节 线性参数最小二乘处理PPT学习教案

1、会计学1 节节 线性参数最小二乘处理线性参数最小二乘处理 第一节最小二乘原理 最小二乘原理 等精度测量线性参数的最小二乘原理 不等精度测量线性参数的最小二乘原理 第二节正规方程 线性参数的最小二乘处理的正规方程 非线性参数的最小二乘处理的正规方程 最小二乘原理和算术平均值原理的关系 第三节精度估计 测量数据的精度估计 最小二乘估计量的精度估计 第四节组合测量的最小二乘法处理 第1页/共41页 一、引入一、引入 待测量（难以直接测量）： t XXX, 21 直接测量量： n YYY, 21 ),( ),( ),( 21 21222 21111 tnnn t t XXXfYl XXXfYl XXX

2、fYl 问题：问题：如何根据和测量方程解得待测 量的估计值？ n lll, 21 t xxx, 21 第2页/共41页 : tn 直接求得。 t xxx, 21 : tn 有利于减小随机误差，方程组 有冗余，采用最小二乘原理求 。 t xxx, 21 讨论：讨论： 最小二乘原理：最小二乘原理： 最可信赖值应使残余误差平方和最小。 第3页/共41页 二、最小二乘原理二、最小二乘原理 设直接测量量 的估计值为 ， 则有 n YYY, 21 n yyy, 21 ),( ),( ),( 21 2122 2111 tnn t t xxxfy xxxfy xxxfy 由此得测量数据 的残余误差 n lll

3、, 21 ),( ),( ),( 21 21222 21111 tnnn t t xxxflv xxxflv xxxflv 残差方程式 第4页/共41页 若 不存在系统误差，相互独立并服从正态分布，标准差分别为 ，则 出现在相应真值附近 区域内的概率为 n lll, 21 n , 21 n ddd, 21 ), 2 , 1( 2 1 )2( 22 nideP i i i ii 由概率论可知，各测量数据同时出现在相应区域的概率 为 n n n i i dddePP n i ii 21 )2( 21 1 1 22 2 1 n lll, 21 第5页/共41页 测量值 已经出现，有理由认为这n个测量

4、值 出现于相应区间的概率P为最大。要使P最大，应有 n lll, 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n 最小 由于结果只是接近真值的估计值，因此上述条件应表 示为 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 n n vvv 最小 第6页/共41页 等精度测量的最小二乘原理： n i in vvvv 1 222 2 2 1 最小 不等精度测量的最小二乘原理： n i iinn vpvpvpvp 1 222 22 2 11 最小 最小二乘原理最小二乘原理（其他分布也适用）（其他分布也适用）： 测量结果的最可信赖值应使残余误差平方和 （或加权残余误差平方和）最小。 第7页/共41页 三、

5、等精度测量的线性参数最小二乘原理三、等精度测量的线性参数最小二乘原理 线性参数的测量方程和相应的估计量为： tntnnn tt tt XaXaXaY XaXaXaY XaXaXaY 2211 22221212 12121111 tntnnn tt tt xaxaxay xaxaxay xaxaxay 2211 22221212 12121111 残差方程为 )( )( )( 2211 222212122 121211111 tntnnnn tt tt xaxaxalv xaxaxalv xaxaxalv 第8页/共41页 令 ntnn t t nnn aaa aaa aaa A v v v V

6、 x x x X l l l L 21 22221 11211 2 1 2 1 2 1 则残差方程的矩阵表达式为 XALV 等精度测量最小二乘原理的矩阵形式： 最小）（）（ 最小 XALXAL VV T T 第9页/共41页 不等精度测量最小二乘原理的矩阵形式： 思路一：思路一： 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 00 00 00 00 00 00 n n nn p p p P 权矩阵 最小）（）（ 最小 XALPXAL PVV T T 四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理四、不等精度测量的线性参数最小二乘原理 第10页/共41页 思路二：不等精度等精度思路二：不等精度等精度 i p

7、tnntnnnnnnnn tt tt xpaxpaxpaplpv xpaxpaxpaplpv xpaxpaxpaplpv 2211 22222212212222 11211211111111 i v i l 1 i a 2i a it a 则有： 最小）（）（ 最小 XALXAL VV T T 第11页/共41页 正规方程：误差方程按最小二乘法原理转化得到的 有确定解的代数方程组 一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程一、等精度测量线性参数最小二乘处理的正规方程 tntnnnn tt tt xaxaxalv xaxaxalv xaxaxalv 2211 222212122 1212111

8、11 最小 22 2 2 1n vvv 0 )( 0 )( 1 2 1 1 2 n n i i n i i x v x v 第12页/共41页 正规方程：正规方程： t n i itit n i iit n i iiti n i it t n i iti n i ii n i iii n i i t n i iti n i ii n i iii n i i xaaxaaxaala xaaxaaxaala xaaxaaxaala 1 2 1 21 1 1 1 1 22 1 221 1 12 1 2 1 12 1 211 1 11 1 1 特点：特点： 主对角线分布着平方项系数，正数 相对于主对角

9、线对称分布的各系数两两相等 第13页/共41页 看正规方程组中第r个方程： 0 1 2 1 21 1 1 1 t n i itir n i iir n i iiri n i ir xaaxaaxaala 0 2211 nnrrr vavava 则正规方程可写成 0 0 0 2211 2222112 1221111 nnttt nn nn vavava vavava vavava 0VAT 即 正规方程的矩阵形式正规方程的矩阵形式 第14页/共41页 将代入到中，得 XALV 0VAT 0 XAALA TT LAXAA TT AAC T LAXC T LACX T1 （待测量的无偏估计） 第15

10、页/共41页 例5.1：已知铜棒的长度和温度之间具有线性关系：，为 。为获得时铜棒的长度 和铜的线膨胀系数，现测得不同温度下铜 棒的长度，如下表，求，的最可信赖值。 )1 ( 0 tyyt 0 y 0 y Cti 0 / mmli/ 解： 1）列出误差方程 )( 00iii tayylv 令 为两个待估参量，则误差方程为daycy 00 , 第16页/共41页 )(dtclv iii 按照最小二乘的矩阵形式计算 601 501 401 301 201 101 60.2001 48.2001 07.2001 80.2000 72.2000 36.2000 A d c XL 则有： 0012. 0

11、034. 0 034. 013. 1 1 C 第17页/共41页 03654. 0 97.1999 1 d c LACX T 那么： Cyd mmcy 0 0 0 /0000183. 0/ 97.1999 第18页/共41页 二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规二、不等精度测量线性参数最小二乘处理的正规 方程方程 最小 n i iiv p 1 2 0 )( 0 )( 1 2 1 1 2 n n i ii n i ii x vp x vp 由此可得不等精度测量线性参数最小二乘处理的 正规方程： 第19页/共41页 t n i ititi n i iiti n i iitii n i iti

12、 t n i itii n i iii n i iiii n i ii t n i itii n i iii n i iiii n i ii xaapxaapxaaplap xaapxaapxaaplap xaapxaapxaaplap 1 2 1 21 1 1 1 1 22 1 221 1 12 1 2 1 12 1 211 1 11 1 1 整理得： 0 0 0 222111 222221121 122121111 nntntt nnn nnn vapvapvap vapvapvap vapvapvap 第20页/共41页 即 0PVAT 不等精度的正规方程不等精度的正规方程 将代入上式，

13、得 XALV 0 XPAAPLA TT PLAXPAA TT PAAC T PLAXC T PLACX T1 （待测量的无偏估计） 第21页/共41页 例 5.2 某测量过程有误差方程式及相应的标准差： 08. 0)5(27.15 08. 0)4(22.13 08. 0)3(81.10 06. 0)2(60. 8 06. 0)(44. 6 5215 4214 3213 2212 1211 xxv xxv xxv xxv xxv 试求 的最可信赖值。 21,x x 解：首先确定各式的权 9:9:9:16:16 1 : 1 : 1 : 1 : 1 : 2 5 2 4 2 3 2 2 2 1 543

14、21 ppppp 第22页/共41页 令 61 51 41 31 21 11 27.15 22.13 81.10 60. 8 44. 6 2 1 A x x XL 90000 09000 00900 000160 000016 nn P 227. 2 186. 4 )( 1 2 1 PLAPAA x x X TT 第23页/共41页 三、非线性参数最小二乘处理的正规方程三、非线性参数最小二乘处理的正规方程 针对非线性函数 ), 2 , 1(),( 21 nixxxfy tii 其测量误差方程为 ),( ),( ),( 21 21222 21111 tnnn t t xxxflv xxxflv

15、xxxflv 02010 , t xxx t i iii titi x f x f x f xxxfxxxf 020 2 10 1 0201021 )()()(),(),( 令 ，现将函数在 处展开，则有 ttt xxxxxx 022021101 , 第24页/共41页 将上述展开式代入误差方程，令 00 2 20 1 1 02010 )(,)(,)( ),( t i it i i i i tiii x f a x f a x f a xxxfll 则误差方程转化为线性方程组 )( )( )( 2211 222212122 121211111 tntnnnn tt tt aaalv aaalv

16、 aaalv 于是可解得 ，进而可得 。 ), 2 , 1(tr r ), 2 , 1(trxr 近似值近似值 第25页/共41页 为获得函数的展开式，必须首先确定 02010 , t xxx 1）直接测量 2）通过部分方程式进行计算：从误差方程中选取 最简单的t个方程式，如令 ，由此可解得 。 0 i v 02010 , t xxx 四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系四、最小二乘原理与算术平均值原理的关系 为确定一个被测量X的估计值x，对它进行n次直 接测量，得n个数据 ，相应的权分别为 n lll, 21 n ppp, 21 ，则测量的误差方程为 第26页/共41页 xlv xlv x

17、lv nn 22 11 按照最小二乘原理可求得 n i i n i ii p lp x 1 1 结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的，结论：最小二乘原理与算术平均值原理是一致的， 算术平均值原理是最小二乘原理的特例。算术平均值原理是最小二乘原理的特例。 第27页/共41页 目的：给出估计量 的精度 t xxx, 21 一、测量数据精度估计一、测量数据精度估计 A）等精度测量数据的精度估计 n lll, 21 对 进行n次等精度测量，给出 的估计量。 2 可以证明 是自由度（nt）的 变量。 根据 变量的性质，有 2 1 2 / )( n i i v 2 2 tn v E n i i 2

18、1 2 2 1 2 tn v E n i i 第28页/共41页 则可取 tn v n i i 1 2 2 作为 的无偏估计量。 2 因此测量数据的标准差的估计量为 tn v n i i 1 2 第29页/共41页 B）不等精度测量数据的精度估计 tn vp n i ii 1 2 2 tn vp n i ii 1 2 测量数据的单位权测量数据的单位权 标准差的无偏估计标准差的无偏估计 第30页/共41页 二、最小二乘估计量的精度估计二、最小二乘估计量的精度估计 A）等精度测量最小二乘估计量的精度估计 设有正规方程 t n i itit n i iit n i iiti n i it t n i

19、 iti n i ii n i iii n i i t n i iti n i ii n i iii n i i xaaxaaxaala xaaxaaxaala xaaxaaxaala 1 2 1 21 1 1 1 1 22 1 221 1 12 1 2 1 12 1 211 1 11 1 1 第31页/共41页 设 tttt t t T ddd ddd ddd AA 21 22221 11211 1 )( 利用上述不定乘数，可求得 nnl hlhlhx 12121111 其中： nttnnn tt tt adadadh adadadh adadadh 12121111 21221221111

20、2 111212111111 第32页/共41页 由于 为等精度 的相互独立的正态随机变量 n lll, 21 2 11 2 2 1 2 12 2 11 2 1 )(dhhh nx 同理可得 ), 2 , 1( 2 2 tidii xi 则相应的最小二乘估计值的标准差为 ttxt x x d d d 222 111 第33页/共41页 B）不等精度测量最小二乘估计量的精度估计 同理经推导可得： ttxt x x d d d 222 111 各不定乘数 由 求得： tt ddd, 2211 1 )( PAAT tttt t t T ddd ddd ddd PAA 21 22221 11211 1 )( 第34页/共41页 组合测量：通过直接测量待测参数的组合量（一般是 等精度），然后对这些测量数据进行处理， 从而求得待测参数的估计量，求其精度估计。 以检定三段刻线间距为例，要求检定刻线A、B、C、D 间的距离 。 321 ,xxx ABCD 1 x 3 x 2 x ABCD 1 l 3 l 2 l 4 l 6 l 5 l 第35页/共41页 直接测量各组合量，得 mmlmmlmml mmlmmlmml 032. 3981. 1016. 2 020. 1985.