违背古典假定的计量经济模型新PPT学习教案

1、会计学1 违背古典假定的计量经济模型新违背古典假定的计量经济模型新 第1页/共155页 第2页/共155页 第3页/共155页 更大。更大。 第4页/共155页 YX BU 2 var cov()() T u UE UU U 第5页/共155页 ,YPY XPX UPU YXBU 第6页/共155页 一、异方差的一、异方差的涵义涵义 二、异方差性的后果二、异方差性的后果 三、异方差的检验三、异方差的检验 四、异方差的消除方法四、异方差的消除方法 五、案例五、案例 第7页/共155页 对于模型对于模型 ikikiiii XXXY 2210 如果出现如果出现 Var ii () 2 即即对于不同的

2、样本点对于不同的样本点，随机误差项的方差不再是常数随机误差项的方差不再是常数，而互不相同而互不相同，则认为出现了则认为出现了异方差性异方差性(Heteroscedasticity)。 一、异方差的概念一、异方差的概念 第8页/共155页 第9页/共155页 例例 以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型以某一行业的企业为样本建立企业生产函数模型 Yi=A LiKi e i 被解释变量：产出量被解释变量：产出量Y 解释变量：资本解释变量：资本K、劳动力、劳动力L 那么：那么：每个企业所处的每个企业所处的外部环境外部环境对产出量的影响被包含在随机误差项中。对产出量的影响被包含在随机误差项中。 每

3、个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。每个企业所处的外部环境对产出量的影响程度不同，造成了随机误差项的异方差性。 这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。这时，随机误差项的方差并不随某一个解释变量观测值的变化而呈规律性变化，呈现复杂型。 第10页/共155页 异方差产生的原因：异方差产生的原因： 一模型中省略的解释变量；一模型中省略的解释变量； 二测量的误差；二测量的误差； 三截面数据中总体各单位的差异三截面数据中总体各单位的差异 第11页/共155页 计量经济学模型一旦出现异方差性，如果仍采用计量经济学模型一旦出现异

4、方差性，如果仍采用OLS估计模型参数，会产生下列不良后果：估计模型参数，会产生下列不良后果： 1 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 OLS估计量估计量仍然具有仍然具有无偏性无偏性，但，但不具有不具有有效性有效性 因为在有效性证明中利用了因为在有效性证明中利用了 E(uuT)= 2I 而且，在大样本情况下，尽管参数估计量而且，在大样本情况下，尽管参数估计量具有具有一致性一致性，但仍然，但仍然不具有不具有渐近有效性渐近有效性。 第12页/共155页 2 2、变量的显著性检验和置信区间失去意义、变量的显著性检验和置信区间失去意义 变量的显著性检验中，变量的显著性检验中，构造了构造了t统计量统计

5、量 t = b1/s(b1) 它是建立在它是建立在2 2不变而正确估计了参数方差不变而正确估计了参数方差s(bs(b1 1) )的基础之上的。的基础之上的。 如果出现了异方差，估计的如果出现了异方差，估计的s(b1)出现偏误（偏大或偏小），出现偏误（偏大或偏小），t检验失去意义。检验失去意义。 其他检验也是如此。其他检验也是如此。 第13页/共155页 第14页/共155页 4 4、模型的预测失效、模型的预测失效 一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质；一方面，由于上述后果，使得模型不具有良好的统计性质； 所以，当模型出现异方差性时，参数所以，当模型出现异方差性时，参数OLS估计值

6、的变异程度增大，从而造成对估计值的变异程度增大，从而造成对Y的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。的预测误差变大，降低预测精度，预测功能失效。 第15页/共155页 由于由于异方差性异方差性就是相对于不同的解释变量就是相对于不同的解释变量 观测值，随机误差项具有不同的方差。那么：观测值，随机误差项具有不同的方差。那么： 检验异方差性，也就是检验随机误差项的检验异方差性，也就是检验随机误差项的 方差与解释变量观测值之间的相关性及其相方差与解释变量观测值之间的相关性及其相 关的关的“形式形式”。 第16页/共155页 ( (一一) )图示法图示法 既可利用因变量既可利用因变量Y与解释变量与解

7、释变量X的散点图的散点图,也可利用残差也可利用残差e2-X的散点图，对随机项的散点图，对随机项u的异方差作近似的直观判断。的异方差作近似的直观判断。 （1）用）用X-Y的散点图进行判断的散点图进行判断 看是否存在明显的看是否存在明显的散点扩大散点扩大、缩小缩小或或复杂型趋势复杂型趋势（即不在一个固定的带型域中）（即不在一个固定的带型域中） 第17页/共155页 第18页/共155页 ( (2 2) )X X- - ei 2 的的 散散 点点 图图 进进 行行 判判 断断 看是否形成一斜率为零的直线看是否形成一斜率为零的直线 ei2 ei2 X X 同方差 递增异方差 ei2 ei2 X X 递

8、减异方差 复杂型异方差 第19页/共155页 （二）（二）戈德菲尔德戈德菲尔德- -匡特匡特(Goldfeld-Quandt)(Goldfeld-Quandt)检验检验 G-Q检验以检验以F检验为基础，适用于大样本、异方差递增或递减的情况。检验为基础，适用于大样本、异方差递增或递减的情况。 G-QG-Q检验的思想检验的思想:先排序先排序,将样本去掉中间的将样本去掉中间的c个个,然后一分为二，对子样然后一分为二，对子样和子样和子样分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。分别作回归，然后利用两个子样的残差平方和之比构造统计量进行异方差检验。 0 222 12 : i

9、n Hu 是 同 方 差 ， 即 2 i H: 随随x递增（或递减）递增（或递减） 第20页/共155页 G-Q G-Q检验的步骤：检验的步骤： 将将n对样本观察值对样本观察值(Xi, Yi)按观察值按观察值Xi的大小排队的大小排队 将序列中间的将序列中间的c=n/4个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为个观察值除去，并将剩下的观察值划分为较小与较大的相同的两个子样本，每个子样样本容量均为(n-c)/2 对每个子样分别进行对每个子样分别进行OLS回归，并计算各自的残差平方和回归，并计算各自的残差平方和 分别用分别用RSS1与与RSS2表示解释变量

10、较小与较大的残差平方和表示解释变量较小与较大的残差平方和(自由度均为自由度均为(n-c)/2-k); 第21页/共155页 给定显著性水平给定显著性水平 ，确定临界值，确定临界值F (v1,v2)， 若若F F (v1,v2)， 则拒绝同方差性假设，则拒绝同方差性假设，表明表明存在异方差存在异方差。 在同方差性假定下，选择如下满足在同方差性假定下，选择如下满足F分布的统计量如果检验递增方差分布的统计量如果检验递增方差 F= = F( k, k ) 2 2 1 2 /() /() n c n c RSSk RSSk 2 1 RSS RSS 2 n c 2 n c 1 2 RSS RSS 如果检验

11、递减方差如果检验递减方差 F= = F( k, k ) 1 2 2 2 /() /() n c n c RSSk RSSk 2 n c 2 n c 第22页/共155页 （三）戈里瑟（三）戈里瑟( (Gleiser)检验检验 基本思想基本思想: : 尝试建立尝试建立|ei|关于解释变量关于解释变量X的各种幂次方程：如：的各种幂次方程：如： |ei| = 0 + 1Xi+vi |ei| = 0 + 1Xi-1+vi 等等等等 选择关于变量选择关于变量X的不同的函数形式，对方程进行估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。的不同的函数形式，对方程进行

12、估计并进行显著性检验，如果存在某一种函数形式，使得方程显著成立，则说明原模型存在异方差性。 第23页/共155页 2 2 1 6 1 (1) n si i rd n n 第24页/共155页 2 (1) (2) s s r t r n 上述统计量服从自由度为（上述统计量服从自由度为（n2）的）的t分布。分布。 对应对应 给定显著性水平的临界值给定显著性水平的临界值 ，若，若 t ，则认为不存在异方差，若，则认为不存在异方差，若t ，则认为存在异方差。，则认为存在异方差。 2 (2)tn 2 (2)tn 2 (2)tn 第25页/共155页 iiii XXY 22110 然后做如下辅助回归然后做

13、如下辅助回归 第26页/共155页 iiiiiiii XXXXXXe 215 2 24 2 1322110 2 可以证明，在同方差假设下：可以证明，在同方差假设下： (*) R2为为(*)的可决系数，的可决系数，h为为(*)式解释变量的个数，式解释变量的个数， 表示渐近服从某分布。表示渐近服从某分布。 做如下辅助回归做如下辅助回归 第27页/共155页 注意：注意： 辅助回归仍是检验辅助回归仍是检验 与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。与解释变量可能的组合的显著性，因此，辅助回归方程中还可引入解释变量的更高次方。 如果存在异方差性，则表明确与解释变量的

14、某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有如果存在异方差性，则表明确与解释变量的某种组合有显著的相关性，这时往往显示出有较高的可决系数较高的可决系数以及以及某一参数的某一参数的t检验值较大检验值较大。 当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。当然，在多元回归中，由于辅助回归方程中可能有太多解释变量，从而使自由度减少，有时可去掉交叉项。 2 i e 第28页/共155页 异方差消除的异方差消除的基本思路基本思路是将原模型加以是将原模型加以“变换变换”，使得，使得“变换变换”后的模型具有同方差性。但是变换的形式与每个随机项方差的真实值是已知还是未

15、知有关。后的模型具有同方差性。但是变换的形式与每个随机项方差的真实值是已知还是未知有关。 （一）随机项方差一）随机项方差i2已知已知 当当i2已知或者可以估计出来的情况，可利用广义的最小二乘法。下面介绍广义最小二乘法的另一种情形已知或者可以估计出来的情况，可利用广义的最小二乘法。下面介绍广义最小二乘法的另一种情形:加权最小二乘法加权最小二乘法（Weighted Least Squares, WLS） 第29页/共155页 乘以模型的两端，得乘以模型的两端，得 以一元线性回归模型为例，变换的方法是用以一元线性回归模型为例，变换的方法是用 1 () i i i y 0 1 () i 1( ) ii

16、 ii xu i i i u v 令令 把它称为把它称为变换后的随机项变换后的随机项. | ii ux 2 (0,) i N 因为因为 i i i u v 而而 | ii vx(0,1)N 所以所以 第30页/共155页 由此可得由此可得 ()( )1 i i i u VarVar v i i y 0 1 () i 1( ) ii ii xu 所以所以 中随机项中随机项 i v 满足了同方差性的假定。满足了同方差性的假定。 故可以用常规的故可以用常规的 OLS 对其进行估计对其进行估计. . 第31页/共155页 参数的参数的OLSOLS估计式按下式要求给出。估计式按下式要求给出。 222 0

17、 1 111 ()() nnn iiii i iii iiiii yyybx eb 2 01 2 1 1 () n ii i i ybb x min 2 1 n i i e 2 01 1 () n iii i w ybb x min 即即 2 1 i i w 其中其中 第32页/共155页 1111 1 22 111 () nnnn iiiiiiii iiii nnn iiiii iii ww x yw xw y b ww xw x * 11 011 11 nn iiii ii nn ii ii w yw x byb xb ww 第33页/共155页 注意 12 ww n w （）（） 时，随

18、机项时，随机项 为同方差，为同方差，OLSE与与WLSE一致一致. (2). 也可选用其他的权数。也可选用其他的权数。 当选择的权数为当选择的权数为 2 1 i i w 时，加权最小二乘法的时，加权最小二乘法的 2 i 实质是用方差实质是用方差 的平方根的平方根 i 对原模型进行变换。对原模型进行变换。 第34页/共155页 2 2 012 () i iiiiikk wew ybbxb xb x 加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法的基本思想： 加权最小二乘法加权最小二乘法是对原模型加权，实质是用方差是对原模型加权，实质是用方差i2的平方根的平方根i对原模型进行变换。使之变成一个新的不存在

19、异方差性的模型，然后采用对原模型进行变换。使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。估计其参数。 在采用在采用WLS方法时方法时: 对较小的残差平方对较小的残差平方ei2赋予较大的权数赋予较大的权数 对较大的残差平方对较大的残差平方ei2赋予较小的权数赋予较小的权数 其中其中 2 1 i i w 第35页/共155页 加权最小二乘法的基本思想：加权最小二乘法的基本思想： 加权最小二乘法加权最小二乘法是对原模型加权，实质是用方差是对原模型加权，实质是用方差i2的平方根的平方根i对原模型进行变换。使之变成一个新的不存在异方差性的模型，然后采用对原模型进行变换。使之变成一个新的

20、不存在异方差性的模型，然后采用OLS估计其参数。估计其参数。 第36页/共155页 （二）随机项方差未知（二）随机项方差未知 从异方差的意义看，异方差就是随机项在解释变量取不同数值时方差不同。这就意味着异方差从异方差的意义看，异方差就是随机项在解释变量取不同数值时方差不同。这就意味着异方差i2是解释变量是解释变量x的函数，这种函数形式我们可假设出来的函数，这种函数形式我们可假设出来 。 第37页/共155页 i ji i jiji i ji X Xf X XfXf Y Xf 22110 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 i ji ki ji k Xf X Xf )( 1 )( 1 例如例

21、如，如果只与一个解释变量有关，可假设，如果只与一个解释变量有关，可假设 2 i () ji f x 可以用去除该模型，得可以用去除该模型，得 222 ( )( )() iiiji Var uE uf x 第38页/共155页 新模型中，存在新模型中，存在 即满足同方差性即满足同方差性，可用，可用OLS法估计。法估计。 222 111 ()()( ) ( )( )( ) iii ji jiji VaruEuEu f xf xf x 第39页/共155页 若与若与m(1mk)个解释变量有关，则异方差形式个解释变量有关，则异方差形式 可写作可写作 2 i 2 i 2 1 (, i f x) mi x

22、 第40页/共155页 1 (,) imi f xx 以遍除原模型，得：以遍除原模型，得： 1 (,) i imi y f xx 01 1 1 (,) ikki imi xx f xx 1 (,) i imi u fxx * 1 (,) i i imi u u f xx 记记 第41页/共155页 * 11 () (,)(,) ij ij imijmj uu E u uE f xxf xx 2 0ij ij 当 当 可以对转换后的模型可以对转换后的模型OLS应用进行参数估计。应用进行参数估计。 这说明转换后的模型具有了同方差性。这说明转换后的模型具有了同方差性。 第42页/共155页 如果给定

23、的模型为如果给定的模型为: 假定假定1: 01iii yxu 222 () ii E ux 0 110 1 ii i iiii yu v xxxx 此时用此时用X去乘以原模型去乘以原模型,可得可得 i i i u v x (其中其中, ) 2222 2 1 ()()() i ii ii u E vEE u xx 则有则有: 这样转换后的模型具有同方差性这样转换后的模型具有同方差性 。 第43页/共155页 0 110 1 ii i iiii yu v xxxx 对转换后的模型应用对转换后的模型应用OLS,OLS,即可求得即可求得 对的对的 回归方程回归方程: i i y x 1 i x 10

24、1 i ii y bb xx 01 i i ybb x 将上式两边同乘，可得原模型的回归方程为：将上式两边同乘，可得原模型的回归方程为： i x 第44页/共155页 假定假定2 此时用此时用 去除原模型去除原模型, 可得可得 22 () ii E ux i x i i y x 01 1 ii i xv x 2222 1 ()()() i ii i i u E vEE u xx i i i u v x 其中其中 则有则有: 对转换后的模型即可应用普通最小二乘法进行参数对转换后的模型即可应用普通最小二乘法进行参数 估计可得：估计可得： 第45页/共155页 01 1 i i ii y bbx x

25、x 所以原模型的回归方程为：所以原模型的回归方程为： 01 ii ybb x 第46页/共155页 注意：注意： (1).实际应用实际应用WLS时，经常用自变量的幂函数的倒数时，经常用自变量的幂函数的倒数 形式形式 作为权数对原模型进行加权，作为权数对原模型进行加权， 但但m究竟取何值合适，需要通过估计。究竟取何值合适，需要通过估计。 1 i m i w x (2). 如果异方差是由省略的解释变量造成的，最好的解如果异方差是由省略的解释变量造成的，最好的解 决方决方 法是在模型中加入省略的解释变量。法是在模型中加入省略的解释变量。 (3). 对于多元线性回归模型，异方差问题同样存在。用对于多元

26、线性回归模型，异方差问题同样存在。用 哪一个自变量构造权数呢？通行的做法是：首先哪一个自变量构造权数呢？通行的做法是：首先 用用 OLS估计估计 样本回归方程，计算出各样本点的绝对样本回归方程，计算出各样本点的绝对 残差；然后分别计算每一个自变量与绝对残差序列的残差；然后分别计算每一个自变量与绝对残差序列的 等级相关系数；选取等级相关系数；选取 Spearman等级相关系数大的自变等级相关系数大的自变 量构造权数。权数的构造量构造权数。权数的构造 方法同一元线性回归模型。方法同一元线性回归模型。 第47页/共155页 01iii yxu 例例 表表(见见Eviews)是储蓄与收入的样本观测值，

27、试进行异方差性分析是储蓄与收入的样本观测值，试进行异方差性分析,并建立储蓄并建立储蓄y关于收入关于收入x的线性回归模型。的线性回归模型。 第48页/共155页 X 400003000020000100000 Y 3000 2000 1000 0 （1）根据表中数据，做出）根据表中数据，做出X与与Y的散点图。方法为：的散点图。方法为： 打开打开Eviews工作文件。点击工作文件。点击quick,选选Graph，点击，点击ok; 在对话框中从在对话框中从Graph Type中选中选scatterDiagram，点，点 击击“ok”。散点图如下：。散点图如下： （一）异方差检验（一）异方差检验 第4

28、9页/共155页 （2）根据表中数据，做出残差图）根据表中数据，做出残差图 运行运行Eviews,进行进行OLS估计；点击估计；点击Resids，可得拟合与残差图，选，可得拟合与残差图，选View中的中的Actual,Fitted,Residual Actual,Fitted,Residual Table功能就得到可用来进行残差分析功能就得到可用来进行残差分析表；利用该结果画出表；利用该结果画出X与残差平方的散点图输出结果整理如下：与残差平方的散点图输出结果整理如下： 第50页/共155页 X 400003000020000100000 残 差 平 方 300000 200000 100000

29、 0 -100000 x与残差平方的散点图与残差平方的散点图 从上面两图可以看出，在较高的收入水平上储蓄的离散程度增大，表明随机项可能存在从上面两图可以看出，在较高的收入水平上储蓄的离散程度增大，表明随机项可能存在递增型递增型的异方差。的异方差。 第51页/共155页 进一步的统计检验进一步的统计检验 G-Q检验检验 将原始数据按将原始数据按排成升序，去掉中间的排成升序，去掉中间的个观测点数据，得两个容量为个观测点数据，得两个容量为1的子样本。的子样本。 对两个子样本分别作对两个子样本分别作OLS回归，求各自的残差平方和回归，求各自的残差平方和RSS1和和RSS2： 子样本子样本1：738.8

30、40.088 ii yx （189.4) (0.015) R2=0.787 RSS1=144771.5 子样本子样本2：1141.070.029 ii yx (709.8) (0.022) R2=0.152 RSS2=769889.2 第52页/共155页 计算计算F F统计量：统计量： F= RSS2/RSS1=769889.2/144771.5=5.3 查表查表 给定给定 = =5%，查得临界值，查得临界值 F0.05(9,9)=3.18 判断判断 F F0.05(9,9) 否定两组子样方差相同的假设，从而否定两组子样方差相同的假设，从而该总体随机项存在递增异方差性。该总体随机项存在递增异

31、方差性。 第53页/共155页 ( (二二) )异方差的处理异方差的处理 1. 最优权数的确定最优权数的确定 以上检验证实了以上检验证实了y的异方差性的存在。所以需要用加权最小二乘法估计参数。使用的异方差性的存在。所以需要用加权最小二乘法估计参数。使用WLS首先需要估计权数。我们采用自变量幂函数的倒数权数的形式：首先需要估计权数。我们采用自变量幂函数的倒数权数的形式： 1 i m i w x 利用利用SPSS，可以求得幂的最佳取值。打开，可以求得幂的最佳取值。打开SPSS，依次点击，依次点击AnalyzeRegressionWeight Estimate，本例通过运行，本例通过运行SPSS得到

32、的取值为得到的取值为2，即权数为：，即权数为： 2 1 i i w x 第54页/共155页 相当于对原总体回归模型变换为：相当于对原总体回归模型变换为： 01 1yu xxx 从而消除异方差性的影响。从而消除异方差性的影响。 730.8765860.088851yx 其拟合优度检验、其拟合优度检验、F检验、检验、t检验均高度显著。加权回归的结果比不加权的回归结果有很大的改进检验均高度显著。加权回归的结果比不加权的回归结果有很大的改进 (0.004484) (74.165566) (19.815) (9.985) R2 = 0.93122 F = 392.64453 2.加权回归加权回归 从输

33、出结果看，还原后的加权最小二乘法的估计结果为：从输出结果看，还原后的加权最小二乘法的估计结果为： 第55页/共155页 第三节第三节 自相关自相关 第56页/共155页 如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了如果对于不同的样本点，随机误差项之间不再是不相关的，而是存在某种相关性，则认为出现了序列相关性序列相关性或称或称存在自相关存在自相关。 对于模型对于模型 Yi= 0+ 1X1i+ 2X2i+ kXki+ i i=1,2, ,n 随机项互不相关的基本假设表现为随机项互不相关的基本假设表现为 Cov( i , j)=0 i j, i,j=1,2,

34、,n 第57页/共155页 在其他假设仍成立的条件下，序列相关序列相关即意味着 0)( ji E 2 1 1 2 )( )( )()( n n E E ECov 2 1 1 2 n n I 22 或或 第58页/共155页 其中：其中： 被称为被称为自协方差系数自协方差系数（coefficient of autocovariance）或）或一阶自回归系数一阶自回归系数（first-order coefficient of autocorrelation） i是满足以下标准的是满足以下标准的OLS假定的随机干扰项：假定的随机干扰项： 如果仅存在如果仅存在 E( i i+1) 0 i=1,2, ,

35、n 一阶自回归一阶自回归往往可写成如下形式往往可写成如下形式： i=i-1+ i -1 1 0)( i E, 2 )var( i , 0),cov( sii 0s 由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中，由于序列相关性经常出现在以时间序列为样本的模型中， 因此，本节将用下标因此，本节将用下标t代表代表i。 第59页/共155页 （一）被解释变量的自相关（一）被解释变量的自相关 （二）模型省略了自相关的解释变量（二）模型省略了自相关的解释变量 （三）随机项本身存在自相关（三）随机项本身存在自相关 （四）回归模型的数学形式不正确（四）回归模型的数学形式不正确 (五五) 经济变量的惯性作用

36、经济变量的惯性作用. 第60页/共155页 计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用计量经济学模型一旦出现序列相关性，如果仍采用OLS法估计模型参数，会产生下列不良后果：法估计模型参数，会产生下列不良后果： 二、自相关产生的后果二、自相关产生的后果 1 1、参数估计量非有效、参数估计量非有效 因为，在有效性证明中利用了因为，在有效性证明中利用了 E(UUT)= 2I 即同方差性和不相关性的假定条件。即同方差性和不相关性的假定条件。 而且，在大样本情况下，参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。而且，在大样本情况下，参数估计量虽然具有一致性，但仍然不具有渐近有效性。 第61页/共1

37、55页 其他检验也是如此。其他检验也是如此。 第62页/共155页 第63页/共155页 序列相关性序列相关性检验方法有多种，但基本思路相同：检验方法有多种，但基本思路相同： 首首先先， 采用 OLS 法估计模型， 以求得随机误差项的 “近近似似估估计计量量” ，用 ei表示： lsiii YYe 0 ) ( 基本思路基本思路: : 第64页/共155页 第65页/共155页 （1 1）解释变量）解释变量X非随机；非随机； （2）随机误差项）随机误差项 i为一阶自回归形式：为一阶自回归形式： i=i-1+ i （3）回归模型中不应含有滞后因）回归模型中不应含有滞后因 变量作为解释变量，即不应出

38、现下列形式：变量作为解释变量，即不应出现下列形式： Yi= 0+ 1X1i+kXki+ Yi-1+ i （4）大样本）大样本,回归含有截距项回归含有截距项 第66页/共155页 该统计量该统计量的分布与出现在给定样本中的的分布与出现在给定样本中的X值有复杂的关系，因此其值有复杂的关系，因此其精确的分布很难得到精确的分布很难得到。 但是但是，他们他们成功地导出了临界值的下限成功地导出了临界值的下限dL 和上限和上限dU ，且这些上下限只与样本的容量，且这些上下限只与样本的容量n 和解释变量的个数和解释变量的个数k有关，而与解释变量有关，而与解释变量X的的 取值无关。取值无关。 杜宾和瓦森针对原杜

39、宾和瓦森针对原假设：假设：H0: =0， 即不存在一阶自回归，构如下造统计量：即不存在一阶自回归，构如下造统计量： D.W. 统计量统计量: n t t n t tt e ee WD 1 2 2 2 1 ) ( . d= 第67页/共155页 证明：证明： 展开D.W.统计量： n t t n t n t n t tttt e eeee WD 1 2 222 1 2 1 2 2 . (*) )1 (2) 1 (2. 1 2 2 1 n t t n t tt e ee WD 第68页/共155页 如果存在如果存在完全一阶正相关完全一阶正相关，即，即 =1，则，则 D.W. 0 完全一阶负相关完全

40、一阶负相关，即，即 = -1, 则则 D.W. 4 完全不相关完全不相关， 即即 =0，则，则 D.W. 2 这里， n t t n t tt n t t n t tt eeeeee 2 2 2 1 1 2 2 1 为一阶自回归模型 i=i-1+i 的参数估计。 )1 ( 2) 1 ( 2. 1 2 2 1 n t t n t tt e ee WD 第69页/共155页 D.W检验步骤检验步骤: （1）计算）计算DW值值 （2）给定）给定 ，由，由n和和k的大小查的大小查DW分布表，得临界值分布表，得临界值dL和和 dU （3）比较、判断）比较、判断 若若 0D.W.dL 存在正自相关存在正自

41、相关 dLD.W.dU 不能确定不能确定 dU D.W.4dU 无自相关无自相关 4dU D.W.4 dL 不能确定不能确定 4dL D.W.4 存在负自相关存在负自相关 0 dL dU 2 4-dU 4-dL 4 正 相 关 不 能 确 定 无自相关 不 能 确 定 负 相 关 第70页/共155页 最常用的方法是最常用的方法是广义最小二乘法广义最小二乘法（GLS: Generalized least squares）和）和广义差分法广义差分法 (Generalized Difference)。 四、自相关的经济计量方法四、自相关的经济计量方法 第71页/共155页 , 2 2 21 2 2

42、 221 112 2 1 )()Cov( nnn n n E 是一对称正定矩阵，存在一可逆矩阵D，使得 =DDT 第72页/共155页 变换原模型： D-1Y=D-1X +D-1 即 Y*=X* + * (*) 121121 1111 )()()( DDDDDD DDDD * EEE I 2 (*)式的OLS估计： * 1 * )( YXXX YXXX YDDXXDDX 111 11111 )( )( 这就是原模型的这就是原模型的广义最小二乘估计量广义最小二乘估计量(GLS estimators)， 是无偏的、有效的估计量。是无偏的、有效的估计量。 该模型具有同方差性和随机误差项互相独立性该模

43、型具有同方差性和随机误差项互相独立性： 第73页/共155页 对 的形式进行特殊设定后，才可得到其估计值。 10000 01000 00010 00001 000001 2 1 D , 2 21 2 1 2 2 1 1 1 1 )( nn n n Cov 如设定随机扰动项为一阶序列相关形式 i=i-1+i 则 第74页/共155页 如果原模型为如果原模型为 可以将原模型变换为可以将原模型变换为: : 01ttt yxu (1,2,t , )n 1ttt vuu 1011 (1)() ttttt yyxxv 令 * 1ttt yyy * 1ttt xxx 原模型可变为原模型可变为: : * 01

44、 (1) ttt yxv 其中 第75页/共155页 1ttt vuu * 01 (1) ttt yxv 这种变换叫这种变换叫广义差分变换广义差分变换。变换后的模型称为。变换后的模型称为广义差分模型。广义差分模型。 其中 将原回归模型进行广义差分变换得广义差分模型，对广义差分模型应用普通最小二乘法，这种方法称为将原回归模型进行广义差分变换得广义差分模型，对广义差分模型应用普通最小二乘法，这种方法称为广义差分法广义差分法。 可取可取 *2 11 1yy *2 11 1xx 补全数据补全数据 第76页/共155页 时，上式变为： 111 () ttttt yyxxv 即即 1ttt yxv 其中其

45、中 1ttt yyy 1tt xxx 该种变换叫做该种变换叫做一阶差分变换一阶差分变换，变换后的模型，变换后的模型叫做叫做一阶差分模型一阶差分模型。这种模型的一个重要特征是没有常数项。易得：。这种模型的一个重要特征是没有常数项。易得： 1 2 tt t xy b x 01 by bx 第77页/共155页 科克伦科克伦-奥科特奥科特（Cochrane-Orcutt）迭代法迭代法。 杜宾杜宾（durbin）两步法两步法 第78页/共155页 2、杜宾杜宾（durbin）两步法两步法 该方法仍是先估计该方法仍是先估计 ，再对差分模型进行估，再对差分模型进行估 计计 第一步第一步，变换差分模型为下列

46、形式，变换差分模型为下列形式 01111 (1) ttttt yyxxv 进行OLS估计，得Yj（j=t-1)前的系数估计值 令 00(1 )a 11 a 21 a 则 01121ttttt yaya xa xv 第79页/共155页 (2). 用估计值对原模型进行差分变换 对差分模型 * 01ttt yaxv 应用OLS方法，可得、的估计值、 0 a 1 0 a 1 b 从而 0 0 1 a b 还可以用其它的方法 求的估计值，如： 2(1)d 存在两个问题。其一，所得参数估计值的精确度依赖于存在两个问题。其一，所得参数估计值的精确度依赖于 的精确度；其二，差分模型的随机项有可能仍存在自的精

47、确度；其二，差分模型的随机项有可能仍存在自 相关。相关。 第80页/共155页 以一元线性模型为例： 首先首先，采用OLS法估计原模型 Yi=0+1Xi+i 得到的的“近似估计值”，并以之作为观测值使用OLS法估计下式 t e t e 1tt ev 求得的估计值，记作： (1) 利用 (1) 进行广义差分变换得广义差分模型对原模型 * 01ttt yaxv 第81页/共155页 * 01ttt yaxv * 1 (1) ttt yyy * 1 (1) ttt xxx 1 (1) ttt vuu 00(1 (1)a 其中其中 对模型应用普通最小二乘法进行估计，得到对模型应用普通最小二乘法进行估计

48、，得到 参数的估参数的估 计值并对模型中的随机项计值并对模型中的随机项 是否存在自相关进行检验。是否存在自相关进行检验。 如果检验得出随机项无自相关，迭代就此结束。如果检验得出随机项无自相关，迭代就此结束。 否则，就重复前面的步骤，将模型的估计值还原为原否则，就重复前面的步骤，将模型的估计值还原为原 模型的参数估计值模型的参数估计值 ，由此计算，由此计算 的第二次估计值的第二次估计值 ， 然后根据，计算然后根据，计算 的第二次估计值，记作的第二次估计值，记作 t u t e t e (2) 第82页/共155页 利用利用 对原模型再进行差分变换对原模型再进行差分变换 ，这就是第二次，这就是第二

49、次 迭代迭代同样可以进行第三次、第四次迭代同样可以进行第三次、第四次迭代，直至差分，直至差分 模型中的随机项消除自相关性，就停止迭代过程。模型中的随机项消除自相关性，就停止迭代过程。 (2) 第83页/共155页 某国进口贸易额某国进口贸易额IM与国民生产总值与国民生产总值GDP的数据见表。试建立进口贸易额的数据见表。试建立进口贸易额IM与国民生产总值与国民生产总值GDP的线性回归模型。的线性回归模型。 资料见下页资料见下页 第84页/共155页 进口贸易额与国民生产总值的数据进口贸易额与国民生产总值的数据 序号序号 IM(y)GDP (x)序号序号IM (y)GDP (x) 13748217

50、7711566928134 237112241812562829091 340102230813573629450 440042331914596430705 541512418015650132372 645692489316654933152 745822531017670533764 846972579918710434411 947532588619760935429 1050622686820810036200 单位：百万英镑单位：百万英镑 第85页/共155页 应用最小二乘法得到如下回归方程：应用最小二乘法得到如下回归方程： 24630.28 tt yx s(b)=（248.65）

51、 (0.087) R2 = 0.983 d =0.9337 给定给定= 0.05，查显著性水平为，查显著性水平为0.05，观测值个数为，观测值个数为20及解释变量个数为及解释变量个数为1的的D-W分布表，得到临界值分布表，得到临界值 dL=1.20 dU=1.41 因为因为 ddL，所以随机项，所以随机项u存在一阶正自相关存在一阶正自相关 第86页/共155页 自相关的处理自相关的处理 杜宾二步法杜宾二步法 估计一阶自相关系数估计一阶自相关系数 1 0.53 tt ee 作作et关于关于et-1的线性回归，得到的线性回归，得到 可得可得 = 0.53 令令 =0.53，做以下变换，做以下变换

52、1 0.53 ttt yyy 1 0.53 ttt xxx 对对 关于关于 的线性模型做最小二乘估计，得的线性模型做最小二乘估计，得 t xt y 第87页/共155页 1394.360.296 tt yx 2966.70.296 tt yx R2=0.949 d=1.87 因为因为d接近接近2，已消除自相关，故得，已消除自相关，故得0 、 1的估计值分别为：的估计值分别为： b1=0.296 b0=1369.36/(1 0.53)= 2966.7 由此可得要估计的原回归方程为由此可得要估计的原回归方程为 第88页/共155页 一一、估计量的渐近性质、估计量的渐近性质 二、二、随机解释变量模型

53、估计特性随机解释变量模型估计特性 三、三、随机解释变量模型的经济计量方法随机解释变量模型的经济计量方法 四、四、案例案例 第89页/共155页 对于模型对于模型 ikikiii XXYY 22110 第90页/共155页 0)()()()( 22, 2 ExExEXCov 2. 随机解释变量与随机误差项同期无关随机解释变量与随机误差项同期无关(contemporaneously uncorrelated)，但异期相关。，但异期相关。 0)()( 2,2 iiii xEXCov 0)()( 2,2 siisii xEXCov 0s 3. 随机解释变量与随机误差项同期相关随机解释变量与随机误差项同

54、期相关(contemporaneously correlated)。 0)()( 2,2 iiii xEXCov 第91页/共155页 在许多经济现象中，自变量的非随机性假定有时是不符合实际的。因为，在许多经济现象中，自变量的非随机性假定有时是不符合实际的。因为， 许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作为模型中的解释变量其取值就不可能是确定的，而是随机的。许多经济变量是不能用控制的方法进行观测的，所以作为模型中的解释变量其取值就不可能是确定的，而是随机的。 又由于随机项包含了模型中略去的解释变量，而略去的解释变量同模型中保留的解释变量往往是相关的。又由于随机项包含了模型中略去的解释变

55、量，而略去的解释变量同模型中保留的解释变量往往是相关的。 自回归模型中，因变量作为解释变量也必定是随机变量了。因此，我们必须对模型中的解释变量为随机变量且与随机项相关的情形进行讨论。自回归模型中，因变量作为解释变量也必定是随机变量了。因此，我们必须对模型中的解释变量为随机变量且与随机项相关的情形进行讨论。 第92页/共155页 线性线性、无偏性无偏性和和有效性有效性是评价一个估计量优劣的标准。在有的情况下，小样本的估计量不具有某种统计特性，但随着样本容量的增大，估计量逐渐有了这种统计性质，此时称之为估计量的渐近统计性质。是评价一个估计量优劣的标准。在有的情况下，小样本的估计量不具有某种统计特性

56、，但随着样本容量的增大，估计量逐渐有了这种统计性质，此时称之为估计量的渐近统计性质。 1. 渐近无偏渐近无偏 性性 2. 渐近一致性渐近一致性 第93页/共155页 n 为样本容量为为样本容量为n时参数时参数 的估计量的估计量. 下面下面,记记 1. 渐近无偏性渐近无偏性 如果满足如果满足 lim() n n E 则称则称 为为 的渐近无偏估计量。的渐近无偏估计量。 n 随着样本容量的逐步增大，估计量与真实值的系统随着样本容量的逐步增大，估计量与真实值的系统 偏差越来越小，逐渐趋于偏差越来越小，逐渐趋于0。 即即:通过增加样本容量，通过增加样本容量， 可以改善参数估计的精度。可以改善参数估计的

57、精度。 2. 渐近一致性渐近一致性 如果满足 lim1 n n P 简记为 lim n n P 则称 为 的一致估计量。 n 第94页/共155页 lim n P 表示概率极限表示概率极限 lim() n PE lim()0 n PVar 可以证明可以证明 为为 的的 一致估计量，当且仅当一致估计量，当且仅当 n 一致估计量具有渐近无偏性的概率为一致估计量具有渐近无偏性的概率为1，且在真实值，且在真实值 附近离散的程度随样本容量的增大逐渐趋于附近离散的程度随样本容量的增大逐渐趋于0的概率为的概率为1。 在大样本的条件下，一致估计量具有很高的精度在大样本的条件下，一致估计量具有很高的精度 第95

58、页/共155页 lim()lim( )Pcxcx 1212 lim()limlimPx xPx Px 11 22 lim() lim() lim() xPx P xPx 2 lim()0Px 1 1 lim()lim( )PxPx 第96页/共155页 以一元线性回归模型为例以一元线性回归模型为例 说明。设给定的模型为说明。设给定的模型为 01iii yxu 采用离差形式即为采用离差形式即为 * 1iii yxu 式中式中， ， * ii y y y * ii xx x 不管自变量是否是随机变量，对上式应用不管自变量是否是随机变量，对上式应用OLS，参数的估计量都是，参数的估计量都是 1 2

59、()() () ii i x x y y b x x * 1 * 2* 2 ( )( ) iiii ii x yx u xx 第97页/共155页 * 11 *2 ( ) () ii i x u E bE x 我们分下列三种情况进行讨论我们分下列三种情况进行讨论 1. x 是非随机变量，是非随机变量，x与与u自然不相关自然不相关 * * 2* 2 ( )0 ()() iii i ii x ux EEE u xx 11 ()E b 最小二乘估计量是无偏的。最小二乘估计量是无偏的。 第98页/共155页 2. x是随机变量，但是随机变量，但x与与u不相关不相关 * * 2* 2 ( )0 ()()

60、 iii i ii x ux EEE u xx 11 ()Eb 最小二乘估计量仍然是无偏的。最小二乘估计量仍然是无偏的。 3. x是随机变量，且是随机变量，且u与与x线性相关线性相关 * *2 0 () ii i x u E x 11 ()E b 最小二乘估计量是有偏的。这时，又分两种情况：最小二乘估计量是有偏的。这时，又分两种情况： 第99页/共155页 （1）在大样本下，如果）在大样本下，如果x与与u渐近不相关，渐近不相关， * 1 lim0 ii Px u n 对对1估计式估计式两边取概率极限两边取概率极限,有有 * 11 * 2 lim( )lim () ii i x u PbP x