【精品】第八章空间解析几何与向量代数知识点,题库与答案

1、第八章：空间解析几何与向量代数一、重点与难点1重点 向量的根本概念、向量的线性运算、向量的模、方向角； 数量积是个数、向量积是个向量； 几种常见的旋转曲面、柱面、二次曲面；，两平面 平面的几种方程的表示方法点法式、一般式方程、三点式方程、截距式方程 的夹角； 空间直线的几种表示方法参数方程、对称式方程、一般方程、两点式方程 两直线的夹角、直线与平面的夹角；2、难点 向量积方向、混合积计算； 掌握几种常见的旋转曲面、柱面的方程及二次曲面所对应的图形； 空间曲线在坐标面上的投影； 特殊位置的平面方程过原点、平行于坐标轴、垂直于坐标轴等； 平面方程的几种表示方式之间的转化； 直线方程的几种表示方式之

2、间的转化；二、根本知识1、向量及其线性运算 向量的根本概念：向量 既有大小 又有方向的量；向量表示方法：用一条有方向的线段称为有向线段来表示向量有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向 .；AB 向量可用粗体字母向量的符号 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如a、r、v、F或a、r、v、F ；向量的模向量的大小叫做向量的模向量a、a、AB的模分别记为|a|、|a|、|AB| 单位向量模等于1的向量叫做单位向量;向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反就称这两个向量平行向量a与b平行 记作a / b零向量认为是与任何向量都

3、平行；两向量平行又称两向量共线零向量 模等于0的向量叫做零向量记作0或0 零向量的起点与终点重合它的方向可以看作是任意的共面向量：设有kk 3个向量 当把它们的起点放在同一点时如果k个终点和公共起点在一个平面上就称这k个向量共面；两向量夹角：当把两个非零向量 a与b的起点放到同一点时两个向量之间的不超过的夹角称为向量a与b的夹角 记作(a：b)或(b：a)如果向量a与b中有一个是零向量规定它们的夹角可以在 0与 之间任意取值； 向量的线性运算向量的加法(三角形法那么)：设有两个向量a与b 平移向量使b的起点与a的终点重合 此 时从a的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和 记作a+b 即 c

4、 a+b .平行四边形法那么向量a与b不平行时 平移向量使a与b的起点重合 以a、b为邻边作一平行四边形从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a b向量的加法的运算规律(1)交换律abba(2)结合律(a b) c a (b c)负向量 设a为一向量 与a的模相同而方向相反的向量叫做a的负向量记为a向量的减法 把向量a与b移到同一起点 0那么从a的终点A向b的终点B所引向量AB便 是向量b与a的差b a向量与数的乘法：向量a与实数的乘积记作规定a是一个向量 它的模| a| | |a|它的方向当 0时与a相同 当 0时与a相反 当 0时| a| 0即 a 为零向量这时它的方向可以是任意的运算规

5、律 (1)结合律 (a) ( a) ( )a； 分配律()a a a ； (a b) a b向量的单位化 设a 0那么向量是与a同方向的单位向量 记为ea ，于是a |a|ea|a|定理1设向量a 0那么 向量b平行于a的充分必要条件是存在唯一的实数使ba 空间直角坐标系在空间中任意取定一点 O和三个两两垂直的单位向量 i、j、k就确定了三条都以 O为 原点的两两垂直的数轴依次记为x轴(横轴卜y轴(纵轴卜z轴(竖轴)统称为坐标轴 它们构成一个空间直角坐标系 称为Oxyz坐标系注：(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位(2) 通常把x轴和y轴配置在水平面上而z轴那么是铅垂线(3) 数轴的的正向通

6、常符合右手规那么坐标面在空间直角坐标系中任意两个坐标轴可以确定一个平面这种平面称为坐标面x轴及y轴所确定的坐标面叫做 xOy面 另两个坐标面是 yOz面和zOx面卦限三个坐标面把空间分成八个局部每一局部叫做卦限含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限它位于xOy面的上方在xOy面的上方按逆时针方向排列着第二卦限、 第三卦限和第四卦限 在xOy面的下方 与第一卦限对应的是第五卦限按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII 表示向量的坐标分解式任给向量r对应有点M 使OM r以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体有 r OM OP

7、PN NM OP OQ OR设 OP xi OQ yj OR zk 贝U r OM xi yj zk上式称为向量r的坐标分解式 xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量 点M、向量r与三个有序x、y、z之间有一一对应的关系M r OM xi yj zk (x, y, z)有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标记作r (x y z)向量r OM称为点M关于原点O的向径 利用坐标作向量的线性运算设 a (ax ay az) b (bx by bz)a b(axbxaybyazbz)a b(axbxaybyazbz)a ( ax ay az)利用向量的坐标判断两个向量的平行

8、设 a (ax ay az) 0 b (bx by bz)向量 b/a b a即 b/a(bx by bz)(ax ay az)于是bxbybzay 向量的模、方向角、投影设向量r (x y z)作OM r 那么向量的模长公式|r|x2y2 z2设有点 A(xi yi zi)、B(x y2 z2)AB OB OA (x2 y2 z2)(X1 y1 Z1)(X2 X1 y2 y1 Z2 zB两点间的距离公式为：|AB| |AB| .,(X2 X1)2 (y2 yj2 也 乙)2方向角:非零向量r与三条坐标轴的夹角称为向量r的方向角设 r (x y z) 那么 x |r|cos y |r|cos

9、z |r|coscos 、 cos 、 cos称为向量r的方向余弦cos cos|r|从而(cos , cos1,COS ) F|r ercos222cos cos 1投影的性质性质 1 (a)u |a|cos 性质 2 (a b)u (a)u 性质3 ( a)u(即 Prjua |a|cos(b)u (即 Prju(a b) (a)u (即 Prju( a)Prjua)其中Prjua Prjub)为向量与u轴的夹角2、数量积、向量积、混合积 两向量的数量积数量积 对于两个向量a和b它们的模|a|、|b|及它们的夹角的余弦的乘积称为向量 a和b的数量积 记作ab即a b |a| |b| cos

10、数量积的性质 a a |a| 2(2)对于两个非零向量a、b如果a b 0贝U a b;反之如果a b那么a b 0如果认为零向量与任何向量都垂直那么a b a b 0两向量夹角的余弦的坐标表示axbx aybyazbzcos设 (a人b)那么当a 0、b 0时有|a|b| JaX a： afjb2 b： bZ数量积的坐标表示设 a (ax ay az ) b (bx by bz )贝U a b axbx ayby azbz 数量积的运算律交换律 a b b a;分配律 (a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(a) ( b) (a b)、为数 两向量的向量

11、积向量积 设向量c是由两个向量a与b按以下方式定出c的模|c| |a|b|sin其中 为a与b间的夹角；c的方向垂直于a与b所决定的平面 c的指向按右手规那么从a转向b来确定那么 向量c叫做向量a与b的向量积 记作a b即c a b向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量a、b如果a b 0那么a/b反之 如果a/b那么a b 0如果认为零向量与任何向量都平行那么a/b a b 0数量积的运算律(1) 交换律a b b a(2) 分配律(a b) c a c b c(3) ( a) b a ( b) (a b)(为数)数量积的坐标表示 设a (ax ay az) b (bx by

12、 bz)a b( ay bz az by) i (az bxax bz)j ( ax by ay bx)k为了邦助记忆利用三阶行列式符号 上式可写成i j ka b axay azaybzi azbxjaxbykaybxkaxbz j azbyibx by bz(aybzazby)i (azbxaxbz)j (axbyay bx) k 三向量的混合积混合积：先作两向量a和b的向量积a b ,把所得到的向量与第三个向量c再作数量积(a b) ?c，这样得到的数量叫做三个向量a、b、c的混合积，记作abcabc= (a b)?c= bxCxaybyCyazbzCz混合积的几何意义：混合积abc是这

13、样一个数，它的绝对值表示以向量a、b、c为棱的平行六面体的体积，如果向量a、b、c组成右手系，那么混合积的符号是正的，如果a、b、c组成左手系，那么混合积的符号是负的。三个向量a、b、c共面的充分必要条件事他们的混合积abc=0即axayazbxbybz=0CxCyCz3、曲面及其方程 曲面方程的概念如果曲面S与三元方程F(x y z) 0有下述关系(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x y z) 0(2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x y z) 0那么 方程F(x y z) 0就叫做曲面S的方程 而曲面S就叫做方程F(x y z) 0的图形 例如：方程 (xX0)2(yyo

14、)2(zzo)2R2表示球心在点Mo(xoyozo)、半径为R的球面 旋转曲面以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面这条定直线叫做旋转曲面的轴设在yOz坐标面上有一曲线 C它的方程为f (y z) 0把这曲线绕z轴旋转一周 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面 它的方程为f( .x2 y2, z) 0这就是所求旋转曲面的方程在曲线C的方程f(y z) 0中将y改成；x2 y2便得曲线C绕z轴旋转所成的旋转曲面的方程f( . x2 y2, z) 0同理 曲线C绕y轴旋转所成的旋转曲面的方程为f (y,. x2 z2) 0 柱面柱面 平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨

15、迹叫做 柱面 定曲线C叫做柱面的准线动直线L叫做柱面的母线例如方程x2 y r2在空间直角坐标系中表示圆柱面它的母线平行于 z轴 它的准线是xOy面上的圆x2 y2 R2一般地 只含x、y而缺z的方程F(x y) 0在空间直角坐标系中表示母线平行于z轴的柱面其准线是xOy面上的曲线 C F(x y) 0类似地 只含x、z而缺y的方程G(x z) 0和只含y、z而缺x的方程H(y z) 0分别表示母线 平行于y轴和x轴的柱面 二次曲面三元二次方程所表示的曲面叫做二次曲面把平面叫做一次曲面(1) 椭圆锥面由方程写 z2所表示的曲面称为椭圆锥面a2 b2(2) 椭球面v2y2 2由方程y_ z_ i

16、所表示的曲面称为椭球面a2 b2 c2(3) 单叶双曲面由方程 乞土岂i所表示的曲面称为单叶双曲面a2 b2 c2(4) 双叶双曲面x2 y2 z2由方程 笃每务1所表示的曲面称为双叶双曲面a b c椭圆抛物面y2由方程 务 当 z所表示的曲面称为椭圆抛物面a2 b2(6)双曲抛物面x2 y2由方程xo再z所表示的曲面称为双曲抛物面双曲抛物面又称马鞍面方程x2y2a2 b22x2 ay依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面4空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程设 F(x y z) 0和G(x y z) 0是两个曲面方程它们的交线为 C所以C应满足方程组F(x,y,z) 0G(x,y,z) 0上述

17、方程组叫做空间曲线C的一般方程 空间曲线的参数方程x x(t)空间曲线C上动点的坐标X、y、z表示为参数t的函数 y y(t) .(2)z z(t)当给定tti时 就得到c上的一个点(X1yiZ1)随着t的变动便得曲线C上的全部点方程组(2)叫做空间曲线的参数方程 空间曲线在坐标面上的投影以曲线C为准线、母线平行于 z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线 C在xOy面上的投影曲线或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)设空间曲线C的一般方程为F以y,z) 0G(x,y,z) 0设方程组消去变量z后所得的方程H(x y) 0这就是曲线C关于x

18、Oy面的投影柱面 曲线C在xOy面上的投影曲线的方程为H(x,y) 0 z 05平面及其方程 平面的点法式方程法线向量 如果一非零向量垂直于一平面这向量就叫做该平面的法线向量平面 上的一点Mo(xo yo zo)及它的一个法线向量 n (A B C),平面的点法式方程 为：A(x X0) B(y y0) C(z Z0) 0 平面的一般方程平面的一般方程为：Ax By Cz D 0，其中x y z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标即n (ABC)特殊位置的平面方程：D 0平面过原点n (0 B C)法线向量垂直于 n (A 0 C)法线向量垂直于 n (ABO)法线向量垂直于n (0 0 C

19、)法线向量垂直于n (A 0 0)法线向量垂直于n (0 B 0)法线向量垂直于 求这平面的方程x轴平面平行于x轴y轴平面平行于y轴z轴 平面平行于 z轴x轴和y轴 平面平行于xOy平面 y轴和z轴 平面平行于yOz平面 x轴和z轴 平面平行于zOx平面平面的截距式方程为a b f 1 (其中a 0 b 0 c 0)该平面与x、y、z轴的交点依次而a、b、c依次叫做平面在 x、y、z轴上的截距x -Xiy-yi平面的三点式方程为：X2Xiy2yix3Xiy3yi为 P(a 0 0)、Q(0 b 0)、R(0 0 c)三点Z-乙Z2 乙=0 其中 M(X1,yZ1), N( x2.Y2.z2)z

20、3 ZiPgM, Z3)是平面上的三点。 两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角设平面 i和 2的法线向量分别为 ni (Ai Bi C1)和n2 (A2 B2 C2)那么平面 i和 2的夹AAA角 应疋(rii ,门2)和(n 1,门2)(n 1, n?)两者中的锐角cosA|cos(ni, n2)| A A2BiB2G C21A2Bf C . A b2 c2平面 i和 2垂直相当于Ai A2 BiB2 CiC2 0也即m垂直于n2平面i和2平行或重合相当于贫詈C2也即ni平行于n2设Po(xo yo Zo)是平面Ax By Cz D 0外一点Po到这平

21、面的距离公式为 d |Axo Byo Czo D|,A2 B2 C26空间直线及其方程 空间直线的一般方程空间直线L可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面 1和 2的方程分别为 Aix Biy Ciz Di 0和 A2X B2y C2Z D2 o那么直线L满足方程组Ax By Ciz Di o (i)A2x B2y C2z D2 o (上述方程组叫做 空间直线的一般方程 空间直线的对称式方程与参数方程方向向量 如果一个非零向量平行于一条直线这个向量就叫做这条直线的方向向量容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量直线L通过点Mo(xo yo xo)且直线的方向向量为 s (m n

22、 p)那么直线L的方程为：一口 叫做直线的对称式方程或点向式方程m n p注 当m n p中有一个为零例如mo而n p o时 这方程组应理解为x xoy yo z zon p当m n p中有两个为零 例如m n o而p o时 这方程组应理解为x xo o y yo o设X Xoyyo -t得方程组mnpx x0 mty y nt z zo pt此方程组就是直线L的参数方程 两直线的夹角两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角设直线Li和L2的方向向量分别AAA为 siminipi和 S2m2n2p2那么Li 和 L2 的夹角 就是s , 和S, S , S2两者中的锐角因此cosA

23、IcosG，s，|cosA|cossi, sOI|中2 nin AP2lmi2 ni2 pi2 . m2n2 p2设有两直线L iliLi X Xy Vni-Zi L2piXm2n2p2X2y y2 z Z2L 2mim2 nin2II L2pip2 0 mipm2n2p2 直线与平面的夹角当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时规定直线与平面的夹角为设直线的方向向量 s (m n p)平面的法线向量为 n (ABC)直线与平面的夹角为那么AA|y (s , n)| 因此 sin |cosS , n)|sin|Am Bn Cp|因为直线与平面垂

24、直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行所以 直线与平面垂直相当于ABCm n p因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直所以直线与平面平行或直线在平面上相当于Am Bn Cp 0设直线L的方向向量为(m n p)平面 的法线向量为(A B C)贝UL ABCm n pL/ / Am Bn Cp 0三、疑难点解析1数量积、向量积、混合积易混怎么办?答：数量积是一个数量无方向、向量积是个向量有方向，算出来的向量垂直于两向量 构成的平面，且满足右手法那么。混合积也是个常数。数量积：a b |a| |b| cosaxbx ayby azbz向量积 cab ，|c|

25、|a|b|sini j kax ay az aybzi azbxj axbyk aybxk axbz j azbyi bx by bz混合积:ax ayabc= (a b)?c= bx byCx CyazbzCz2平面图形的方程如何求出该图形绕坐标轴旋转后所得旋转体的方程？答：求旋转曲面方程的口诀用通俗的语言描述就是：“绕谁如x旋转谁不变，另外一个字母变成.平方和如y2 z2 。3同一个方程在空间和在平面中表示的图形为何不一样？答：例如：x2 y2 64，在平面上只有两个坐标，所以表示的是一个圆，但在空间中是三维坐标的，这个方程表示的就是圆柱了，即当x0, y0满足上述方程，那么对任意的z,X

26、o, yo,z也满足这个方程。4求平面方程有几种方法，具体用于求平面方程时要注意哪些关键的东西？答：求平面方程时最关键的就是要找到平面中的一个点和平面的法向量，求平面的法向量经常会用到两向量的叉乘的方向的性质来解决法向量，也即找到两个向量做叉乘后所得到的向量便可做所求向量的法向量。5解与直线和平面相关的题时如何分析？答：但凡涉及平面的找法向量，但凡涉及直线的找方向向量。 然后在根据具体题来分析该如何使用法向量和方向向量。四、考点分析(一)向量的的根本概念的相关知识例1、平行于向量a (6,7, 6)的单位向量为解:6iiii 11例2、设两点 M ,(4, ,2,1)和M 2(3,0,2)，计

27、算向量M 1M2的模，方向余弦和方向角.解、M 1M 2 = ( -1， - 2， 1)M 1M 2 =2, cos1,cos22,cos2例3、设m 3i5j 8k, n2i4j 7k,p5i4k，求向量a4m 3n p 在 x轴上的投影,及在y轴上的分向量.解：a=13i+7j+15k,例4、在空间直角坐标系所以在x轴上的投影为13，O；i ,j,k下，求 M(a, b, c)关于在y轴上的分量为7j(1)坐标平面；(2)坐标轴；(3)坐标原点的各个对称点的坐标 解:M (a, b, c)关于xOy平面的对称点坐标为(a, b, c),M (a, b, c)关于yOz平面的对称点坐标为(a

28、, b, c),M (a, b, c)关于xOz平面的对称点坐标为(a, b, c),M (a, b, c)关于x轴平面的对称点坐标为(a, b, c),M (a, b, c)关于y轴的对称点的坐标为(a, b, c),M (a, b, c)关于z轴的对称点的坐标为(一a, b, c).M (a, b, c)关于原点对称的对称点的坐标为(a, b, c).(二)向量的数量积、向量积、混合积的计算例5、设a 3i j2k, b i2jk，求(1) a b 及 ab ;(2)( 2a) 3b及a 2b (3) a、b的夹角的余弦.解：(1) a b31 ( 1)2(2)(1)3ij ka b31

29、25i j7k12 1(2) ( 2a)3b 6(ab)18 , a 2b2(ab) 10i 2j 14k(3) cos(a, b)2.21例 6、知 Mi(1, 1, 2) , M2(3,3 ,1) , M 3(3,1,3)，求与 MiMUMMh 同时垂直的单位向量.解：MW 22,4, 1, M2M30, 2,2a M 1M 2 M 2M 36i 4j 4k2 J7 ,2 J7,2、.17即为所求单位向量。例7、OA i3k,OB j 3k，求OAB的面积解：思路：S oab 1OB | = 答案:2,192其中OA OB例&求单位向量，使3i3j 1k，|OA OB |= . 19x轴，

30、其中 a (3,6,8).解：取b i，那么na, n b。c=a-t-fQb =8j-6k,| c |=10, n=,答案：n|c|1局6k)例9、a b 3, ab 1,1,1,求(a,b)解：ab a b s in (a,b) = V3,a b a|bcos(a,b)。ta n (a, b)3,答案:3(a,b)-例10.矢量a,b互相垂直，矢量c与a,b的夹角都是60，且2,|c 3计算:(1)( a b)2 ;(2)(a b)(a b);(3)(3a 2b).(b 3c);(4)(a 2b c)2解：(ar 2- 2b)2 a -22a.b b0 225;(2)(ab)(a b)-2

31、 a-2b(3a2b).(b3c)3a.b1 22 22b3；9a.c6b.c9 3.cos603cos60(4)(a 一 2 22b c) a4ab2ac 4bc72；2 24b c1 2 3cos60 43cos60 42232 11例11、平行四边形以 a 1 , 2, -1 ,(1)求它的边长和内角(2)求它的两对角线的长和夹角解：(1) a22 11V6, b、1 22 1cosuu ra br barccos1 或61arccos-6LUc2=0cosa b例 12、 a 1, b 5, a b3.试求：(1) a br r r r 2 (a b) (a b)rr r r 2(3)

32、 (a 2b) (b 2a)解:(1) sin(a,b)cos2(a,b)sin(a,b)4.(2)原式=(ab)(ab)2r(2ab)264.(3)原式=2b2ar r 24b a (3ab)2=942144例13、直角坐标系内矢量 a,b,c的分量为三邻边作成的平行六面体体积 a 3,0, 1, b，判别这些矢量是(1)a 3,4,52, 4,3?如果不共面，求出以它们r1,2,2 , c 9,14,16C 1, 2,2r r r345r r r解：(1)共面/(a,b,c) =1220向量a,b, c共面91416301r r rr r r(2)不共面 (a,b,c)=2432向量a,

33、b, c不共面122的平行六面体体积V 2以其为邻边作成(三) 求平面的曲线与曲面例14一动点M到A (3,0)的距离恒等于它到点B( 6,0)的距离一半，求此动点M的轨迹万程，并指出此轨迹是什么图形？1解：动点 M在轨迹上的充要条件是 MA - MB。设M的坐标(x, y)有2J(x 3)2 y2 抽 6)2 y2 化简得(x 6)2 y2 36故此动点M的轨迹方程为(x 6)2 y2 36此轨迹为椭圆例15、把下面的平面曲线的普通方程化为参数方程1 1 10 ; x3 y3 3axy 0, a 01a?4,y asin y2 x3； x2y2a2, a23解:x ty t1 1令x a c

34、os4，代入方程x2 y21 1 1 12 2 2 2 2 2得 y2a2a2 cos a2 sin4x a cos参数方程为44y a sin令y tx,代入方程x3 y3 3axy 0得1t3 x3 3atx20x2 1 t3 x 3at 0x0或x3一1x3at1 t3y3at21 t3故参数方程为3at当x 0时，y 0;当x b时,y3at2FT(四) 空间的曲线与曲面方程及投影例15、一动点移动时，与 A(4,0,0)及xoy平面等距离，求该动点的轨迹方程。解：设在给定的坐标系下，动点M (x, y, z)，所求的轨迹为 C，那么 M(x, y,z) CMA z亦即(x4)2y2z

35、2z2 2(x4) y 0由于上述变形为同解变形，从而所求的轨迹方程为(X 4)2 y2 0例16、求以下各球面的方程:(1) 中心(2, 1,3)，半径为；R 6(2) 中心在原点，且经过点(6, 2,3)；(3) 条直径的两端点是(2 3,5)与(4,1, 3)(4) 通过原点与(4,0,0), (1,3,0), (0,0, 4)(5) 求中心在C(3, 5,2)且与平面2x y 3z 110相切的球面方程。解：(1)所求的球面方程为：2 2 2(x 2) (y 1) (z 3)36(2)球面半径 R . 62( 2)2327所以类似上题，得球面方程为2 2 2x y z 49243 15

36、3(3 )球面的球心坐标a3,b1,c1 ,球的半径2 2 2R 2 .(4 2)2(1 3)2(5 3)2.21，所以球面方程为：2 2 2(X 3) (y 1) (z 1)212 2 2(4)设所求的球面方程为：x y z 2 gx 2hy 2kz l 0(1)因该球面经过点(0Q0),(4,0,0), (1,3,0), (0,0, 4)，所以l0168g0102g6h 0168k0解1有l0h1g2k22所求的球面方程为 x2yz2 4x2y4z05球面的半径为C到平面:2x y3z110的距离，它为R -2 3 5 6 11282尿，届所以,要求的球面的方程为(x3)2(y 5)2(z

37、2)256 .即：222厂x yz 6x10y4z 180例17、 1将xOy坐标面上的y2 2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_，曲面名称为.2将xOy坐标面上的x2 y2 2x绕x轴旋转一周，生成的曲面方程 ，曲面名称为.2 23将xOy坐标面上的4x 9y 36绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为，曲面名称为.4 在平面解析几何中 y x2表示图形。在空间解析几何中2y x表示图形.解：求旋转曲面方 程的口诀：绕谁如 x旋转谁不变，另外一个字母变成 一平方和如y2Z2 1 y2 z2 2x,旋转抛物面(2)x22yZ22 x，球面(3)绕 x轴：4x29y29z236旋转双叶双曲面绕

38、y轴：4x24z29y236旋转单叶双曲面4、抛物线，抛物柱面5 画出以下方程所表示的曲面Z24x2 y2解:解2 2x y例18、( 1)、指出方程组 4 9y 31在平面解析几何中表示图形，在空间=析几何中表示图形.2(2 )、求球面x2 2y z 9与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程(3 )、求上半球0z .a2 x2 y2与圆柱体x2ax (a 0)的公共局部在xOy面及xOz面上的投影2(4)、求曲线 yz2 2xz 30在xoy坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲线?解：(1 )、平面解析几何表示椭圆与其一切线的交点；空间解析几何中表示椭圆柱面与其切 平面的交线

39、。2 2(2)、2x2 2x y28z 0在xOz面的投影为(？)(xa 22)y (|)222 ，z022 2xz ay0(3)、在xoy面的投影为:(4)、先求投影柱面方程，答案：原曲线在xoy面上的投影曲线方程为y2 z2 2x 0被z 3平面所截的抛物线。2x 90。原曲线是由旋转抛物面z 0例19、1柱面的1准线为：(x1)2(y3)2(z2)225xyz 20母线平行于x轴，求该柱面方程；解：从方程(x1)2(y3)2(z2)225xyz 20中消去x，得到：(z y 3)2(y3)2(z2)225即：y2 z2 yz 6y 5z I 0此即为要求的柱面方程。1例20、椭圆抛物面的

40、顶点在原点，对称面为XOZ面与yoz面，且过点(1,2,6)和(一，1,1),3求这个椭圆抛物面的方程。解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：令确定a与b工11,1)均在该曲面上。(1,2,6)和(,3有:从而2a14 122 1ab119a2b2136 15 b2所以要求的椭圆抛物面的方程为:36x26y252Z即：18x2 3y2 5z(五) 求平面方程等相关知识点的各类常见的重要题型(找到平面过的点和平面的法向量)注意利用两向量的叉乘知识来解决平面的法向量。例21( 1 )、求过点(3,0,-1) 且与平面3x-7y+5z-12=0 平行的平面方程.解：平面过点为(3,0，-1)，且

41、与平面 3x-7y+5z-12=0 平行，所以所求平面的法向量为n (3, 7,5),再由平面方程的点法式方程知所求方程为：3x 7y 5z 4 0(2) 、求过点(1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.解：因为所求平面平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，所以知道平面的法向量垂直于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)，根据向量的叉乘知 nab (1,1, 3)，在由点法式方程知所求平面为：1 (x 1) 1 (y 1) 3(z 1)0。(3) 、求平行于xOz面且过点(2,-5,3)的平面方程解：所求平面平行于xOz面，所以垂直

42、y轴，所以可以用z轴上的单位向量(0,1,0 )为法向量，再由点法式方程知所求平面为：y 5 0(4) 、求平行于x轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.解：因为平面过两点 M(4,0,-2)和N(5,1,7)，所以过向量 NM = (1,1，9),由因为所求平 面平行于x轴，所以平面平行于x轴上的单位向量i=( 1,0,0 )，从而n MN I (0,9, 1),再由点法式方程知所求平面方程为：9y z 2 0(5) 、求过点(2,0,-3)且与直线x 2y 4z 70垂直的平面方程.3x 5y 2z 10解：直线x 2y 4z 70的方向向量可以作为所求平面的法向量，所以3

43、x 5y 2z 10v (1, 2,4) (3,5, 2)( 16,14,11)，在由平面的点法式方程知所求平面为：16x 14y 11z 65 0(6) 、求过点(3,1,-2)且通过直线4-的平面方程521解：因为平面过直线，所以过直线上的点A(4，-3,0 )，过点 B(3,1,-2),从而过向量AB ( 1,4, 2)及直线的方向向量v (5,2,1),因此平面的法向量可求出n AB v (8, 9, 22)，再由平面的点法式方程知所求平面为：8x 9y 22z 59 0。(7)、求过点(2,0,3)且与直线2x 2y 4z 70,垂直的平面方程。3x 5y 2z 10._ i j k

44、解：s 22416(1, 1, 1)352所求平面方程为(x2) (y 0) (z 3)(8)、求过点 M1(4,1,2)，M2( 3,5,1)，且垂直于6x 2y 3z 70的平面.解：法一：，所求平面法向量 n M1M2，且n 6, 2,37436,3, 10又平面过点Mi(4,1,2)，那么平面方程为6x 3y 10z70解法2.在平面上任取一点 M (x,y,z)，那么MM1 M1M2和n16, 2,3共面，由三向量共面的充要条件得0 ,整理得所求平面方程(9)、求过直线|12y2x0，且与直线丨2 :-0 1y11平行的平面.解：用平面束。设过直线的平面束方程为x 2y z 1(2x

45、 y2) 0因为所求平面与直线:7那么所求平面的法向量(122,1)与直线l2的方向向量(1,-1,2), 从而(12)(2) 2(1 ) 0平面方程为11x 3y 4z 110。(10 )、求通过x轴其与点 M 5,4,13相距8个单位的平面方程。解：设通过x轴的平面为By Cz0它与点M 5,4,13相距8个单位，从而248B104BC2105C0.因此 12B 35C 4B 3C0.从而得12B 35C0 或 4B 3C 0.于是有 B:C 35:12 或 B:C 3:所求平面为35 y12z0或 3y 4z 0.(11)求过 A(1,1,-2)，B(-2，-2,2)，C( 1，-1,2

46、)三点的平面方程解 Jt电-1,2)-(1,1(-1? -Nni=tbbo所求平I的铤线向竝为i J *=n2=0 -2 3 二一引亠亠6Jt,3 I 0所求平面的方程为1+6 10,即12、直线L,：X12 口，直线L2：_ 丄 -，求过L1且平行L20 1 2 1 1的平面方程。1 jk解：n 1011, 3,12 11在L1上任取一点1,2,3,故所求平面方程为x 1 3y 2 z 3 0 即x 3y z 2 013 、求过z轴，且与平面2x y、5z 0的夹角为一的平面方程.3解：平面过z轴，不妨设平面方程为Ax By 0,那么n1 A,B,0，且代B不全为0，平面的法向量为 n22,

47、1, 、. 5，两平面的夹角为，根据两法向量与两2A B、A2 B2 .103平面的关系有cos | n1 ? n2 |3 | n1 | | n2 |所以所求的平面方程为：x 3y 0或xy 03例 22 1 、求过点1,2,3且平行于直线xy 3 三的直线方程215解：因为所求直线平行于直线x y 3z1，所以可取所求直线的方向向量为2,1,5，六求直线方程等相关知识点的各类常见的重要题型找出直线所过的点与直线方向向 量215又因为过点(1,2,3 ),由直线的对称式方程知所求直线方程为:(2) 、求过点(0,2,4)且与两平面x 2z 1, y 3z 2平行的直线方程解：所求直线与两平面x

48、 2z 1, y 3z 2平行，所以该直线垂直于这两平面的法向量n11,0,2,门2(0,1, 3)，所以也垂直于这两法向量构成的平面，有两向量的叉乘知可去所求直线的方向向量为v ni n2( 1,3,1)，再由直线的对称式方程知所求直线方程为:x y 2 z 4231x 1 y 3 Z(3)求过M0( 1,0,4)且平行于平面3x 4y z 10 0又与直线相交1 1 2的直线方程。解：设所求直线方程为所求直线与平面平行，那么所求直线的方向向量与平面的法向量垂直即有3m 4n p 0 1又所求直线与直线(相交)共面，在直线上任取一点M1 1,3,0，那么mnp在平面上。一向量(所求直线，直线，M0M1)共面，得1120，034即 10m 4n 3p 0 2由1 2，得 m : n : p 16: 19 : 28所求直线方程：