《解直角三角形》专题讲座

1、解直角三角形专题讲座解直角三角形与直角三角形的概念、性质、判定和作图有着密切的联 系，是在深入研究几何图形性质的基础上，根据已知条件，计算直角三角 形未知的边长、角度和面积，以及与之相关的几何图形的数量。1、明确解直角三角形的依据和思路在直角三角形中，我们是用三条边的比来表述锐角三角函数定义的。 因此，锐角三角函数的定义本质揭示了直角三角形中边角之间的关系，是 解直角三角形的基础。(1)边角之间的关系：如图1,在rtzabc中，/c= 90 ,设三个内角 a b c所对的边分 别为a、ah%,ctga =tgb = &。absina = cosb=匚， cosa = sinb =匚，tga =

2、 ctgb =(2)两锐角之间的关系：a+ b= 90 。(3)三条边之间的关系：以上每个边角关系式都可看作方程，解直角三角形的思路，就是根据 已知条件，正确地选择直角三角形中边角间的关系式，通过解一元方程来 求解。2、解直角三角形的基本类型和方法我们知道，由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程叫作解直 角三角形，而在直角三角形中，除直角以外还有三条边及两个锐角共五个 元素，那么什么样的直角三角形才可解呢？如果已知两个锐角能否解直角 三角形呢？事实上，解直角三角形跟直角三角形的判定与作图有着本质的联系， 因为已知两个元素(至少有一个是边)可以判定直角三角形全等，也可以 作出直角三角形，即此

3、时直角三角形是确定的，所以这样的直角三角形是 可解的。由于已知两个锐角的直角三角形是不确定的，它们是无数多个相 似的直角三角形，因此求不出各边的长。所以，要解直角三角形，给出的 除直角外的两个元素中，必须至少有一个是边。这样，解直角三角形就分为两大类，即已知一条边及一个锐角或已知两条边解直角三角形。四种基 本类型和解法列表如下：已知条件解法1一边及1 一锐角直角边a及锐角a来源:z_xx_k.comab= 90 -a, b=a ctga斜边c及锐角ab=90 a, a = c sina , b = c - cosa两边两条直角边a和bc =点 十* , b = 90- a ,b = lc2 -

4、a2直角边a和斜边ch色sm = -r-2c , b= 90 _ a,b f例1、如图1, 求ab的长。若图中所有的三角形都是直角三角形，且/ a= % , a& 1,图2分析一：所求% ,暂不可解。ab是rtzabc的斜边，但在 rtzabc中只知一个锐角 a= 而在rtaade,已知一直角边及一锐角是可解的，所以就从解rtzade入手。,ae5 d31丫 cos j4 = fc j4jd =、=解法一：在rtad审上订，且/ a= % ,a& 1孙达卬jv cos f,1, ac在 rtadc中，a。在 rtabc中，分析二；观察图形可知,ab乂口 = cq5 # =1cos a cos

5、cos 1ac2-icos j4cos 洋 cos3 ?ocd ce分别是rtaabc口 rtzacdm边上的高,具备应用射影定理的条件，可以利用射影定理求解。解法二：同解法一得，c依原,v ad2 =abact：.ac- - =-在 rtacd中，ae coj#,v = ad-ab,ab = -在 rtabc中，ad gjd。说明：本题是由几个直角三角形组合而成的图形。这样的问题，总是先解 出已经具备条件的直角三角形，从而逐步创造条件，使得要求解的直角三 角形最终可解。值得注意的是，由于射影定理揭示了直角三角形中有关线 段的数量关系，因而在解直角三角形时经常要用到。在解直角三角形的问题中，经

6、常会遇到这样的图形(图3),它是含有两个直角三角形的图形。随着 d点在bc边上位置的变化，会引起直角三 角形中有关图形数量相应的变化，从而呈现许多不同的解直角三角形的问 题，下面举例加以说明。例2、如图3,在rtzabc中，/c= 90 , ad是bc边上的中线(1)若 bd=短,/ b= 30 ,求 ad的长；(2)若/ abc= % , /adc= b ,求证：tg b =2tg %。(1)分析：由a混bci的中线，只知dc-条边长，仅此无法直接在rtaadc 中求解ad而在rtzabc中，由已知bc边和/b可以先求出aq从而使 rtmdcm 解。解：在 rtabc中，v bc= 2bd=

7、 2点，/ b= 30 ,.ac= bc - tgb=2 亍，在 rtadc中，: dc= bd=瓢,ad = -jac2 + dc2 = 空尸+ 6版=孚(2)分析：和(3分别为ruabc和rtzadc中的锐角，且都以直角边 ac为对边，抓住图形的这个特征，根据直角三角形中锐角三角比可以证明 tg b =2tg %。v tgabc =-_/abc = a ac - bc 定也证明：在rtzabc中，bc,r gzacc ,zadc =以.: ac = dc rg万在 rtadc 中，dc，又bo 2dc,.tg b =2tg %。例3、如图3,在rtzabc中，/c= 90 , ad是/ b

8、ac勺平分线。(1)若 ab： bd=万，求/ b;(2)又若bd= 4,求邑的。分析：已知ad是/bac的平分线，又知两条线段的比 ab： bd=旧，应用 三角形内角平分线的性质定理，就能把已知条件集中转化到 rtzadc中， 先求出/ dacbi3可求得/ b。,ab =bd ab = ac = r-解：(1) .ad是/bac的平分线，.正无，即丽一函一, ctgldac =#在 rtadc 中，8,./dac= 30 ,. / bac= 2zdac=60 , ./b= 90 /bac= 30。.空=的1(2) 即，bd=4, /. ab= vtbd= 4正，/ b= 30 , /. a

9、g= 5 ab=24 ,又 bc= ab- cosb= 6,. =2 bc- ag= 5 x6x2 户=64。说明：解直角三角形时，要注意三角形中主要线段的性质，利用平面几何 的有关定理，往往能够建立已知与未知的联系，找到解决问题的突破口。例 4、如图 3,在 rtzabc、/c= 90 , 口为 bc上一点，/ abc= 45 ，/adc =60 , bd= 1,求 ab分析：已知的角度告诉我们，rtaabc和rtzadcs是特殊的直角三角形， 抓往这个特点设未知数，根据线段间的数量关系，可以列出一元一次方程 求解。解：在 rtadc中，设 dc= x, /ad。60 ,. ad= 2x,

10、ag=有 x,十1在 rtabc中，v z ab(c= 45 , bd= 1, .1 + x=4x, .1= 2,3、沱+而 - ab=心 ac= j，x =*。说明：解直角三角形时，要注意发掘图形的几何性质，利用线段和差的等 量关系布列方程。还要熟练地掌握特殊锐角的三角比值，以使解答过程的 表述简洁。例5、如图4,在 abc中、dk f分别在ag bc上，且 ab1ac afbqbd= dc= fc= 1,求 agab f e c图4分析：由数形结合易知， abc直角三角形，af为斜边上的高线，cf是 直角边ac在斜边上的射影，ac为所求，已知的另外两边都在 bdc+,且 bd= dc= 1

11、,即4bdc是等腰三角形。因此，可以过 d作d口 bg拓开思 路。由于de af同垂直于bg又可以利用比例线段的性质，逐步等价转 化求得ac解：在 abc中，设ac为x, ab1ag afbg又fc= 1,根据射影定 理，得：,即 bc=7。再由射影定理，得：af2-bffc-（bc-fc）fc ,即 af2 =？-waf =4 -1o在bdcct 过 d作 dh bc 于 e, ba dg= 1, . b& eq 又 v af bq .de/ af,de dc ,idc af j# -1,af hc ac 无。在rtzdec中，丫口5+53.0（71即工 f）=丁+不），整理得/=4.,工短

12、,=说明：本题体现了基本图形基本性质的综合应用。还应该注意，作垂线构 造直角三角形是解直角三角形时常用的方法。3、解直角三角形在实际问题中的应用借助解直角三角形解决实际问题，包括度量工件、测量距离、工程技 术等许多方面。解决问题的关键是要从实际问题中抽象出几何图形，把实 际问题中的数量关系转化为直角三角形的边角之间的关系，从而通过解直 角三角形使实际问题得到解决。例6、某型号飞机的机翼形状如图 5,根据图示尺寸计算 ac bd和ab的 长度（保留三个有效数字）。cda代一5. u0 米图5分析；飞机机翼形状为四边形 abdc要求其中三条边的长度，一方面应使 所求线段成为直角三角形的元素，另一方

13、面，要设法将已知条件与未知量 集中在某个三角形中以求解，这就需要恰当地构造直角三角形。解：过c作c口 ba交ba的延长线于e。在 rtace中，/ac245 , c已 5, /. ag=点 c& 1.414x5=7.07。过d作df! ba交ba的延长线于f,且与ac交于g,在rtbdf中，: / bdf =30 , df= 5, /. bedf = 5/77,，bf =-bd 2.885 cos 300 0 8662bf (df cd =2.885 (5.ab= bf- af= bf- fg= bf ( df- dq 3.4) =1.29 (米)。说明：解决实际问题时，计算常有精确度的要求，

14、应注意近似计算的法则 和规范表述。例7、某勘测队在山脚测得山顶的仰角为38。，沿倾斜角为25。的山坡前图6分析：先根据题意画出示意图（如图 6） = 25 ,因为仰角为视线与水平线的夹角，0.1 米）。bc为山高，ad为山坡，/ dac 所以/bac= 38 , ad= 800 米，/bde= 62 ,要直接在 rtzabc中求bc不够条件，必须设法先求出 ar 这就需要根据已知条件，构造直角三角形。解：过 d作 df!ab于 f,在 rtadf中，/ daf= 38 -25 = 13 , .af= ad- cos/daf= 800x 0.9744= 779.5, df= ad- sin /

15、daf= 800x 0.2250 = 180.0。在 rtbdf中，. /dbf= 62 -38 =24 ,.bf= df- ctg /dbn 180.0 x 2.246= 404.3 ,.ab= af+ bf= 779.5 +404.3 = 1183.8,在 rtabc中，bc= ab- sin / ba已 1183.8x0.6157= 728.8 （米）。答：山高为728.8米。说明：在学过解斜三角形以后，解答本题会有更简捷的方法。说明：应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形。例8、如图7所示，河对岸有一座铁塔 ab,若在这边c、d处分别用测 角仪器测得塔顶b的仰角为30。，60。已知测角仪器高为1.5米，cd =20米，求铁塔的高。（精确到0.1米）。备 f炉. 一 1 clcdw）a图7空解：设 bg= x,在 rtzbgf中，ctg / bfg=俯，. fg= bg ctg / bfg 垂=x - ctg60 = 3 x,在 rtbge中,eg= bg ctg / beg 覆。/eg-fg= ef,且 ef= cd= 20, ,也x- x x = 20,解得 x=10万,