逆矩阵与分块矩阵PPT学习教案

1、会计学1 逆矩阵与分块矩阵逆矩阵与分块矩阵 第1页/共44页 矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算矩阵与复数相仿，有加、减、乘三种运算. 矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？矩阵的乘法是否也和复数一样有逆运算呢？ 这就是本节所要讨论的问题这就是本节所要讨论的问题. 这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是这一节所讨论的矩阵，如不特别说明，所指的都是 n 阶方阵阶方阵. . 从乘法的角度来看，从乘法的角度来看，n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 在同阶方阵中的地在同阶方阵中的地 位类似于位类似于 1 在复数中的地位在复数中的地位 一个复数一个复数 a 0的倒数的倒数 a1可以用可以用 等式等式

2、a a1 = 1 来刻划来刻划. 类似地，我们引入类似地，我们引入 对于对于 n 阶单位矩阵阶单位矩阵 E 以及同阶的方阵以及同阶的方阵 A，都有，都有 nnnnn A EE AA 第2页/共44页 定义：定义： n 阶方阵阶方阵 A 称为称为可逆的可逆的，如果有，如果有 n 阶方阵阶方阵 B，使得，使得 这里这里 E 是是 n 阶单位矩阵阶单位矩阵. ABBAE 根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式根据矩阵的乘法法则，只有方阵才能满足上述等式. 对于任意的对于任意的 n 阶方阵阶方阵 A，适合上述等式的矩阵，适合上述等式的矩阵 B 是是 唯唯 一的（如果有的话）一的（如果有的话）.

3、定义：定义： 如果矩阵如果矩阵 B 满足上述等式，那么满足上述等式，那么 B 就称为就称为 A 的的逆矩阵逆矩阵， 记作记作 A 1 . 第3页/共44页 下面要解决的问题是：下面要解决的问题是： 在什么条件下，方阵在什么条件下，方阵 A 是可逆的是可逆的 ？ 如果如果 A 可逆，怎样求可逆，怎样求 A 1 ？ ？ 第4页/共44页 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 11211 12222* 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 结论：结论： ，其中，其中 * |AAA AA E 定理：定理：若若 ，则方阵，则方阵A可逆，而且可逆，而且|

4、 0A 1* 1 . | AA A 推论：推论：若若 ，则，则 .| 0A 1 1 | | A A 元素元素 的代的代 数余子式数余子式 位于第位于第 j 行第行第 i 列列 ij a ij A 第5页/共44页 例：例：求二阶矩阵求二阶矩阵 的逆矩阵的逆矩阵. ab A cd 1 1db A adbcca 第6页/共44页 例：例：求求3阶方阵阶方阵 的逆矩阵的逆矩阵. 221 315 323 A 解解：| A | = 1， 111213 212223 313233 7, 6, 3, 4, 3, 2, 9, 7, 4, MMM MMM MMM 则则 112131 1* 122232 1323

5、33 1 | AAA AAAAAA A AAA 112131 122232 132333 MMM MMM MMM 749 637 324 第7页/共44页 方阵方阵A可逆可逆 | 0A 此时，称矩阵此时，称矩阵 A为为非奇异矩非奇异矩 阵阵 容易看出：对于容易看出：对于n 阶方阵阶方阵A、B，如果，如果 ,ABE 那么那么A、B都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵都是可逆矩阵，并且它们互为逆矩阵. . 1* 1 | AA A 定理：定理：若方阵若方阵A可逆，则可逆，则 | 0A 第8页/共44页 推论：推论： 如果如果 n 阶方阵阶方阵A、B可逆，那么可逆，那么 、 、 与与AB也可逆，且也可逆，

6、且 11 (),AA 1 A T A(0)A 11 ()() , TT AA 11 1 (),AA 111 ().ABB A 第9页/共44页 线性变换线性变换 11111221 22112222 1122 , nn nn nnnnnn ya xa xa x ya xa xax ya xaxa x 的系数矩阵是一个的系数矩阵是一个n 阶方阵阶方阵 A ，若记，若记 11 22 , nn xy xy XY xy 则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y = AX . . 第10页/共44页 例：例：设线性变换的系数矩阵是一个设线性变换的系数矩阵是一个 3 阶方阵阶方阵 11 22 33 ,

7、, xy XxYy xy 221 315 323 A 记记 则上述线性变换可记作则上述线性变换可记作 Y = AX 求变量求变量 y1, y2, y3 到变量到变量 x1, x2, x3的线性变换相当于求方阵的线性变换相当于求方阵 A 的逆矩阵的逆矩阵. 第11页/共44页 已知已知 ，于是，于是 ，即，即 1 749 637 324 A 1123 2123 3123 749, 637, 324. xyyy xyyy xyyy 1 XA Y 第12页/共44页 第13页/共44页 问题二： 第14页/共44页 11121314 21222324 31323334 aaaa Aaaaa aaaa

8、 12 21 11 22 A AA A 这是这是2阶阶 方阵吗方阵吗 ？ 第15页/共44页 11211 12222 12 n n nnnn AAA AAA A AAA 第16页/共44页 第17页/共44页 1112131411121314 2122232421222324 3132333431323334 , aaaabbbb AaaaaBbbbb aaaabbbb 1111121213131414 2121222223232424 3131323233333434 abababab ABabababab abababab 11 A 12 A 21 A 22 A 11 B 12 B 21

9、B 22 B 1111 AB 1212 AB 2121 AB 2222 AB 第18页/共44页 若矩阵若矩阵A、B是同型矩阵，且采用相同的分块法，即是同型矩阵，且采用相同的分块法，即 111111 11 , rr ssrssr AABB AB AABB 则有则有 111111 11 rr sssrsr ABAB AB ABAB 形式上看形式上看 成是普通成是普通 矩阵的加矩阵的加 法！法！ 第19页/共44页 11121314 21222324 31323334 aaaa Aaaaa aaaa 11121314 21222324 31323334 aaaa Aaaaa aaaa 11 A 1

10、2 A 21 A 22 A 11 A 12 A 21 A 22 A 第20页/共44页 若若 是数，且是数，且 111 1 r ssr AA A AA 则有则有 111 1 r ssr AA A AA 形式上看形式上看 成是普通成是普通 的数乘运的数乘运 算！算！ 第21页/共44页 一般地，设一般地，设 A为为ml 矩阵，矩阵，B为为l n矩阵矩阵 ，把，把 A、B 分块如下：分块如下： 11 1112111121 212222 2 1222 12 2 1 2 2 1 2 1 , , tr tr ssstttt tr trs AAABBB AAAB nnn m m m BB AB AAA l

11、ll l l BlBB 11121 21222 1 12 , (1, ; 1, ) r t rijikkj k sssr CCC CCCCA B CAB is jr CCC 12 12 12 s t r l mmmm nnnn lll 第22页/共44页 则 12 (,) T iiiin aaa 11121 1 21222 2 12 12 ,. T n T n n T mmmn m aaa aaa A aaa 1 2 , j j j mj a a a 第23页/共44页 1111 222 12 1 12 212 2 (), T TT n T TTT n TT ijm nn TTT mmmnm

12、CcAB 1 2 12 1 ,. j s j T ijijiiisikkj k sj b b caaaa b b 第24页/共44页 111 1 r ssr AA A AA 111 1 TT s T TT rsr AA A AA 11121314 212223241234 31323334 , aaaa Aaaaa aaaa 112131 1 122232 2 132333 3 142434 4 T T T T T aaa aaa A aaa aaa 分块矩阵不仅形分块矩阵不仅形 式上进行转置，式上进行转置， 而且每一个子块而且每一个子块 也进行转置也进行转置 第25页/共44页 1 1 2

13、2 3 5000 0100 0083 0052 AOO BO AOAO OB OOA 第26页/共44页 1 2 s A A A A 1 1 1 12 1 s A A A A 第27页/共44页 例例: :设设 ，求，求 A1 解：解： 500 031 021 A 1 2 500 031 021 AO A OA 1 11 1 (5), 5 AA 1 22 3111 , 2123 AA 1 11 1 2 1/500 011 023 AO A OA 第28页/共44页 例：例：往证往证 Am n = Omn的充分必要条件是方阵 的充分必要条件是方阵ATA = On n 证明：证明：把把 A 按列分

14、块，有按列分块，有 于是于是 那么那么 即即 A = O 12 (), ijm nn Aa 1112 212 2 11 222 12 1 , T TT n T TTT n TT T n TTT nnnnn A AO 1 2 222 1212 ,0 j j T jjjjmjjjmj mj a a aaaaaa a 12 0 jjmj aaa 第29页/共44页 第30页/共44页 二元线性方程组二元线性方程组 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 若令若令 1112 2122 aa D aa 12 1 1 222 b b a D a 1 2 2 11 21 ba D a

15、b ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) ) 则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD 第31页/共44页 如果线性方程组如果线性方程组 11112211 21122222 1122 (1) nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 第32

16、页/共44页 122 123 ,. (2) n n DDDD xxxx DDDD 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的列的元素用方程组右端的 常数项代替后所得到的常数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即 j DDj n 111,11,11 1,1,1 1jjn j nn jn jnnn aaaa D aaaa b b 那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成 第33页/共44页 定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论： 方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；

17、解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性） 解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. . 这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论. . 第34页/共44页 定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . . 定理定理4

18、如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零系数行列式必为零. . 设设 11112211 21122222 1122 (1) nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 第35页/共44页 例例 解线性方程组解线性方程组 1234 124 234 1234 258, 369, 225, 4760. xxxx xxx xxx xxxx 解解 2151 1306 0212 1476 D 12 2rr 42 rr 07513 1306 0212 07712 第36页/共44页 7513 212 7

19、712 12 2cc 32 2cc 353 010 772 1 8151 9306 5212 0476 81 D 2 2851 1906 0512 1076 =108 D 270 第37页/共44页 3 2181 1396 0252 1406 27 D 4 2158 1309 0215 1470 27 D 1 1 81 3, 27 D x D 2 2 108 4, 27 D x D 3 3 27 1, 27 D x D 4 4 27 1. 27 D x D 第38页/共44页 线性方程组线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则

20、 称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. . 11112211 21122222 1122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 齐次线性方程组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个 解，称为解，称为零解零解. . 因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解不一定有非零解. . 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解在着非零解. . 第39页/共44页 齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解. . 0D 定理定理5 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解, ,则它的系数行列式必则它的系数行列式必 为零为零. . 备注备注 1.1.这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有 非零解的必要条件非零解的必要条件. . 2