数学(理)二轮复习通用讲义：专题一第三讲小题考法——三角恒等变换与解三角形

1、第三讲小题考法一一三角恒等变换与解三角形考点(一)三角恒等变换与求值主要考查利用三角恒等变换解决化简求值问题多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式典例感悟典例(1)已知na 4.(丄 nsin a+ 231 + 承cos 2a为第一象限角，cos a= 5，贝V2A.2Bi14CT(2019届咼三、 1 .浦东五校联考)已知sin( a+ 3) = 2， sin( a_3)=3C. 4解析(1)由a为第一象限角，cosa= I，得 sin4a= 5，na 4 .(丄亍 sin a+ 21 + ,2cos 22c .1 + cos 2 a+ sin 2 a 2cos a+ 2sin

2、 acos a =2(cosCOS aCOS aa+ sin a = 14.因为 sin( a+ 3 = sin( a- 3) = 3,1所以 sin acos 3+ cos ain 3= sin acos 3 cos ain13= 3,所以sin5.如 3= - cos aina 12,所以tania= 5，所以ig 5方法技巧答案(1)C (2)C1. 三角恒等变换的策略2 2(1) 常值代换：特别是 啲代换，1 = sin 0+ cos 0= tan 45等.2 2 2 2 2项的拆分与角的配凑：如sin a+ 2cos a= (sin a+ COS a)+ COS a, a= ( a

3、3+ B等.(3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次.(4) 弦、切互化：一般是切化弦.2. 解决条件求值问题的关注点(1) 分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角.(2) 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后 结合角的取值范围，求出角的大小.演练冲关1 1. (2018 全国卷川)若 sin a= 3，则 cos 2 a=()7B.98A.97- 9-CC8一-D.解析：选Bsin a= 3,2/cos 2 a= 1 2sin a=9.故选B.2. (20

4、18河南郑州一模)若tan 20 + ms in 20 =V3，贝U m的值为解析：由于 tan 20 + ms in 20 =3,3 tan 20sin 20 可得m =1尹n 40.3cos 20 sin 20 sin 20 cOs 20 4sin 60 二 20 sin 40 =4.答案：43. (2018 全国卷 n )已知 sin a+ cos 3= 1, cos a+ sin = 0，贝U sin( a+ B) =.解析：，.s in a+ cos B= 1,cos a+ sin 3= 0,/ + 2 得 1 + 2(sin acos 3+ cos sin 3 + 1= 1,isi

5、n acos 3+ cos asin 3=,1 sin( a+ 3 = 2*考点（二）利用正、余弦定理解三角形主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形 面积公式求解三角形的边长、角以及面积，或考查将两个定理与三角恒等变换 相结合解三角形.答案：1典例感悟典例（1）（2018全国卷川） ABC的内角 A, B,a2+ b2 c2面积为a一4，则C =（）C的对边分别为 a, b, c.若厶ABC的na.2B.nnc.4nd.6（2018宜昌模拟）在厶ABC中,.2A c bsin2=ET(a，b, c分别为角A, B, C的对边），则 ABC的形状为（2018南昌模拟）已知 ABC的面积为2 3，

6、角A, B, C所对的边分别为 a, b, c, An，贝U a的最小值为2 ,22解析-，S= |absin C = a厂三=2ab；s C= 2abcos C,sin C = cosC, 即即 tan C= 1.nC (0, n,.C= 4.2Ac b 1 cos A-sin 2=云=2 ，,2.22bb + c a bcos A = ,.cos A=c2bc c整理得a2+ b2= c2,.念BC是直角三角形.1(3) 因为 Szabc = qbcsin A= 2 3,2 2 2 2 2 b + c - a i 2bc a 8 x 2- a 所以bc= 8, cos A =一2bc= 尹

7、 2bc =8X 2 (当且仅当 b= c时取等号)，即216 ai8，所以a2 2,即a的最小值为2 2.答案(1)C直角三角形 (3)2.2方法技巧解三角形问题的求解策略已知条件解题思路两角A, B由A+ B+C=n及.一.一.,可先求出角sin A sin B sin C与一边aC及b,再求出c两边b, c及由a2= b2+ c2 2bccos A,先求出a,再求出角 B ,其夹角AC三边a, b , c由余弦定理可求出角A, B , Cab由正弦定理一七一一七可求出另一边b的对角B ,sin A sin B两边a , b及其ac由C一 n (A+ B)可求出角C,再由.一.可求中一边a

8、的对sin A sin C角A出c ,注意通过= ?D求角B时，可能有一解sin A sin B或两解或无解的情况演练冲关1. (2018福州质检)在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为 a, b, c,若2bcos C 2ccosB= a,且B = 2C ,则厶ABC的形状是(A 等腰直角三角形)B 直角三角形C.等腰三角形D .等边三角形解析：选 B -2bcos C 2ccos B= a,2sin Bcos C 2sin Ccos B= sin A = sin(B + C),即sin Bcos C = 3cos Bsin C,tan B= 3tan C,又 B= 2C,2ta n C

9、2亠1 tan C=3tan C, 得 tan C =,B = 2C=：, A = &,故ABC为直角三角形.6322. (2018全国卷I ) ABC的内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知bsin C + csin B =4asin Bsin C， b2+ c2 a2 = 8,则厶 ABC 的面积为 .Bsin1b2 + c2 a28C.又 sin Bsin C0 ,.sin A = 2.由余弦定理得 cos A =2bc2bc解析：bsin C+ csin B = 4asin Bsin C,.由正弦定理得 sin Bsin C+ sin Csin B = 4sin Asi

10、nbc=七=竽，.Sbc= %csin A =彗竽 x 2 =罕cos A 322323答案：葺33. （2018石家庄模拟）如图，四边形 ABCD的对角线交点位于四边形的内部，AB = BC= 1 , AC= CD , AC丄CD，当/ ABC变化时，BD的最大值为.解析：设/ACB = 0lO 0n，则/ABC = 2 0, ZDCB = 0+ 扌，由余2 2 2弦定理可知，AC2 = AB2+ BC2 2AB BCcosZABC,即 AC = DC = 2 + 2cos 2 0= 2cos 0 0,2 2 2BD2= BC2 + DC2 2BC DC cosZDCB ,即 BD2= 4c

11、os2 0+ 1 2 x 1 x 2cos 0cos(0+ 扌 j=2cos 2 + 2sin 2 0+ 3= 2 2sin 2 0+ ； + 3.nn n 5 n由 0 02，可得 42 0+ 4/3,则厶ABC面积的最大值为 .解析：由 sin C cos A= sin Acos C,/ 1得 qbcos A sin Ceos A= sin Acos C,1 1则2bcos A= sin Acos C+ sin Ceos A = sin(A + C)= sin B，即 qbcos A = sin B,又走=光，所以sin B=沁,sin A sin Ba所以Ibcos A =叱,2 a由

12、a = 2 3，得 tan A = .3,则 A = 由余弦定理得(2.3)2= b2 + c2 2bccosn，则 b2+ c2= 12+ bc2bc,所以 bc 12,当且仅当b = c时取等号，则Sabc = bcsi门詐 1 x 12 x 身=3.3,所以AABC面积的最大值为 3,3.答案：3 3考点(三)正、余弦定理的实际应用主要是以实际生活为背景所命制的与测量和几何计算有关的冋题，考查正弦、余弦定理等知识和方法的运用 典例感悟典例(1)(2018广西五校联考)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为 25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地 面的坡角在山坡的A处

13、测得/ DAC = 15沿山坡前进50 m到达B处, 又测得/ DBC = 45根据以上数据可得 cos 0=.(2)(2018广东佛山二模)某沿海四个城市 A, B, C, D的位置如图所示，其中/ ABC =60 / BCD = 135 AB= 80 n mile , BC = (40 + 30 ,3)n mile , CD = 250,6 n mile , D 位于 A的北偏东75方向.现有一艘轮船从城市 A出发以50 n mile/h的速度向城市 D直线航行，60min后，轮船由于天气原因收到指令改向城市C直线航行，收到指令时城市C对于轮船的方位角是南偏西0贝U sin 0=.-10+

14、3073 1), AC = t(t0)，依题意得AB= AC 0.5= (t 0.5).在XBC 中,由余弦定理得，AB2= AC2 + BC2 2AC BCcos 60 ；即(t 0.5)2= t2 + x2 tx，化简并整理得2x 0.250 750 75lt = x 1+ 075 + 2(x1).因为 x1，所以 t = x 1+ 075 + 22 +3x 1x1x 1当且仅当x= 1 +于时取等号，故AC最短为(2 + . 3) m，应选D.必备知能 自主补缺依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1. 两组三角公式(1)两角和与差的正弦、余弦、正切

15、公式 sin(a3 = sin ocos Bcos osin 0 cos(aB = cos acos B?sin osin Btan( aB = tan aan B 1?tan dtan B辅助角公式：asin a+ bcos a= a2 + b2 sin( a+ $).(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2 a= 2sin 久cos a2ta n a1 tan2 a cos 2 a= cos2 a sin2 a= 2cos2 a 1 = 1 2sin2 a降幕公式： 21 cos 2 a21 + cos 2 asin a=2, cos a=q tan 2 a=2. 正弦定理煮=sh=

16、snc=2R(2R为mbc外接圆的直径).变形：a = 2Rsin A, b= 2Rsin B, c= 2Rsin C;asin A = 2 r，sin B =2Rsin C =c ；2R；a : b : c= sin A : sin B : sin C.3. 余弦定理a2= b2 + c2 2bccos A, b2= a2+ c2 2accos B, c?= a?+ b? 2abcos C.推论:-2 丄 2 J2 丄 J2b + c aa + c bcos A =, cos B=2bc2accos4. 三角形面积公式1110 abc= bcs in A= acsin B= ?abs in

17、C.二级结论要用好1 .在 ABC 中，tan A+ tan B+ tan C= tan A tan B tan C.2. A ABC中，内角A, B, C成等差数列的充要条件是B = 60 3. A ABC为正三角形的充要条件是 A, B, C成等差数列，且 a, b, c成等比数列.4. SABC =釁(R为MBC外接圆半径).易错易混要明了 1 对三角函数的给值求角问题，应选择该角所在范围内是单调的函数，这样，由三角 函数值才可以唯一确定角，若角的范围是0，n，选正、余弦皆可；若角的范围是 （o，n,选余弦较好；若角的范围是-n,扌选正弦较好.针对练1若a, B为锐角，且sin a=-5

18、，sin 斗普，贝卩a+ 3=解析：a, 3为锐角，sin a= 乂5, sin 3=乂孕,510 cosa=cos 3=3 ；1010cos(a+ 3 = cos acos 3 sin asin 35102 -=2叵 3烦_ V5V10=V2=510 =又 0B? sin AsinB.针对练2在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,且a= 1, c= , 3, An，则 b=6解析：由蠢=孟，得sincsin A 寸 3 ,口 n 2 nn ,nc=-；-=，得C=3或2n当c=n时B=n可得b=2;当C=争寸，B = n，可得b= 1.答案：2或1课时跟踪检测A级一一1

19、2 + 4提速练1. （2018河北保定一模）已知cos a+ 3 = sinA. 1B. 1C. 3D.1解析：选B 由已知得；cos a-.31sin a= c sin(、选择题冗a n)则tan a的值为()3：.： 31a 2 cos a,整理得?+ 2 Sin a=cos a,即 sin a= cos a,故 tan a= 1.2. (2018 福州模拟).3cos 15 -4si15os 15 =()B.1A.。C. 1D. .2解析：选 D 3cos 15 - 4sin215 os 15 , 3cos 15 - 2sin 15 2sin 15 cos 15 . 3cos 15。一

20、 2sin 15 sin 30 =3cos 15 - sin 15 =2cos(15 +30 = 2cos 45 =頁.故选 D.3. （2018全国卷n ）在厶ABC中,cosC=，BC = 1，AC = 5，贝V AB =(25A. 4 .2C. 29解析：选A5，cos C = 2cos?C 1 = 2X由余弦3 = 32,.AB = 4,2.C.,107qB.,10To3 1010D.3.1010解析：选C 因为a是第三象限的角,tan a= 2,sin acosa =tan a，且2 2 .sin a+ cos a= 1 ,所以cos a=、賦=1 + tan an = sin oc

21、osn+ cos asinn=444寻 sin a=響，则 sin55红5Xd52_5 X_2523 1010 ，选C.定理，得 AB2= AC2+ BC2 2AC BC cos C= 52+ 12 2X 5X 1X4. （2018唐山模拟）已知a是第三象限的角，且tan a= 2sina+ （）5.（2018武汉调研）在厶ABC中，a,b,c分别是角A,B, C的对边，且2bcosC= 2a+ c,贝y B=()冗A：6冗B.;冗2nDE解析：选D因为2bcos C = 2a+ c,所以由正弦定理可得2sin Bcos C = 2sin A+ sin C =2sin(B+ C) + sin

22、C = 2sin Bcos C + 2cos Bsin C+ sin C,即 2cos Bsin C= sin C,又 sin Cm 0,12 n所以cos B= 2 又0Bn,所以B=,故选D.6.已知 3cos 27ta= 4sin 4 a ,贝U sin 2 a=(1c9解析：选D 由题意知3（cos2a sin2 a = 2 2(cos asin %)，由于 a 4, n,因而 cos1 a sin a,贝V 3(cos a+ sin a)= 2、J2，那么 9(1 + sin 2% = 8, sin 2 a= 9.7. （2019届高三昆明三中、玉溪一中联考）在厶ABC中，内角A,

23、B, C的对边分别为a,b, 6若厶ABC的面积为S,且2S= （a + b）2 c2,则tan C等于（）c.解析:选 C 因为 2S= (a+ b)2c2= a2 + b2 c2 + 2ab,由面积公式与余弦定理，得absinC = 2abcos C + 2ab ,即 sin2C 2cos C = 2 , 所以(sin C 2cos C) = 4 ,2 2sin C 4sin Ccos C + 4cos C2 2sin C+ cos C=4，所以2tan C 4tan C+ 44=4,解得 tan C= ?或 tan C= 0(舍2tan C + 1去）.& （2018洛阳模拟）在厶ABC

24、中,角A, B, C的对边分别是a, b, c,若a, b, c成等比数列，且a2= A ac bc，则 b2.3B. 3D. .3C?/3C. 3解析:选B 由a, b, c成等比数列得b2 = ac,则有a2= c2 + b2 bc,由余弦定理得 cos,2.22b +c a be 1 hn2A=云=2bc= 2，故A= 3.对于 b =23ac,由正弦定理， 得 sin B= sin Asin C = sin C,sin C sin C 2 ；3 丄 由正弦定理，得bsin B = sin2B =莎=3 .故选B.9.（2019届高三 广西三市联考）已知x （0,n,且cos 2x才=s

25、in2x,则tan x1A.1C. 3解析：选 A 由 cos 2x n sin2x 得 sin 2x= sin2x,.x(0, n,tan x= 2,/-tan xtan x 111 + tan x 310. （2018广东佛山二模）已知tann= 4(cos29B.2524D.257A.2516C.25f n 1 + ta n a 3解析：选B 由tan a+ 4 ,4 41 tan a解得tan a= 所以cos24-a =1 + cos 2 2 a 1 + sin 2 a 1=2 + sina:os a,又 sinoCOSsin acostan12+ sin a:os9a= 25.a2

26、22sin a+ cos a tan a+ 150sin 2( a Y = 3sin 2 3,则 m=(u（2018福州模拟）已知m=J a 3+ ；,若A.13C. 3解析：选 D 设 A = a+ 3+ Y B= a 3+ Y 则2( a+ Y = A+ B,2 3= A B,因为sin 2( a+ Y = 3sin 2 3 所以 sin(A+ B) = 3sin(A B), 即卩 sin Acos B + cos Asin B = 3(sinAcos B costan aAsin B)，即2cos Asin B=sin Acos B，所以tan A=2tan B，所以 m=tanB=2.

27、12. （2018南宁、柳州联考）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为b, c，若 be=1, b + 2ccos A= 0,则当角B取得最大值时， ABC的周长为（C. 3B . 2+ 2D. 3+ 2-2 | 2 2 b + c a解析：选A 由已知b + 2ccos A= 0,得b+ 2c 0,整理得2bc2b2= a2 c2 由余弦定理，得cos B =a2 + c2 b22aca + 3c 2 3acN=4ac 4ac2，当且仅当a= 3c时等号成立，此时角B取得最大值，将a = /3c代入2b2= a2 c2可得b= c.又bc= 1,所以b = c= 1, a = ）3.

28、故ABC的周长为2+ ,3.故选A.、填空题/5 n i13. （2018 全国卷 n ）已知 tan a-4 = 5，解得tan a=答案：314. （2018贵州模拟）如图，已知两座灯塔 A和B与海洋观察站 C的距离分别为a海里和2a海里，灯塔 A在观察站C的北偏东20灯塔B酉在观察站C的南偏东40则灯塔A和B的距离为 海里.j解析：依题意知/ACB = 180 20 40 = 120，在AABC中，由余弦川定理知AB= pAC2+ BC2 2AC BCcos 120 =7a2=/7a.即灯塔A与灯塔B的距离为羽a海里.答案：7a15. （2018贵州模拟）已知 ABC中，角A, B, C

29、所对的边分别为 a, b, c,且满足a =4, asin B = 3bcos 人，若厶 ABC 的面积 S= 4羽，贝U b+ c =.解析：由正弦定理，得 sin Asin B= 3s in Bcos A,又 sin Bm 0,.tan A= 3,A=n3.2 2 2 216= b2 + c2 bc,.c2+ b2= 32,.b由 S=23= 4 3 ,得bc= 16，由余弦定理得,+ c= 8.答案：816.（2018成都模拟）如图，在直角梯形 ABDE中，已知/ ABD = /EDB = 90 C 是 BD 上一点，AB= 3 3, / ACB = 15 / ECD = 60 n/ E

30、AC = 45则线段DE的长度为 .=2v,因为/POQ = 90 ZQOR = 30 所以/POR= 120 P+ R= 60 所以 R= 60-P.在DE = CEsin 60 所以_ , AC CE 小一 ACsin 45 。亠+宀 一/AEC 中，s =sCW?CE= sin30。 在直角三角形 CED 中,返X亚3 aDE = CEsin 60 =60 : ABsin 30X 耳= xl = 6sin 15 =16 . 2.2 F答案：61 .已知 sin 0+ cos 0= 2sinB级一一难度小题强化练a, sin 2 0= 2sin2 3 则（：A . cos 3= 2cos

31、a）2 2B. cos 3= 2cos aC. cos 2 3= 2cos 2 aD . cos 2 3= 2cos 2 a解析：选C 由同角三角函数的基本关系可得sin20+ cos20= 1,所以（sin 0+ cos 02= 1+ 2sin0cos 0= 1 + sin 2 0.由已知可得（2sin ”2= 1 + 2sin2 3 即 4sin2a= 1 + 2sin23-由二倍角公式可得1 cos 2 a1 cos 2 34x 2= 1 + 2X 2，整理得 cos 23= 2cos 2a故选 C.在不等边三角形 ABC中，角A , B , C所对的边分别为a , b , c ,其中a

32、为最大边, 如果sin2（B + C）sin2B+ sin2C ,则角A的取值范围为（）2.B.n，nn nC. 6，3D.& 解析：选D 由题意得sin2Asin2B + sin2C,由正弦定理得 a20.b2 + c2 a2nn则cos A =0.因为0A n所以0A ,即角A的取值范围为n，n .故选d.3. （2018唐山统考）在O点测量到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时该物体位于P点，一分钟后，其位置在 Q点，且/ POQ = 90 再过两分钟后，该物体位于R点，且/QOR = 30 贝U tan/ OPQ 的值为（）C.|解析：选B如图，设物体的运动速度为v，则PQ = v, QRqr sinRtDPQ 中，OQ = vsin P.在OQR 中，由正弦定理得 OQ = 4v sin R=4v