胡不归问题模型

1、胡不归问题模型及其应用原题重现：（来源：高邮市赞化学校独立练习（6 ）如图1所示,抛物线y=x0 - 2x - 3与x轴交于a、b两点，过b的直线交抛物线于e , fitanzeb a=4/3 ,有一只蚂蚁从a出发，先以1单位/s的速度爬到爱段be上的点d处，再以1.25单位/s的 速度沿着de爬到e点处觅食，则将蚊从a到e的最短时间是 s .要想解决这个所谓难题，不得不提起一起著名的、大名鼎晶的、古老的“胡不归”问题.一、模型典故（“胡不归问题），下文来源于网络有一则古老的历史故事：说的是一个身在他乡的小伙子，得知父亲病危的消息后便曰夜赶路回 家.然而，当他气喘吁吁地来到父亲的面前时，老人刚

2、刚咽气了.人们告诉他，在弥留之际，老 人在不断喃喃地叨念：胡不归？胡不归？”早期的科学家曾为这则古老传说中的小伙子设想了一条路线：如图11所示，a是出发地，b是 目的地；ac是一条驿道，而驿道靠目的地的一侧全是砂土地带.为了急切回家，小伙子选择了 直线路程ab.但是，他忽略了在骚道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素.如果他能选择一 条合适的路线（尽管这条路线长一些，但是速度却可以加快），是可以提前抵达家门的.b图1那么，他应该选择那条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上行走的速度值，可以在a c上先定一点d，小伙子从a走到d ,然后从d折往b ,可望最早到达目的地b.用现代的数学语言表达

3、出来就是：已知在驿道和砂地上行走的速度分别为vi和v2 ,在ac上找一定点d ,使从a至d、再从d至b 的行走时间最短.于是，问题在于如何去找出d点.这个古老的“胡不归”问题风靡了一千多年，一直到十七世纪 中叶，才由法国著名科学家费尔马播开了它的面纱.二.模型解决第一步（设出时间t,将数学问题字母化力设总时间为t,则白 十，这里匕 匕， 匕匕要求的就是t的最小值，这是一个系数不为1的最值问题，而且有两个系数均不为1;第二步（提取“大系数”，化为只有一个系数不为】的最值问题）:一般情况下，遇 到两个系数不为1的最值问题，首先要将其转化为单个系数不为1的最值问麴，这个转化 还是比较好实现的，只需提

4、取一个系数出来即可j问题是，该提取哪个系数比较好呢？一般情况下，提取数值比较大的那个系数：堂本 例来说，由乂匕知t的表达式中两个系数因而应该提取l出来，即1.匕匕匕二（3血+ 08）,注意这里匕与匕均为常数，这样要求t的最小值，只要求匕*1匕nd+qb的最小值即可，从而问题被转化为单个系数不为1的最值问题； 匕第三步（构造三角的数，化为系数均为1的常理最值问题）：如何求解与dd+qb的最小值问题呢？还是要想办法处理不为1的系数，将系数都化为1.但是问题来了，此时明显不能再用提取系数的办法了！那咋办？数学是门神奇的科学，只有你想不到，没有她做不到的！联想到初中阶段学到的锐角三角函数，可以构造一个

5、直角三角形，将不为1的系数无 形中化为1,这也是解决所谓“胡不归”问题的核心与难点所在，具体操作如下：由? vi联想到三角函数值，如图1-2所示，过定点a在直线ac的下方构造锐角ncae=a 使其满足 sina = l ；v再过动点d作dgjl ae于点g,则瞧尼=三=2,从而有dg=v 4d;要求2.4d+db的最小值问题，就被顺利浒化为qg + &5的最小值问题，变成了一个系数均为1的常知最值问题j需要特别提醒大家的是，这里的关键角。是依托于哪些考虑作出来的呢？注意到最原始的胡不归”问题是一个两定一动型最值问题，只不过系数不为1 了而已； 如图1-2，点a和点b是两个定点，点d是一个动点，

6、且定点a与动点d在同一条定直线ac上; 上面的角a其实就是依托于这里的定点a及定直线ac做出的，即过定点a作一条射线与定直线 ac所交锐角为角a即可！说到底就是抓不变量的解题策略，依托于定点a及定直线ac作 角a ,便其满足sina =v2/v1 ,即可顺利将所谓胡不归难题“转化为系数均为1的常规 限值问题！第四步（利用“垂线段最短庠理”，解决系数均为1的常规本值问题）：注意到构造 的ae也是一条定射线，要求dg + 05的最小值问题，r女就是在两定直线ac、ae 分别找点d、g,且dg1ae,使dg + d5最小.先利用“两点之间线段最短”易知og + d5 2 5g ,当且仅当b、d、g三

7、点共线时 取等号3如图13所示，再利用垂线段最短”只需过点b作bg1ae于点g,此时bg最小， 则bg与ac的交点即为所要寻找的点d 3因而 t=_l(卫jd + d8)=；(dg+d8) 2 上8g = ； yb sin/bdg,其中匕、 匕k匕匕 匕ab及ba g均为常值，故所求时间的最小值为 sin/8/g .匕至此，“胡不归”模型得到完美解决！如果奄奄一息的父亲能够坚持到：yb-sinna4g这个时间，那么就能够见他的儿子最后一面了！三、原题解决回到我们最初的考题上，设蚂蚁从点a到点e所需的时间为t,如图卜4,则t= + =jd + 要求的就是t的最小值，即.40 +些的最小值； 11

8、 2555图1-4图1-6第一步（构三角函数，化系数为1）：由系数gvi联想到三角函数值，如图1-5所示, 过定直线eb上的定点e在直线eb的上方构造锐角/bef=a,使其满足sing = j再过动点d作dg1ef于点g,则sina= = 2-从而有dg=z）e;-5 de5这样t=jd + =aih-dg,转化为了常规的系数均为1的最值问题,第二步（寻题目特殊性，重邦调整图形）：但先不要忙于计亶，我们还要敏锐地意识44到此题有个角很特殊，那就是tan/eba=2 ,由此易知sin/eba二一，因而刚刚我们所作 35的nbeqneba,从而发现此题的特殊性，即ef/x轴，接f来我们把图形谪整成

9、图第三步（利用“垂线段最短原理”，解决系数均为1的常提8值问颗）：注意到构造 的ef也是一条定射线，要求ad+dg的嶷小值问题，其实就是在两定直线eb、ef上分别找 点 d、g,且 dg1ef,使 ad+dg 最小.先利用“两点之间线段最短“易知dd+qgn jg,当且仅当a、d、g三点共线时 取等号；如图1-7所示，再利用“垂线段最短”只需过点a作ag_1_ef于点g,此时ag最小, 则ag与ef的交点即为所要寻找的点dj4 de因而t=jd + =addgag,故所求时间t的最小值即为ag的长，即点e的纵坐 5标的值，下面求出点e的坐标即可3图1-7第四步（求定点e的坐标）：这里提供两种方

10、法求点e的坐标；方法一（求交点坐标）：设直线eb与y轴交于点.m,如图18所示，由颗易知点b4的坐标为（3, 0），在rtzkvob中由tan/eba;一知0m=4,则点m坐标为（0, 4）j3由b （3, 0）及 （0, 4）可得直线eb的解析式为尸-gx+4;4y = 一一x + 4,4联立直线eb与抛物线的解析式得：3即尸2r3 =x + 4 ,即3y = x -2尸33a2厂21=0,解之得 = -g,毛=3 （舍去）,故点e的坐标为（-g ,方法二（设坐标法）：设点e的坐标为（t, r-2r-3）,过点,e作eh，x轴于点h,如图1-9所示，在rt2kehb中由tan/eba=可得型

11、,即（x1 + 1）=,即 3 bh 3 3t 3（t + 1） = -解得，=，故点e的坐标为（， j3339因此，所求时间t=,）+些的最小值为2.59此题搞定，所谱的“难题”看来也不是太难啊，玩的都是“套路”！图1-8图19解题后反思：平时套路”积累多了，真的遇到了所谓的套路题，同学们就能立于不败之 地了！这题也给我们的教学一定的启发性，即应该申视模型教学这一块！有人说成也模型， 败也模型，但我想说如果真的不讲模型或者说不先经历模型过程，真的想跳出模型达到更高 境界也是痴心妄想！初中阶段学生还是应该重视模型的积累与应用过程，可以这样说，每一节 新课，每一道题目可能都能称之为一个模型！其实

12、名称都是回事，或者说叫某某模型也无所 谓,之所以起名称，更主要的还是希望学生能做到顾名思义”之效,最终达到熟能生巧之目 的！【来龙】，有一则历史故事说的是，一个身在他乡的小伙子得知父亲病危的消息后便日夜赶路回 家。然而，当他气嗤吁吁也来到父亲面前时，老人刚脚气了。人们告诉他，在弥留之际, 老人还在不断喃喃的叨念：“胡不归？胡不归？ “早期的科学家曾为这则古老的传说中的小伙子设想了一条路线（见图1）。4是出发地, 3是目的地，4c是一条馨道，而骚道复目的地的一侧全是砂土地带。为了急切回家，小伙 子选择了直线路程但是他忽略了在骚道上行走要比在砂土地带行走快的这一因素。如果他能选捺一条合适 的路线（

13、尽管这条路名张一些，但是速度可以加快），是可以提前抵达家门的。那么这应该是哪条路线呢？显然，根据两种路面的状况和在其上面行走的速度值，可以在4c上选定一点、小伙子从才走到5然后从。折往凡可望最早到达5。.，用现代的科学语言表达就是：“已知在心道和砂地上行走的速度分别为力和12在 .4c上求一个定点d,使得hfb的行走时间最短.”于是问题在于如何去找出。点。【建模】“起点/和点8固定，在过乂点的定直名让取一点。使得l曳十竺的值最小,vi 匕可以转化为求d.4-巴（0上型的最值问题#【解模】具体例子：如图，一条笔直的公路/穿过草原，公路边有一消防站乂，距高公路，千米 的地方有一居民点、5, & b

14、的直线离是13千米.一天，居民点b看火，消防员受命欲前 往救火，若消防车在公路上的最快速度是80千米/小时，而在草地上的最快速度是40千米/ 小时，财肖防车在出发后最快经过_，n寸可到达居民点3.（左情提留：消防车可从公路 的任苣位图进入草地行驶.），解折：设消防车从公路上点d进入草地行驶o问题是榭回产挈+=! （2。 +） 8040 40 2的最小值，问题立即化为求: a4 + o3的最小值。，接下来就是“套路”：构造一条线段等于g da ,并将新线段与蚱殳db “接起来”，在 初中数学中我们学习过三个“一半”定理：后直角三角形中30锐角所对直角边等于斜边 一半（与心0。： ） j三角形中位

15、线平行篁三边且兼王第三边长的一半；直角三角形斜 边上的中线等于斜边的一半它们是解决线段傍分去系的利器。我们根据$沅30 ,、来解 决任务：在自线7的下方作/6.1人30 ,过点d作del4m于点m,则d.3： ）/，再往下来就太容易了。，问题转为求折线段db+d”的最小值。你会解决了吗？直接上图算了。由“垂名珏殳最矩” 的基本数学事实出发，可以过点3作即1儿“于点、尸，交4c于点。，则点。即为所求，此时、2由对贮角形显然有nc8,=30 ,迸而c5,可解,求出8口3。为长后，就能求 出此题的最终答案了。“/cbd=30。，cd=-t=73【归纳】“胡不归i礴模型的解题方案：/w1：将所求线段和

16、1专换为。)(0-1)的形式(以上题为例)；w2：在直线/的异于4的一侧作/q,使其正弦值为二；， m&g：过点b向na的另一边上引垂线段，其与直线/的交点即为所求。一s即4：剩下的就是计算了，可以借助三角函数、相优机勾股定理等知识完成。【用模】一重点感受一下中考里面是如何考查“胡不归问题”的.“例1、如图，在a4ce中，g4=ce, zc4e=30 o。经过息c,且图的亶径/在线段ae上.，(1)试说明ce是。的切线；，(2)若a4ch中延边上的高为h,试用合力的代数式表示。的直径.目(3)设点。是线段4c上任意一点(不含端点)，连接8,当6。的最小值为6时,求。的直径四的长. ca-ce,

17、 zc4e=3o% /.z=zg4=3os /c0e=2乙1=60,二/。咨叫ce是。的切线j （2）过点c作chtab于办连接oc,如图2, p由题可得纺女.在&qhc卬，ch=ocmncoh, /=oc7m60=返, 2.3%凡.z4b=2gi叵n ”73 33则4。尸二nc。尸乙4。（180。-60）=608.一 22：oa:of=oc, ,-of、 c。尸是等边三角形，/fm。二oc二尸c, ，四边形4oc尸是菱形，根据对称性可得。尸二do.，过悬d作dh_loc于h, 3 0a;oc,：./oca:zoac二30。,；.dh=dcsin乙dch=dc3in30ddc, 2.lcfod=dh+fd. 2*魏两点之i雕戋段最短可得当尸