC1 1CC1 ,ODi _LDDi .设LlO的半径为r ,则由勾股定理，知AO2 =AA2 +r2 , BO2 =BBj +r2 ,222222CO =CCi +r , DO =DDi +r .过点O作EF II AD分别交 DC , AB于F , E ,则由题设知 OE _L AB ,

15、 OF _L DC ,且 BE = CF .在RtAAOE中，对点B ,在RtAODF中，对点C分别应用广勾股定理，有 _2 2 _2 AO =OB AB -2BA22_ 2BE , DO =OC +CD -2CD CF .此两式相减得 AO2 -DO2 =OB2 -OC2 ,即 AO2 +OC2 =OB2 +OD2 . （*）于是，AA2 +CC； =BB； +DD；.故 DD1 = JAA2 +CC12 BB12 =3无 为所求.注：（*）式表明：矩形内一点到两双对顶点的距离的平方和相等.例9 （第31届俄罗斯数学奥林匹克（第 4轮）题）已知非等腰 4ABC , AA1 , B0是它的两条

16、高，又线段 AB与平行于 AB的中位线相交于点 C.证明：经过 ABC的外心和垂心的直线与直线CC垂直.证明 如图5-10,设O, H分别为 ABC的外心和垂心， EF是与AB平行的中位线，交AC于E ,交BC于F .联结CO交BiAi于点L ,联结CH交EF于点K .注意到 CH _LAB, EF II AB,则知 CH _L EF ,即 KF _LCH .过点C作 ABC外接圆的 切线CT ,则 CO _L CT ,且/TCB =/CAB =/B1Aq ,即知BA / CT ,于是知 CO _LBiA ,即 CL ICO .联结 CH , CO.在RtACHK , RtACOL中，分别对点

17、C应用广勾股定理，有 CH 2 =CC2 +CH2 -2CK CH ,CO2 =CC2 +CO2 -2CL CO .上述两式相减得 C H 2 C O2 =CH 2 -C O2 -2CK CH +2CL CO .由于 OE_LEB, OL_LRL 知 B, E, O, L 四点共圆；由 /EFC =/ABC =/ABiC ,知 Ai,F, Bi, E四点共圆；由HAi .LAiF , HK _L KF知K , H, A, F四点共圆，于是， CL,CO =CE CBi =CF CAi =CK CH ,将式代入式，得 CH2 -CO2 =CH 2 -CO2 .于是，由定差哥线定理，知 CCOH

18、.4.综合应用例10 （2009年福建省竞赛题）如图 5_11, O与线段AB切于点M ,且与以AB为直径 的半圆切于点E , CD _LAB于点D , CD与以AB为直径的半圆交于点 C ,且与O切于点2F ,联结 AC , CM .求证：（1） A, F , E 二点共线；（2） AC = AM ; （3） MC =2MD .MA .C图 5-11证明 （1）设AB的中点为O,由于U O与|_|O内切于点E,则知O, O, E三点共线.联结 FO ,则 FO _LCD .又 AB _LCD ,知 FO II AB .于是，/EOF =/EOA.从而，两等腰 AEOF , AEOA的底角相等

19、，即有NOEF =NOEA .由 此即知A, F, E三点共线.（2）在O中，由切割线定理，有 AM 2 = AF AE .联结EB,则AE _LEB,知E , F, D, B四点共圆，即有 AF AE = AD AB .联结BC,则由勾股定理有BC2=AB2-AC2.在 ABC中，应用广勾股定理，有 _2 2_2AC =BC AB -2. 22BA BD =2AB -AC -2BA BD,即有22（*）AC =AB -BA BD =AB（AB -BD） - AB AD =AF AE =2AM，故 AC =AM .（3）在AMC中应用广勾股定理，有 MC2 =AM2 +AC2 -2AM,AD

20、,而AM = AC ,故 _2_2_MC =2AM -2AM AD =2AM DM .注：（*）处亦即直角三角形的射影定理ac2=ab ad ,这说明可用广勾股定理推导直角三角形射影定理.例11（中等数学2009 （7）数学奥林匹问题高 251）凸四边形ABCD外切于LlO,两组对边所在的直线分别交于点 E, F ,对角线交于点 G.求证：OG_LEF .A图 5-12证明 设UO与边AB, BC, CD, DA的切点分别为 M, N, R, S,则由牛顿定理知 （参见第29章）AC , BD , MR, NS四线共点于 G .联结OE交MG于H ,联结OF交SG于H ,则GH ，GH_lOF .在（ 和OFG 中分别应用广勾股定理，有222 EG =OE +EO _2OE OH ,_2_2_2_FG =OF +OF -2OF OH .注意到直角三角形的射影定理，有OE QH =OM 2 =OS2 =OF OH从而 EG2 -EO2 =OG2 -2OE