数学勾股定理(讲义及答案)附解析

1、数学勾股定理（讲义及答案）附解析一、选择题1 .已知长方体的长2cm、宽为1cm、高为4cm, 一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B点，那么沿哪条路最近，最短的路程是（）B. 5cmC. y/yj cmD. 4.5cm2 .如图，在4ABC中，ZA=90 , P是BC上一点，且DB = DC,过BC上一点P,作PE_LAB 于 E, PF_LDC 于 F,已知：AD： DB = 1： 3, BC=4，则 PE+PF 的长是（）D. 25/63 .如图，在BC中，乙4CB=90。，A8的中垂线交4c于。，P是8。的中点，若8c=4,4c=8,则 Sp8c为（）A. 3B, 3.3C. 4D.

2、4.54 .如图所示，有一个高18cm,底而周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm 的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍 蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A. 16cmB. 18cmC. 20cmD. 24cm5 .已知4ABC的三边分别是6 , 8 , 10,则ABC的面积是（）A. 24B. 30C. 40D. 486 .以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（）A.应、瓜B. 3c. 6 R ad.应、6 7?7 .如图，已知数轴上点。表示的数为-1，点A表示的数为1,过点A作直线/垂直于24,在/上取点3,

3、使A5 = l,以点夕为圆心，以依为半径作弧，弧与数轴的交点。 所表示的数为（）D.等腰三角形D.等腰直角三角形A. 6, 8, 10B. 5, 12, 13 C. 3, 5, 6A. V5B. Mlc. V5 + 1D. -V5 + 18 .己知M、N是线段AB上的两点，AM = MN = 2, NB = 1,以点A为圆心，AN长为半径 画弧：再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C,连接AC, BC,则4ABC一定 是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形9 .在 AABC 中，8C: AC: A8 = l:l:&,则庆8（：是（）A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形1

4、0 .下列四组数据不能作为直角三角形的三边长的是（）二、填空题11 .如图，在矩形ABCD中，AB = 10, BC = 5,若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动 点，则BM+MN的最小值为.12 .如图，点 E 在O3C边 DB 上，点 A 在Q3C 内部，ZDAE=ZBAC=90% AD =AE. AB=AC,给出下列结论，其中正确的是 (填序号)BD=CE： (2)ZDCB=ZABD=45； BDCE；BE?=2 (AD2+AB2).13 .如图，现有一长方体的实心木块，有一蚂蚁从A处出发沿长方体表面爬行到C处, 若长方体的长A3 = 4cm,宽BC = 2cm,高38 = lcm,

5、则蚂蚁爬行的最短路径长是14 .在aABC中，AB=6, AC=5, BC边上的高AD=4,则CABC的周长为.15 .如图所示，“赵爽弦图是由8个全等的直角三角形拼接而成的，记图中正方形ABCD.正方形EFGH,正方形MNKT的而积分别为S邑,S3,已知S1十邑+邑=10,则邑的值是16 .如图，/BAC = 90 度，AB = AC, AEAD,且 AE = AD, AF 平分 nDAE 交BC于F,若BD = 6, CF=8,则线段AD的长为.17 .如图,在“8CD中，AC与8D交于点O ,且4B=3,8c=5 .线段04的取值范围是；若 8D-AC=1 ,则 ACBD=.18 .四边

6、形 ABCD 中 AB = 8 , BC=6 , N B=90。，AD= CD= 5&，四边形 ABCD 的面积是20.在4ABC 中，ZA=30 , ZB=90 , AC=8,点 D 在边 AB,且 BDn JJ，点 P 是ABC 边上的一个动点，若AP=2PD时，则PD的长是.三、解答题21 . (1)计算：3/lT 2 J + /48 =90,在“3。外取一点E，以A为直角顶点作等腰直角其中尸在48。内部，ZEAP = 90, AE = AP = yfL 当 E、P、D 三点共线时，BP =耳.下列结论：E、P、D共线时，点3到直线AE的距离为有：E、P、D 共线时，5v.DP+S.p

7、= l + 73:产(+底作点A关于8。的对称点C,在aAE尸绕点4旋转的过程中，PC的最小值为 5+26-忘；ZkAE尸绕点A旋转，当点E落在A8上，当点月落在AO上时，取BP上一点N,使得 AN = BN,连接 ED,则 AN_LEQ.其中正确结论的序号是.24.已知AA3C中，ZACB = 90, AC = BC,过顶点A作射线AP.（1）当射线A尸在C外部时，如图，点。在射线A尸上，连结CO、BD，已知 2 +1, BD = 2n （ m 1）.试证明AABD是直角三角形：求线段CO的长.（用含八的代数式表示）（2）当射线A尸在C内部时，如图，过点3作尸于点。，连结CO,请 写出线段4

8、0、BD、CO的数量关系，并说明理由.25.在 AA3C 中，AB = AC. CD 是 AB 边上的高，若 A8 = 10,3C = 4jT（1）求CD的长.（2）动点P在边AB上从点A出发向点B运动，速度为1个单位/秒；动点Q在边AC上从 点A出发向点C运动，速度为v个单位秒设运动的时间为7（/0）,当点Q到点 C时，两个点都停止运动.若当U = 2时，CP = BQ,求t的值.若在运动过程中存在某一时刻，使3 = 8。成立，求v关于t的函数表达式，并写出自 变量t的取值范围.26 .如图，在边长为&正方形ABC。中，点。是对角线4c的中点，E是线段。4上一 动点（不包括两个端点），连接4

9、E.（1）如图1，过点E作EF工BE交CD于点F ,连接8/交AC于点G.求证：BE = EF-f设AE = x, CG = y ,求丁与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.（2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以优 为边的菱形.27 .如图1,点E是正方形ABC。边。上任意一点，以DE为边作正方形DEFG,连 接BF,点M是线段中点，射线EM与BC交于点，连接CM.（1）请直接写出CM和石M的数量关系和位置关系.（2）把图1中的正方形OEFG绕点。顺时针旋转45。，此时点尸恰好落在线段CO上， 如图2,其他条件不变，（1）中的结论是否成立，请说明理由.（3）把图1中的正方形。EFG

10、绕点。顺时针旋转90。，此时点E、G恰好分别落在线段 AD. CD ,连接CE,如图3,其他条件不变，若DG = 2, A8 = 6,直接写出CM 的长度.28 .在平而直角坐标系中，点A （0, 4） , B （m, 0）在坐标轴上，点&。关于直线八8 对称，点。在线段48上.（1）如图1，若m = 8,求48的长；（2）如图2,若m=4,连接0D,在y轴上取一点&使OD=OE,求证：C= & DE： （3）如图3,若m=4，J,在射线40上裁取AF,使AF=8D,当CD+CF的值最小时，请 在图中画出点D的位置，并直接写出这个最小值.29 .（发现）小慧和小雯用一个平而去截正方体，得到一个

11、三角形截面（截出的而），发 现截而一定是锐角三角形.为什么呢？她们带着这个疑问请教许老师.（体验）（1）从特殊入手 许老师用1个抑钉把长度分别为4和3的两根窄木棒的一端连 在一起（如图43 = 4, 4c = 3）,保持4B不动，让4C从重合位置开始绕点/转动，在转动的BC的大小的形状1BC m BC = m直角三角形mBC n BC = n直角三角形nBC 7 请仔细体会其中的道理，并填空：巾=，/=：（2）猜想一般结论在中，设BC = a, AC = b, AB = c（ab0）.（1）AE= （用含t的代数式表示），N8CD的大小是 度;（2）点在边AC上运动时，求证：AADE CDF；

12、（3）点E在边4c上运动时，求NEDF的度数：（4）连结8E,当CE=AD时，直接写出t的值和此时8E对应的值.【参考答案】*11试卷处理标记，请不要删除一、选择题1. B解析：B【分析】要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之 间线段最短解答.【详解】解：根据题意，如图所示，最短路径有以下三种情况：(1)沿AfC, C宣,88剪开，得图1:AB2 = AB2 + BB,2 =(2 +1)2 +42 = 25 ；(2)沿 4C, CC , C宣，6D,AA 剪开，得图 2：AB2 = AC2 + BC2 = 2? + (4 +=4 + 25 = 29 ；(

13、3)沿A。，DD，8D, CB, CA, AA剪开，得图3:AB2 = AD2 + BD2 =l2+(4 + 2)2 =1 + 36 = 37；综上所述，最短路径应为(1)所示，所以从方=25,即AB = 5cm.故选:B.【点睛】此题考查最短路径问题，将长方体从不同角度展开，是解决此类问题的关犍，注意不要漏 解.2. C解析：C【解析】【分析】根据三角形的面积判断出PE+PF的长等于AC的长，这样就变成了求AC的长；在RtAACD 和RtAABC中，利用勾股定理表示出AC,解方程就可以得到AD的长，再利用勾股定理就 可以求出AC的长，也就是PE+PF的长.【详解】为等腰三角形，PE1AB,

14、PFCD, ACBD, 1 1 1 Swcd- BDPE+ CDPF二 一 BDAC,222，PE+PF = AC,设 AD=x, BD=CD=3x, AB=4x,VAC2=CD2-AD2= (3x) 2-x2=8x2,VAC2=BC2-AB2=(4而 尸-(4x) ，x=2,.,.AC=4 72 . PE+PF=4 72 .故选C【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用面积法证明线段之 间的关系，灵活运用勾股定理解决问题，属于中考常考题型.3. A解析：A【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB,根据勾股定理求出BD,得到CD的长，根据三角 形的而积公式计

15、算，得到答案.【详解】解：.,点。在线段48的垂直平分线上，；.DA = DB,在 R38C。中，BC2+CD2=BD2,即 4?+ (8 - BD)8。2,解得，8。=5,，8=8-5 = 3,.,.BCD 的面积=! xCDxBC= 1 x3x4 = 6,22P是8D的中点，. _ 1 _ SPBC S6CD = 3，乙故选：4【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、直角三角形的性质、勾股定理，掌握线段垂直平分 线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键.4. C解析：C【分析】首先画出圆柱的侧而展开图，进而得到SC=12cm, FC=18-2=16cm,再利用勾股定理计算出 SF长即可

16、.【详解】将圆柱的侧面展开，蜘蛛到达目的地的最近距离为线段SF的长，由勾股定理，SF2=SC2+FC2=122+（18-l-l）2=400,SF=20 cm,故选C.【点睛】本题考查了平而展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两 点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决 问题.5. A解析：A【解析】已知aABC的三边分别为6, 10, 8,由6二+80二，即可判定AABC是直角三角形，两直角 边是6, 8,所以ABC的面积为:X6X8=24,故选A.6. C解析：C【分析】利用勾股定理的逆定理依次计算各项后即可解答.【详解】选项

17、4 （0?+（褥）2 H （逐）2,不能构成直角三角形；选项8.（书+（占）2工（有）2,不能构成直角三角形：选项C, （6）2+（/）2=（）2,能构成直角三角形：选项D, （加）2+（、/5）2工（口）2,不能构成直角三角形.故选C.【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长， 只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.7. B解析：B【分析】由数轴上点夕表示的数为-1,点A表示的数为1，得PA=2,根据勾股定理得/有=番，进 而即可得到答案.【详解】数轴上点夕表示的数为一 1,点A表示的数为1，.PA=2,又,.,|_LPA, AB = ,PB =

18、yPA2 + AB2 =V5VPB=PC=/5 ,.数轴上点。所表示的数为：6-1.故选B.【点睛】本题主要考查数轴上点表示的数与勾股定理，掌握数轴上两点之间的距离求法，是解题的 关键.8. B解析：B【分析】依据作图即可得到AC=AN = 4, BC = BM = 3, AB = 2+2+l = 5,进而得到AC2+BC2=AB?,即 可得出4ABC是直角三角形.【详解】如图所示，AC=AN=4，BC = BM = 3, AB = 2+2+l=5，.ac2+bc2=ab2,ABC是直角三角形，且NACB = 90 ,故选B.【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，如果三角形的三边长a, b,

19、 c满足a?+b2 = c2,那么这 个三角形就是直角三角形.9. D解析：D【分析】根据题意设出三边分别为k、k、应k,然后利用勾股定理的逆定理判定三角形为直角三角 形，又有BC、AC边相等，所以三角形为等腰直角三角形.【详解】设 BC、AC、AB 分别为 k, k, JJk, k2+k2=(72k)2,bc2+ac2=ab2, .ABC是直角三角形，又 BC=AC, .ABC是等腰直角三角形.故选D.【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，利用设k法与勾股定理证明三角形是直角三角形是难 点，也是解题的关键.10. C解析：C【分析】求出两小边的平方和长边的平方，再看看是否相等即可.【详解】

20、A、62+82=102,此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意；B、52+122=132,此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意：C、32+52 = 62,此时三角形不是直角三角形，故本选项符合题意；d. (V2)2+(73)2=(75)2,此时三角形是直角三角形，故本选项不符合题意：故选：C.【点睛】本题主要考查了勾股定理逆定理，关键是掌握判断一个三角形是不是直角三角形，必须满 足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断.二、填空题11. 8【解析】如图作点B关于AC的对称点B,连接B A交DC于点E,则BM+MN的最小值等于BM + MN的最小值作BW1AB交/C于W,则为所求

21、；25设EC = AE = x (10 -x)2 + 52 = %2 彳 15.BE = w1 151 25Sab，CE = X 彳 X5 = 彳h = 3 ITI，h+5=8,即BM+MN的最小值是8.点睛：本题主要是利用轴对称求最短路线，题中应用了勾股定理与用不同方式表示三角形 的面积从而求出某条边上的高，利用轴对称得出M点与N点的位置是解题的关键.12.【分析】由已知条件证明ADABW 4EAC即可：由可得 NABD二NACE45；由/ ECB+ ZEBC=Z ABD+ Z ECB+ Z ABC= Z ACE+ Z ECB+ Z ABC =45。+45=90。可判断： (4)1 BE2=

22、BC2-EC2=2AB2- (CD2 - DE2) =2AB2-CD2+2AD2 = 2 (AD2+AB2) -CD?可判断 .【详解】解：: NDAE=NBAC=90。，A ZDAB=ZEAC,VAD=AEt AB=AC,/ Z AED= Z ADE= Z ABC= Z ACB=45% DAB 和aEAC 中，AD=AE DAB=EAC,AB=AC/.DABaEAC,，BD=CE, NABD=NECA,故正确：由可得NABD=NACE45。故错误： : Z ECB+ ZEBC=Z ABD+ Z ECB+ Z ABC= Z ACE+ Z ECB+ Z ABC =450+45=90,AZCEB=

23、900, BPCEBD,故正确：.BE2=BC2-EC2 = 2AB2- (CD2 - DE2) =2AB2-CD2+2AD2 = 2 (AD2+AB2) -CD2.A BE2=2 (AD2+AB2) -CD2,故错误.故答案为：.【点睛】本题主要考查全等三角形判定与性质以及勾股定理的应用，熟记全等三角形的判定与性质 定理以及勾股定理公式是解题关键.13. 5cm【分析】连接AU ,分三种情况进行讨论：画出图形，用勾股定理计算出AU长，再比较大小即 可得出结果.【详解】解：如图展开成平面图，连接AC,分三种情况讨论：如图 1, AB=4, BC =1+2=3,.在 RtABC中，由勾股定理得

24、AC = ,4? +3? =5 (cm),如图 2, AC=4+2=6, CC =1 在 RtACC中，由勾股定理得 AC =62 + 12 =a/37 (cm),如图 3, AD =2, DU =1+4=5, ,.在 RtADC中，由勾股定理得 AU =/22+52 =/29 (cm) 5闻G)2, S2=GF2, S.=(NG-NF)2, S1+S2+S3 = 10,即可得出答案.【详解】:八个直三角形全等，四边形ABCD, EFGH, MNKT是正方形JCG=NG, CF=DG=NF S = (CG + DG)2 = CG2 + DG2 + 2CG-DG = GF1 + 2CG，DG52

25、 = GF253 = (NG N/ y = NG2 + NF1 - 2NG.NF：.S+S2+S.=GF2 + 2CG DG + GF2 + NG2 + NF2 - ING NF = 3GF2 = 10.G尸3rz10故 s = 彳 一 3故答案为孝.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点由勾股定理和正方形、全等三角形的性质.16. 6x/5【分析】由SAS可证ABDgaACE. DAF且EAF可得BD = CE, 14 = 4，DF = EF.由勾股定理可求EF的长，即可求BC的长，由勾股定理可求AD的长.【详解】解：如图，连接EF,过点A作AG_LBC于点G,NDAE = ND

26、 AC + N2 = 90，又/BAC = NDAC += 90 ,.21 = N2,在 ABD和aACE中AB = AC Z1 = Z2 , AD = AE . ABD g aACE(SAS).BD = CE, 14 = 4./BAC = 90，AB = AC.，=13 = 45N4 = ZB = 45,，.NECF = N3 + /4 = 90 ,.CE2+CF2=EF2./. BD2 + FC2 = EF2.AF 平分/DAE, DAF = EAF，在aDAF和aEAF中AD = AE/AG2 + DG2 = 6y/5故答案为64【点睛】考查等腰直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判

27、定和性质等知识，解题的关键是 学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.6717.1044.一.2【解析】(1)由三角形边的性质5-32。45+3,1OA8D=.218. 49【解析】 连接4C,在 由88c 中，；48=8, 8c=6, Z8=90% ：AC=1府 +BC?=1。 在adc 匚口, ,:AD=CD=5五,：.AD2+CD2= ( 572)2+ /2 100-四边杉572 X 572=2425=49.VC2=102=100t Ay4D2+CD2=C，N4OC=90。，AS abcd ： .abc /acd ABBC AD9DC= X 8 X 6+ X点睛：本题考查的是勾股定理

28、及勾股定理的逆定理，不规则几何图形的面积，根据题意作 出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键.19. 41【解析】作 AET1.AD, AD=AD,连接 CD, DD,如图：3,: ZBAC+ZCAD=ZDAD,+ZCAD,即 NBAD=NCAD,在4BAD 与CAD，中,BA=CA ;/82 - 42 = 4/3/. AD = 46-小=3耳当点 P 在 AC 上时，ZA=30% AP=2PD,AZADP=90%则 AD?+PD?=AP2,即(373)2= (2PD) 2-PD解得，PD=3,当点 P 在 AB 上时，AP=2PD, AD=3，J,/ PD= y/3，当点P在BC上时，A

29、P=2PD,设 PD=x,则 AP=2x,由勾股定理得，BP2=PD2-BD2=x2-3,.(2x)2-(4/3)2=x2-3解得，x=V15故答案为：3或或屏.【点睛】本题考查的是勾股定理、直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a, b,斜边长为c,那么a?+b2=c2.三、解答题221. (1) 4j； (2)以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形,【分析】(1)根据二次根式的加减法法则、除法法则和二次根式的性质求出即可；(2)先根据绝对值，偶次方、算术平方根的非负性求出a、b、c的值，再根据勾股定理的 逆定理得出三角形是直角三角形，再求出面积即可.【详解】

30、解：(1) 3屈-22=-二号 4向+ 26=卓)+(22=4葭(2)以a、b、c为边能构成三角形，此三角形的形状是直角三角形, 理由是：a、b、c 满足|a 20l+j3/J b+(c /53)2 =0,:.a - 2小=。,3 点-b=0, c - 730 =0,:a = 26 , b=3&, c=730 1 ：2垂+3显 牺,2亦+闻 3点, 26+闻 A3点, .以a、b、c为边能组成三角形， 匕=2/，b=3点，c=730 1Aa2+b2=c2,，以a、b、(:为边能构成直角三角形，直角边是a和b,则此三角形的面积是;x20x30=3#.【点睛】此题考查了计算能力，掌握二次根式的加减

31、法法则、除法法则和二次根式的性质，绝对值，偶次方、算术平方根的非负性，勾股定理的逆定理是解题的关键.22. (1) 12； (2) t= 12.5s时，13 cm： (3) 11s 或 12s 或 13.2s【分析】(1)由勾股定理即可得出结论：(2)由线段垂直平分线的性质得到PC=%=3则P8=16t在R38PC中，由勾股定理可求 得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=2t-8c计算即可：(3)用t分别表示出8Q和CQ,利用等腰三角形的性质可分8Q=8C、CQ=8C和8Q=CQ三 种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值.【详解】(1)在 8c 中，BC= yjAC2-AB2 =

32、 V202-162 = 12()故答案为：12：(2)如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC,，PC=%=t, P8=16-L在 Rt/k8PC中，BC:BP2 =cp2，即 122+(167)2 =产，25解得：仁一.225Q从B到C所需的时间为12 + 2=6(s), 6,25，此时，点 Q 在边 4c 上，CQ=2x-12 = 13(cm)；(3)分三种情况讨论：当CQ=8Q时，如图1所示,贝 lNC=NCBQ.V ZBC=90 ,，NCBQ+N48Q=90 , NA+NC=90 ,：.BQ=AQ, ：.CQ=AQ=10.，8C+CQ=22,，t=22 + 2=ll(s).图2则

33、BC+CQ=24, At=24-?2=12(s).图3过8点作8E_LAC于点E,TI ABBC 12x16 48AC205则 BE= :.CE=Nbc2-BE? = J122_(?) =7.2.VBC=BQ, BECQ9ACQ=2C=14.4,ABC+CQ=26.4,，t=26.4 + 2=13.2(s).综上所述：当t为Ils或12s或13.2s时，BCQ为等腰三角形.【点睛】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.用时间t表 示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应 用.23.【分析】先证得力A3E三AOP,利用邻补角和等腰

34、直角三角形的性质求得NPE8 = 90。，利 用勾股定理求出跳，即可求得点3到直线AE的距离：根据的结论，利用Sjpd + SBP =+ SqpB = 切+ S期EP即可求得结论；在油中，利用勾股定理求得A，再利用三角形而积公式即可求得，当A、P、C共线时，PC最小，利用对称的性质，A3 = 8。的长，再求得AC的长, 即可求得结论：先证得OA3P三七，得到NABP = NA0,根据条件得到NABP = NM43 ,利 用互余的关系即可证得结论.【详解】ABD与斗灯都是等腰直角三角形，A ABAD = 90 , ZE4P = 90, AB = AD AE = AP，ZAPE = ZAEP =

35、45.： ZEAB = ZPAD, ABE=ADP(SAS), ZAEB = ZAPD = 180-ZAPE = 180-45 = l35:.ZPEB = ZAEB-ZAEP = 135-45 = 90，： PE1 + BE2 = PB,： AE = AP = 0, NE4P = 90。，:.PE = &AE = 2. 22 + B=(，解得：BE = 6作BHJ_AE交AE的延长线于点H, .点4到直线4E的距离为如，故错误：2由知：OABE3ADP, EP = 2, BE = G ,* S&PD + SsBP = S*BE + Saps=AAEP + SEP= -xAExAP + -xPE

36、xEB22= Xy/2xy/2+ x2Xy/3 22= 1 + 6,故正确：在必。A”3中，由知：EH = HB = J,2：, AH = AE + EH =应+西，2AB2=AH2+BH2=应+倒 +(孚)=5 + 26,SMBI)=-AB-AD = -AB2=- + yl3,故正确：222因为AC是定值，所以当4、P、C共线时，PC最小，如图，连接BC,V A。关于CD的对称,： AB = BC =45 + 26 AC = y/2BC =3出 + 2的=J10 + 46，.PCmin=AC-AP,=J10 + 4有-J，故错误：ABD与都是等腰直角三角形，A ZBAD = 90 , ZEA

37、P = 90, AB = AD AE = APAB = AD在ABP 和 ADE 中，NBAP = ZDAE ,AP = AE . .BP三ADE(SAS),:, ZABP = ZADE, ：AN = BN, ZABP = 41AB，：,AEAN = ZADE,: ZEAN + /DAN = 900,. ZAD+ZZM7V = 9O, ：.AN工DE,故正确：综上，正确，故答案为：.【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质， 勾股定理的应用，三角形的而积公式，综合性强，全等三角形的判定和性质的灵活运用是 解题的关键.24. (1)详见解析；(2)。=

38、也2+无(i)： (2)22ad-bd = 6cd，理由详见解析【分析】(1)根据勾股定理的逆定理进行判断；过点C作CEJ_CD交DB的延长线于点E,利用同角的余角相等证明N3=N4, Z1=ZE, 进而证明ACDg/XBCE,求出DE的长，再利用勾股定理求解即可.(2)过点C作CF_LCD交BD的延长线于点F,先证NACD=NBCF,再证4ACD丝ZkBCF, 得CD=CF, AD=BF,再利用勾股定理求解即可.【详解】(1) AD1 + BD2 =(n2 -1)2 +(2/i)2 = W J _ 2n2 +1 + 4/r=(/?2) +2/?2 +1 = (/z2 + 1)2又 4炉=(2

39、+1 AD2 + BD1 = AB2.ABD是直角三角形如图，过点C作CE_LCD交DB的延长线于点E,图Z3+ZBCD=ZACD=90, Z4+ZBCD=ZDCE=90AZ3=Z4由知4ABD是直角三角形Z. Zl + Z2 = 90又 Z2+Z = 90AZ1=ZE在41。和MCE中，ZA = ZEJCD2 + DE2 =应CD. n2+2/2-1 忘,穴 y/2 z 、 V2 22（2） AD、BD、CD 的数量关系为：AD-BD = eCD.理由如下：如图，过点C作CFLCD交BD的延长线于点F,V ZACD=90+Z5f ZBCF=90+Z5/. ZACD=ZBCFVBDAD，ZAD

40、B=90AZ6+Z7=90ZACB=90AZ9=Z8=90又N6=N8AZ7=Z9MCD 和 ABCF 中Z9 = Z7AC = BCZACD = Z.BCFAAACDABCF，CD=CF, AD=BF又/DCF=90由勾股定理得DF = VCD2 + CF2 = JEcr又 DF=BF-BD=AD-BD AD-BD = y/2CD【点睛】本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理 及其逆定理是关键.12T25. (1) CD=8： (2) t=4； (3) v =(2r /5x4/5 o:.CD= -=8AB 10(2)过B作BQ_LAC,当Q在AF之间时

41、，如图所示,ABC的面积=1ACBF=)ABCD, AB=AC 22ABF=CD在 RtACPD 和 RtABQF 中VCP=BQ, CD=BF,RtACPDRtABQF (HL)APD=QF在 RtZkACD 中，CD=8, AC=AB=10, AD=VAC2-CD2=6同理可得AF=6APD=AD=AP=6-t, QF=AF-AQ=6-2t由 PD=QF 得 6-t=6-2t,解得 t=0,Vt0,.此种情况不符合题意，舍去；当Q点在FC之间时，如图所示，此时 PD=6-t, QF=2t-6由 PD=QF 得 6-t=2t-6,解得t=4,综上得t的值为4.(3)同(2)可知时，Q在AF之

42、间不存在CP二BQ, Q在FC之间存在CP=BQ, Q在F 点时，显然CPHBQ,运动时间为3贝ljAP=t, AQ=vt,APD=6-t, QF=vt-6,由 PD=QF 得 6-t=vt-6,12-r整理得u =， tQ 在 FC 之间，即 AFVAQWAC12-/A 6 vz 10,代入 u =得t612-r10,解得2K/v612-/所以答案为y = =(2r2.将8AE绕点8顺时针旋转90。，点A与点C重合，点E落在点P处，如图2, 则8AEg/k8CP,由可得，NE8F=45, ：.ZPBG=45=ZEBG.PB = EB在8G 与 AEBG 中， ZPBG = ZEBG , BG = BG：.APBGAEBG (SAS).：.PG=EG