连续系统常用数学模型及其转换PPT学习教案

1、会计学1 连续系统常用数学模型及其转换连续系统常用数学模型及其转换 例例1 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表示出来，并将其建立在工作空间中。 6423 92 )( 234 ssss s sG 解解 : : 第1页/共48页 一一. MATLAB简介简介 MATLAB具有以下主要特点：具有以下主要特点： 1)超强的数值运算功能。在MATLAB里，有超过500种的数学、统计、科 学及工程方面的函数可供使用，而且使用简单快捷。由于库函数都由本领 域的专家编写，用户不必担心函数的可靠性。 2)语法限制不严格，程序设计自由度大。例如，在MATLAB里，用户无需 对矩阵预定义就可使用。 3

2、)程序的可移植性很好，基本上不做修改就可以在各种型号的计算机和 操作系统上运行。 4)强大的数据可视化功能。在FORTRAN和C语言里，绘图都很不容易， 但在MATMB里，数据的可视化非常简单。MATIAB还具有较强的编辑图形 界面的能力。 5)丰富的工具箱；由各学科领域内学术水平很高的专家编写的功能强劲的工 具箱，使用户无需编写自己学科范围内的基础程序，而直接进行高、精、 尖的研究。 第2页/共48页 二二. MATLAB的工作环境的工作环境 启动MATIAB6.x后，显示的窗口如图所示。 第3页/共48页 第4页/共48页 第5页/共48页 而选中命令窗口中View菜单的“Dock com

3、mand Window”子菜单又可 让命令窗放回桌面(MATIAB桌面的其他窗口也具有同样的操作功能)。 第6页/共48页 窗口中的符号“”，表示MATIAB已准备好，正等待用户输入命令。用户可以在“”提示符后面输入命令，实现计算或绘图功能。 在命令窗口中，可使用方向键对已输入的命令行进行编辑，如用“”键或“”键回到上一句指令或显示下一句命令。 (3)工作空间窗口“Work-space” 工作空间指运行MATLMB程序或命令所生成的所有变量构成的空间。每打开一次MATLAB，MATIAB会自动建立一个工作空间。 第7页/共48页 (4) 命令历史窗口“Command History” 第8页/

4、共48页 例例2 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型表示出来。 )835()2)(13( )32(7 )( 323 sssss s sG 解：解：其MATLAN命令为： num=7*2,3; den=conv(conv(conv(1,0,0,3,1),conv(1,2,1,2),5,0,3,8); sys=tf(num,den) 运行结果：运行结果： Transfer function: 14 s + 21 15 s8 + 65 s7 + 89 s6 + 83 s5 + 152 s4 + 140 s3 + 32 s2 第9页/共48页 第10页/共48页 ) 32( )()( )(

5、)( )( 21 21 n m zspsps zszszs ksG 在在MATLABMATLAB里，用函数命令里，用函数命令zpk( )zpk( )来建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型。来建立控制系统的零极点增益模型，或者将传递函数模型或者状态空间模型转换为零极点增益模型。zpk( )zpk( )函数的调用格式为：函数的调用格式为： sys=zpk(z,p,k)zpk(z,p,k) m zzzz, 21 n pppp, 21 函数返回的变量sys为连续系统的零极点增益模型。 第11页/共48页 例例3 已知系统传递函数为 ， 利用MATLAB将

6、上述模型表示出来。 ) 1)(6 . 4( )20(5 )( sss s sG k=5; z=-20; p=0,-4.6,-1; sys=zpk(z,p,k) 结果：结果： Zero/pole/gain: 5 (s+20) - s (s+4.6) (s+1) 解解： 第12页/共48页 ) 42( )()()()( )()()()( btDutCxty atButAxt x 在MATLAB中，用函数ss( )来建立控制系统的状态空间模型，或者将传递函数模型与零极点增益模型转换为系统状态空间模型。ss( )函数的调用格式为： sys=ss(a,b,c,d) 函数的返回变量sys为连续系统的状态空

7、间模型。函数输入参数a,b,c,d分别对应于系统的A，B，C，D参数矩阵。 第13页/共48页 例例4 已知系统的状态空间描述为 xy uxx 2020 0 2 2 4 75. 025. 075. 125. 1 125. 15 . 025. 0 25. 025. 125. 425. 2 5 . 025. 1525. 2 利用MATLAB将上述模型表示出来。 P41 P41 作业作业2-22-2 解解： a=2.25,-5,-1.25,-0.5; 2.25,-4.25,-1.25,-0.25; 0.25,-0.5,-1.25,-1; 1.25,-1.75,-0.25,-0.75; b=4;2;2

8、;0; c=0,2,0,2; d=0; sys=ss(a,b,c,d) 第14页/共48页 表2-1 数学模型转换函数及其功能 函 数 名函 数 功 能 ss2tf将系统状态空间模型转换为传递函数模型 ss2zp将系统状态空间模型转换为零极点增益模型 tf2ss将系统传递函数模型转换为状态空间模型 tf2zp将系统传递函数模型转换为零极点增益模型 zp2ss将系统零极点增益模型换为状态空间模型 zp2tf零极点增益模型换为传递函数模型 第15页/共48页 (1) (1) 控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换控制系统模型向传递函数或零极点增益形式的转换 1.1.状态方程向传递函数形式的转

9、换状态方程向传递函数形式的转换 DUCXY BUAXX DBA)IC(G 1 s sden snum s )( )( )( num,den=ss2tf(A,B,C,D,iu) iu用于指输入量序号，对于单输入系统iu=1；返回结果num为传递函数分子多项式系数，按s的降幂排列；相应的传递函数分母系数则包含在矩阵den中。 为了获得传递函数的形式，还可以采用下述方式进行，即： G1=ss(A,B,C,D); G2=tf(G1) 第16页/共48页 例例5 已知连续系统的状态空间描述如下，求相应的传递函数模型。 xy uxx 2020 0 2 2 4 75. 025. 075. 125. 1 12

10、5. 15 . 025. 0 25. 025. 125. 425. 2 5 . 025. 1525. 2 a=2.25,-5,-1.25,-0.5; 2.25,-4.25,-1.25,-0.25; 0.25,-0.5,-1.25,-1; 1.25,-1.75,-0.25,-0.75; b=4;2;2;0; c=0,2,0,2; d=0; T=1; num,den=ss2tf(a,b,c,d,T); sys=tf(num,den) 第17页/共48页 第18页/共48页 2.2.模型向零极点形式的转换模型向零极点形式的转换 其基本格式为： z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,iu) 状态方程

11、模型转换为零极点模型 z,p,k=tf2zp(num,den) 传递函数模型转换为零极点模型 G1=zpk(sys) 非零极点模型转换为零极点模型 例例6 已知连续系统的状态空间描述如下，将其转换成零极点形式。 xy uxx 2020 0 2 2 4 75. 025. 075. 125. 1 125. 15 . 025. 0 25. 025. 125. 425. 2 5 . 025. 1525. 2 第19页/共48页 第20页/共48页 (2)(2)系统模型向状态方程形式的转换系统模型向状态方程形式的转换 其基本格式为： a,b,c,d=tf2ss(num,den) a,b,c,d=zp2s

12、s(z,p,k) G1=ss(sys) 例例7 已知系统传递函数为 利用MATLAB将上述模型转换成状态空间模型。 6423 92 )( 234 ssss s sG 第21页/共48页 第22页/共48页 (3)(3)约当规范状态方程的实现约当规范状态方程的实现 在在MATLABMATLAB中提供给用户一个规范实现函数中提供给用户一个规范实现函数canon,canon,以进行线性定常系统模型以进行线性定常系统模型syssys的规范状态空间表达式的实现的规范状态空间表达式的实现. . 其基本格式：其基本格式： G1=canon(sys, G1=canon(sys, modalmodal) ) 同

13、时，规范实现函数canon还可以返回状态变换阵T G1G1，T=canon(sys,T=canon(sys,modalmodal) ) 例例8 现代控制理论 教材P46-47 试用canon函数将下列状态空间表达式化为约当标准型。 x xx 001 1 0 0 032 100 010 y u 第23页/共48页 在现代控制理论课程中变换后的状态空间表达式为： u 1111. 0 3333. 0 1111. 0 200 010 011 3 2 1 3 2 1 x x x x x x 3 2 1 x x x 101y 421 211 101 321 PPPP 1111. 02222. 01111.

14、 0 3333. 03333. 06667. 0 1111. 02222. 08889. 0 1 P 第24页/共48页 解： A=0,1,0;0,0,1;2,3,0; B=0;0;1; C=1,0,0; D=0; sys=ss(A,B,C,D,1); G1,T=canon(sys,modal) 第25页/共48页 1. 解析法建立数学模型解析法建立数学模型 如：现代控制理论 例 试列写如图所示RLC的电路方程，建立系统的状态空间表达式。 ) 1 ( 1 i uidt Cdt di LRi 解：根据电路定律可列写如下方程： )2( 1 0 idt C uy )3( 1 , 21 idt C u

15、xix c 2 1 2 1 2 1 10 0 1 0 1 1 x x y u L x x C LL R x x i 第26页/共48页 jjGj js eAejGsGjG )()( 弦曲线之比输出正弦曲线与输入正 jX jY jG)( 入正弦曲线的相移输出正弦曲线相对于输 )( )( )( jX jY jG 第27页/共48页 自动控制原理P131 第28页/共48页 一一. .正弦信号产生器正弦信号产生器 在进行频率响应实验时，必须提供适当的正弦信号产生器。对于大时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.00110赫兹；对于小时间常数系统，实验所需要的频率范围约为0.11000赫兹。正弦信号

16、必须没有谐波或波形畸变。 二由二由Bode图求最小相位系统传递函数图求最小相位系统传递函数 为了确定传递函数，首先要画出实验得到的对数幅值曲线的渐进线。渐进线的斜率必须是20分贝/十倍频程的倍数。 图2.2-1表示了0型、型、型系统的对数幅值曲线，同时也表示了频率与增益K之间的关系。 第29页/共48页 2.2- 1 第30页/共48页 三频率响应法建立系统传递函数模型举例三频率响应法建立系统传递函数模型举例 例例 用实验方法测得某系统的开环频率响应数据表2-1。试用表中数据建立该系统开环传递函数模型G(s)。 解解 （1）由已知数据绘制该系统的开环频率响应的Bode图。 第31页/共48页

17、第32页/共48页 （2）20dB/dec及其倍数的折线逼近幅频特性，如图中折线。得两个转折频率。 sradsrad/85. 2,/1 21 求出相应惯性环节的时间常数为： sTsT35. 0 1 1 1 2 2 1 1 （3）由低频段幅频特性知道： 所以K=1。 ，0 0 L （4）由高频段相频特性知，相位滞后已超过-1800，且随着增大，相位滞后加大，显然该系统存在纯滞后环节 ，为非最小相位系统。 s e s s e sssTsT Ke sG 135. 01 1 11 )( 21 第33页/共48页 （5）设法确定纯滞后时间设法确定纯滞后时间值值。查图中 而按所求得的传递函数，应有 ,86

18、/1 0 11 时，srad 0 0 11 86 180 35. 0arctan1arctan 解得：1=0.37s。 再查图中 ,169/85. 2 0 22 时，srad 0 0 22 169 180 85. 2)85. 235. 0arctan(85. 2arctan 解得：2=0.33s。 s35. 0 2 21 （6）最终求得该系统开环传递函数模型G(s)为： s s e sssTsT Ke sG 35. 0 21 135. 01 1 11 )( 0 0 1112111 86 180 arctanarctan TT 0 222212 1693 .57arctanarctanTT 第3

19、4页/共48页 3 3控制系统建模实例控制系统建模实例 独轮自行车实物仿真问题独轮自行车实物仿真问题 1 1问题提出问题提出 2.3-1 第35页/共48页 2.3-2 第36页/共48页 控制理论中把此问题归结为“一阶直线倒立摆问题”（如图2.3-3所示）。 2.3-3 G 第37页/共48页 第38页/共48页 2 2解析法建立该系统数学模型解析法建立该系统数学模型 1 1）根据牛顿第二定律，在水平）根据牛顿第二定律，在水平x x轴方向满足：轴方向满足： 22 2 (1) sin, G GG dd FMxmx dtdt xxlx 其中：为摆杆质心水平坐标。 .cos.sin)( .cos)

20、( sin)( sin 2 2 2 2 22 2 22 mlx dt d mM dt d mlx dt d mM dt d mlx dt d mM lx dt d mx dt d MF )22 . 2(.cos.sin)( 2 mlmlxmMF 第39页/共48页 2 2）摆杆重心的水平运动可描述为：）摆杆重心的水平运动可描述为： ).cos.sin( ).(cos sin )sin( 2 2 2 2 2 2 2 mlxm dt d mlxm dt d mlxm lx dt d mx dt d mF Gx 2 sin .cos .(3) x Fmxmlml 第40页/共48页 3 3）摆杆重心

21、的垂直方向上的运动可描述为：）摆杆重心的垂直方向上的运动可描述为： cos 2 2 2 2 l dt d my dt d mmgF Gy ).sin.cos( ).sin( cos 2 2 2 mlmg dt d mlmg dt d mlmgFy 2 cos .sin .(4) y Fmgmlml 第41页/共48页 4）摆杆绕其重心的转动方程为：）摆杆绕其重心的转动方程为： (sin )(cos )(5) yx JFlFl ).cos.sin(cos).sin.cos(sin 22 mlmlxmlmlmlmglJ 2 sin .cos .(3) x Fmxmlml 2 cos .sin .(

22、4) y Fmgmlml .cos.cossin.cos.sin.cossinsin 22222222 mlmlxmlmlmlmglJ .cos.cos.sinsin 2222 mlxmlmlmglJ sin).cos(sin.cos 222 mglmlxmlJ 2 ()cos .sin(6)Jmlmlxmgl 2 ()sin .cos .(2)FMm xmlml 整理式（2）和式(6) 第42页/共48页 2222 2 22 22 2 22 2 222 sin .sincos cos (7) cos .sincos .lgsin cos JmlFml Jmlm l g x JmlMmm l mlFm lMm m m lMmJml 第43页/共48页 3 3