克拉默法则04353

1、2021/6/161 7 克拉默法则克拉默法则 2 2021/6/16 二元线性方程组二元线性方程组 1111221 2112222 a xa xb a xa xb 若令若令 1112 2122 aa D aa 12 1 1 222 b b a D a 1 2 2 11 21 ba D ab ( (方程组的系数行列式方程组的系数行列式) ) 则上述二元线性方程组的解可表示为则上述二元线性方程组的解可表示为 1122122 1 11221221 D D b aa b x a aa a 1121212 2 11221221 a bb aD x a aa aD 3 2021/6/16 一、克拉默法则

2、一、克拉默法则 如果线性方程组如果线性方程组 11112211 21122222 1122 (1) nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 的系数行列式不等于零，即的系数行列式不等于零，即 11121 21222 12 0 n n nnnn aaa aaa D aaa 4 2021/6/16 122 123 ,. (2) n n DDDD xxxx DDDD 其中其中 是把系数行列式是把系数行列式 中第中第 列的元素用方程组右端的常列的元素用方程组右端的常 数项代替后所得到的数项代替后所得到的 阶行列式，即阶行列式，即 j DDj n 111,1

3、1,11 1,1,1 1jjn j nn jn jnnn aaaa D aaaa b b 那么线性方程组那么线性方程组(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成 5 2021/6/16 定理中包含着三个结论：定理中包含着三个结论： 方程组有解；方程组有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性） 解可以由公式解可以由公式( (2) )给出给出. . 这三个结论是有联系的这三个结论是有联系的. . 应该注意，该定理所讨论的只是系应该注意，该定理所讨论的只是系 数行列式不为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形，数行列式不

4、为零的方程组，至于系数行列式等于零的情形， 将在第三章的一般情形中一并讨论将在第三章的一般情形中一并讨论. . 6 2021/6/16 关于关于克拉默克拉默法则的等价命题法则的等价命题 定理定理4 如果线性方程组如果线性方程组( (1) )的系数行列式不等于零，则的系数行列式不等于零，则 该线性方程组一定有解该线性方程组一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . . 定理定理4 如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的如果线性方程组无解或有两个不同的解，则它的 系数行列式必为零系数行列式必为零. . 设设 11112211 21122222 1122 (1) nn nn nnnnnn a

5、 xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 7 2021/6/16 例例 解线性方程组解线性方程组 1234 124 234 1234 258, 369, 225, 4760. xxxx xxx xxx xxxx 解解 2151 1306 0212 1476 D 12 2rr 42 rr 07513 1306 0212 07712 8 2021/6/16 7513 212 7712 12 2cc 32 2cc 353 010 772 1 8151 9306 5212 0476 81 D 2 2851 1906 0512 1076 =108 D 270 9 2021/6/16 3

6、 2181 1396 0252 1406 27 D 4 2158 1309 0215 1470 27 D 1 1 81 3, 27 D x D 2 2 108 4, 27 D x D 3 3 27 1, 27 D x D 4 4 27 1. 27 D x D 10 2021/6/16 线性方程组线性方程组 常数项全为零的线性方程组称为常数项全为零的线性方程组称为齐次线性方程组齐次线性方程组，否则，否则 称为称为非齐次线性方程组非齐次线性方程组. . 11112211 21122222 1122 nn nn nnnnnn a xa xa xb a xa xaxb a xaxa xb 齐次线性方程

7、组总是有解的，因为齐次线性方程组总是有解的，因为(0,0,(0,0, 0), 0)就是一个就是一个 解，称为解，称为零解零解. . 因此，齐次线性方程组一定有零解，但因此，齐次线性方程组一定有零解，但 不一定有非零解不一定有非零解. . 我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存我们关心的问题是，齐次线性方程组除零解以外是否存 在着非零解在着非零解. . 11 2021/6/16 齐次线性方程组的相关定理齐次线性方程组的相关定理 定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式如果齐次线性方程组的系数行列式 ，则齐次，则齐次 线性方程组只有零解，没有非零解线性方程组只有零解，没有非零解. .

8、0D 定理定理5 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解, ,则它的系数行列式必则它的系数行列式必 为零为零. . 备注备注 这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有这两个结论说明系数行列式等于零是齐次线性方程组有 非零解的必要条件非零解的必要条件. . 在第三章还将证明这个条件也是充分的在第三章还将证明这个条件也是充分的. . 即：即： 齐次线性方程组有非零解齐次线性方程组有非零解 系数行列式等于零系数行列式等于零 12 2021/6/16 练习题：练习题：问问 取何值时，齐次方程组取何值时，齐次方程组 123 123 123 1240, 230, 10, xxx xx

9、x xxx 有非零解？有非零解？ 解解 124 231(2)(3) 111 D 如果齐次方程组有非零解，则必有如果齐次方程组有非零解，则必有 . . 0D 所以所以 时齐次方程组有非零解时齐次方程组有非零解. .0 2 3 、 13 2021/6/16 思考题思考题 当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则当线性方程组的系数行列式为零时，能否用克拉默法则 解方程组？为什么？此时方程组的解为何？解方程组？为什么？此时方程组的解为何？ 答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法答：当线性方程组的系数行列式为零时，不能用克拉默法 则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解则解方程组，因为此时方程组的解为无解或有无穷多解. . 14 2021/6/16 1. 用克拉默法则解线性方程组的两个条件用克拉默法则解线性方程组的两个条件 (1)方程个数等于未知量个数；方程个数等于未