考点29 曲线方程及抛物线（解析版）[共11页]

1、考点29 曲线方程及抛物线【知识框图】【自主热身,归纳总结】1、(2016镇江期末）已知A为曲线C：4x2y10上的动点,定点M(2,0),若2,求动点T的轨迹方程规范解答 设T(x,y),A(x0,y0),则4xy010. (2分)又M(2,0),由2得(xx0,yy0)2(2x,0y), (5分)所以x03x4,y03y,(7分)代入式得4(3x4)23y10,即为所求轨迹方程(10分)2、(2017无锡期末） 如图,抛物线关于y轴对称,它的顶点在坐标原点,点P(2,1),A(x1,y1),B(x2,y2)均在抛物线上(1) 求抛物线的方程；(2) 若APB的平分线垂直于y轴,证明：直线A

2、B的斜率为定值规范解答 (1) 由已知条件,可设抛物线的方程为x22py(p0)因为点P(2,1)在抛物线上,所以222p1,解得p2.(3分)故所求抛物线的方程是x24y.(4分)(2) 由题知kAPkBP0,所以0.(6分)所以0,所以0,所以x1x24.(8分)所以kAB1.所以直线AB的斜率为定值(10分)3、(2017苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y22px(p0)的准线方程为x,过点M(0,2)作抛物线的切线MA,切点为A(异于点O)直线l过点M,与抛物线交于B,C两点,与直线OA交于点N.(1) 求抛物线的方程；(2) 试问：的值是否为定值？若是,求出定值；若

3、不是,请说明理由规范解答 (1) 由题意得,解得p,所以抛物线的方程为y2x.(2分)(2) 因为函数y的导函数y,设切点A(x0,),所以yxx0,则直线MA的方程为y(xx0),(4分)即yx,因为点M(0,2)在直线MA上,所以2,x016,所以点A(16,4),(5分)所以直线OA的方程为yx.(6分)设直线BC的方程为ykx2(k存在且不等于0)由得k2x2(4k1)x40,所以xBxC,xBxC.(7分)由得xN.(8分)所以2,故为定值2.(10分)4、(2018南通、扬州、淮安、连云港二调）如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(8,4),P(2,t)(t0)上(1) 求p,t的

4、值；(2) 过点P作PM垂直于x轴,M为垂足,直线AM与抛物线的另一交点为B,点C在直线AM上若PA,PB,PC的斜率分别为k1,k2,k3,且k1k22k3,求点C的坐标规范解答 (1) 将点A(8,4)代入y22px,得p1.(2分)将点P(2,t)代入y22x,得t2.因为t0)的焦点,直线l过点F且与抛物线相交于A,B两点(点A在第一象限)(1) 若直线l的方程为yx,求直线OA的斜率；(2) 已知点C在直线xp上,ABC是边长为2p3的正三角形,求抛物线的方程。规范解答 (1) 由题意,焦点F在直线l上,所以0,解得p1.所以抛物线的方程为y22x.由消去x得2y23y20,所以y2

5、或y,因为点A在第一象限,所以点A的坐标为(2,2),所以直线OA的斜率为1.(3分) (2) 依题意,直线l的斜率存在,且不为零设直线l的方程为yk,设A(x1,y1),B(x2,y2),C(p,y3),AB的中点M(x0,y0)由消去y得k2x2(k2p2p)xk2p20,4p24k2p20,x1,2,所以ABx1x2p2p2p3,即3.(5分) MC.因为x0p,所以MC,将代入得,MC.(8分) 又因为ABC是边长为2p3的正三角形,所以MC(2p3),所以(2p3),解得p,所以抛物线的方程为y22x.(10分) 题型二 曲线方程及抛物线中的直线问题知识点拨：抛物线中的直线问题主要涉

6、及到求直线的方程或研究直线过定点的问题。求直线主要是设直线方程或者斜率。直线过定点问题主要方法是求直线的方程,通过研究方程定点过定点。例2、(2019 苏锡常镇调查（二）在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线C：y24x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A,B两点(1) 求线段AF的中点M的轨迹方程；(2) 已知AOB的面积是BOF面积的3倍,求直线l的方程 规范解答 因为抛物线方程为y24x,所以F(1,0)(1分)(1) 设M(x,y),A(x0,y0)因为M为线段AF的中点,则x,y,(2分)则x02x1,y02y,代入抛物线方程得：y22x1,即点M的轨迹方程为y22x1.(4分)(2

7、) 设A(x1,y1),B(x2,y2),不妨设y10,y20),与y24x联立,消去x得y24ty40,y1,22t2,y1y24t,y1y24,(8分)由可得t,代入,得直线l：y2(x1)；同理当y10时,得直线l：y2(x1)综上,直线l的方程为：y2(x1)(10分)【变式1】(2019无锡期末） 在平面直角坐标系xOy中,曲线C上的动点M(x,y)(x0)到点F(2,0)的距离减去M到直线x1的距离等于1.(1) 求曲线C的方程；(2) 若直线yk(x2)与曲线C交于A,B两点,求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补 规范解答 (1)由题意得|x1|1.(2分)即|x1|1.因为x0

8、,所以x10,所以x2,两边平方整理得曲线C的方程为y28x.(4分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得k2x2(4k28)x4k20,所以x1x24.(6分)由kFAkFB.(8分)将x1x24代入得kFAkFB0.所以直线FA与直线FB的倾斜角互补(10分)【变式2】(2019 南京三模） 平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y22px(p0)及点M(2,0),动直线l过点M交抛物线于A,B两点,当l垂直于x轴时,AB4.(1) 求p的值；(2) 若l与x轴不垂直,设线段AB中点为C,直线l1经过点C且垂直于y轴,直线l2经过点M且垂直于直线l,记l1,l2相交于点P,求证：

9、点P在定直线上规范解答 (1) 因为l过点M(2,0),且当l垂直于x轴时,AB4,所以抛物线经过点(2,2),代入抛物线方程,得42p2,解得p1.(2分)(2) 设直线l方程为yk(x2)(k0),A(x1,y1),B(x2,y2)联立消去x,得ky22y4k0,则y1y2,y1y24.(4分)因为C为AB中点,所以yC,则直线l1方程为y.(6分)因为直线l2过点M且与l垂直,则l2方程为y(x2),联立(8分)解得即P,所以,点P在定直线x1上(10分)【变式3】(2017苏州暑假测试） 已知抛物线C的方程为y22px(p0),点R(1,2)在抛物线C上(1) 求抛物线C的方程；(2)

10、 设过点Q(1,1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A,B.若直线AR,BR分别交直线l：y2x2于点M,N,求线段MN的长度最小时直线AB的方程 思路分析 由题意可知,MN的长度随着直线AB的方程的变化而变化的,因此,由直线AB的方程与抛物线的方程联立成方程组可求得A,B两点的坐标,进而求出直线AR,BR的方程,通过直线AR,BR与直线l联立就会得到M,N的坐标,由此来求MN的长度规范解答 (1) 将R(1,2)代入抛物线中,可得p2,所以抛物线的方程为y24x.(3分)(2) 设直线AB的方程为xm(y1)1(m0),A(x1,y1),B(x2,y2)由得y24my4(m1)0,所以y1y

11、24m,y1y24(m1)(5分)设直线AR的方程为yk1(x1)2.由得xM.而k1,可得xM,同理xN,所以MN|xMxN|2.(8分)令m1t(t0且t1),则mt1,所以MN2.当MN时,t2,m1,故直线AB的方程为xy20.(10分)【变式4】(2016苏北四市摸底）如图,已知抛物线C：x22py(p0)过点(2,1),直线l过点P(0,1)与抛物线C交于A,B两点,点A关于y轴的对称点为A,连结AB.(1) 求抛物线C的标准方程；(2) 直线AB是否过定点？若是,求出定点坐标；若不是,请说明理由 规范解答 (1) 将点(2,1)代入抛物线C：x22py的方程,得p2,所以抛物线C

12、的标准方程为x24y.(4分)(2) 设直线l的方程为ykx1,A(x1,y1),B(x2,y2),则A(x1,y1)由得x24kx40 ,则16k2160,x1x24,x1x24k,所以kAB.于是直线AB 的方程为y(xx2)(8分)所以y(xx2)x1,当x0时,y1,所以直线AB过定点(0,1)(10分)题型三 曲线方程及抛物线的综合问题知识点拨：曲线方程及抛物线的综合问题主要涉及的问题求三角形的面积问题,线段长的问题,遇到这种问题要建立目标意识,建立函数关系式,通过研究函数确立最值问题。例3、(2019扬州期末） 已知直线x2上有一动点Q,过点Q作直线l,垂直于y轴,动点P在l上,且

13、满足0(O为坐标原点),记点P的轨迹为C.(1) 求曲线C的方程；(2) 已知定点M,N,点A为曲线C上一点,直线AM交曲线C于另一点B,且点A在线段MB上,直线AN交曲线C于另一点D,求MBD的内切圆半径r的取值范围 规范解答 (1)设点P(x,y),则Q(2,y),所以(x,y),(2,y)因为0,所以2xy20,即曲线C的方程为y22x.(2分)(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x3,y3),直线BD与x轴交点为E,内切圆与AB的切点为T.设直线AM的方程为yk,则联立方程组消去y得k2x2(k22)x0,则有x1x2且0x1x2,所以0x11,所以r在(1,)上单调递增,

14、则r1,即r的取值范围为(1,)(10分)【变式1】(2018苏北四市期末）在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C：y24x于点P,点F为C的焦点圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1) 求曲线E的方程；(2) 若直线l1与曲线E相切于点Q(s,t),过Q且垂直于l1的直线为l2,直线l1,l2分别与y轴相交于点A,B.当线段AB的长度最小时,求s的值 规范解答 (1) 因为抛物线C的方程为y24x,所以F的坐标为(1,0)设M(m,n),因为圆M与x轴、直线l和PF都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为|n|,点P(n2,2n),则直线

15、PF的方程为,即2nx(n21)y2n0,(2分)所以圆心M到直线PF的距离d|n|,即|n|.又m,n0,所以|2mn21|n21,即n2m10,所以E的方程为y2x1(y0)(4分)(2) 设Q(t21,t),A(0,y1),B(0,y2)由(1)知,点Q处的切线l1的斜率存在,由对称性不妨设t0.由y,所以kAQ,kBQ2,所以y1,y22t33t,(6分)所以AB2t3t(t0)(8分)令f(t)2t3t,t0,则f(t)6t2.由f(t)0得t；由f(t)0得0t0)上一点P到准线的距离与到原点O的距离相等,抛物线的焦点为F.(1) 求抛物线的方程；(2) 若A为抛物线上一点(异于原点O),点A处的切线交x轴于点B,过A作准线的垂线,垂足为点E.试判断四边形AEBF的形状,并证明你的结论 规范解答 (1) 由题意得点P