东油数学建模

1、Northeast Petroleum UniversityNortheast Petroleum University数学模型课程设计数学模型课程设计题目：数学模型课程设计题目：数学模型课程设计姓名：沈小伟姓名：沈小伟学号：学号：141001140228141001140228班级班级: :信计信计14-214-2指导教师：刘今子指导教师：刘今子时间：时间：20162016年年6 6月月2727日日目录目录n 基本理论基本理论n 常用方法常用方法n 典型实例典型实例n 数学模型案例数学模型案例基本理论基本理论聚类分析的概念聚类分析的概念 聚类分析指将物理或抽象对象的集合分组成由类似的对象组成

2、的多个类的分析过程。聚类分析的目标就是在相似的基础上收集数据来分类。聚类分析的原理聚类分析的原理 聚类分析是将样品或变量按照它们在性质上的亲疏程度进行分类的多元统计分析方法。聚类分析时，用来描述样品或变量的亲疏程度通常有来两个途径，一是把每个样品或变量看成是多维空间上的一个点，在多维坐标中，定一点与点，类和类之间的距离，用点与点间距离来描述样品或变量之间的亲疏程度：另一个是计算样品或变量的相似系数，用相似系数来描述样品或变量之间的亲属程度聚类分析的步骤聚类分析的步骤1. 数据预处理，2. 为衡量数据点间的相似度定义一个距离函数，3. 聚类或分组，4. 评估输出基本理论基本理论回归分析的概念回归

3、分析的概念 回归分析（regression analysis)是确定两种或两种以上变数间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法。回归分析的原理回归分析的原理 (1)确定变量之间是否存在相关关系，若存在，则找出数学表达式；(1)根据一个或几个变量的值，预测或控制另一个或几个变量的值，且要估计这种控制或预测可以达到何种精确度。回归分析的步骤回归分析的步骤1.根据自变量与因变量的现有数据以及关系，初步设定回归方程；2.求出合理的回归系数；3.进行相关性检验，确定相关系数；4.在符合相关性要求后，即可根据已得的回归方程与具体条件相结合，来确定事物的未来状况，并计算预测值的置信区间；常用方法常用方法方法方

4、法1 1：谱系聚类法：谱系聚类法方法方法2 2：多元线性回归：多元线性回归常用方法常用方法删除方法方法1 1：谱系聚类法：谱系聚类法 谱系聚类可以用两种方式来测量：1、采用描述个体对（变量对）之间的接近程度的指标，例如“距离”，“距离”越小的个体（变量）越具有相似性。 2、采用表示相似程度的指标，例如“相关系数”，“相关系数”越大的个体（变量）越具有相似性。 计算聚类距离指标D(distance)的方法非常多：按照数据的不同性质，可选用不同的距离指标。欧氏距离、欧氏距离的平方、曼哈顿距离、切比雪夫距离、卡方距离等； 常用方法常用方法删除方法方法2 2：多元线性回归：多元线性回归 多元线性回归模

5、型，（multivariable linear regression model ）在实际经济问题中，一个变量往往受到多个变量的影响。例如，家庭消费支出，除了受家庭可支配收入的影响外，还受诸如家庭所有的财富、物价水平、金融机构存款利息等多种因素的影响。多元线性回归模型的一般形式为： Yi=0+1X1i+2X2i+kXki+i i=1,2,n 其中 k为解释变量的数目，j（j=1,2,k)称为回归系数。上式也被称为总体回归函数的随机表达式。它的非随机表达式为E(YX1i,X2i,Xki,)=0+1X1i+2X2i+kXkij也被称为偏回归系数（partial regression coeffic

6、ient)典型实例典型实例实例实例11聚类分析聚类分析下面是聚类分析的一个简单例子。有五个样品，每个只测量了一个指标，分别为1,2,6,8,11,我们用最短距离法将它们分类。(1)计算五个样品两两间的距离，得初始类间的距离矩阵D(0)，(2)由D(0)知类间最小距离为1，于是将G1和G2合并成G6，并计算G6和其他类之间的距离，的新的距离阵D(1)典型实例典型实例删除(3)由D(1)知，类间最小距离为2，合并G3和G4为G7，计算G7与其他类间的距离得矩阵D(2)，典型实例典型实例(5)最后将 G6和 G8合并为G9 ，这时五个样品聚为一类G9。(4)由D(2)知，类间的最小距离为3，将 G5

7、和 G7合并为G8 ，得新的距离矩阵D(3) 典型实例典型实例实例实例22回归分析回归分析 中国统计年鉴把财政支出划分为31个组成部分。本文只选取2005年我国31个省、市、自治区的地区生产总值和13个重要支出项，分别是：x1为基本建设支出，x2为企业挖潜改造资金，x3为科技三项费用，x4为农业支出，x5为农林水利气象等部门事业费，x6为工业交通部门事业费，x7为流动部门事业费，x8为教育事业费，x9为科学事业费，x10为卫生经费，x11为行政管理费，x12为公检法司支出，x13为城市维护费。y为地区生产总值。（数据单位为：万元） 将13个重要支出项设为自变量，用x1,x2,.,xp(p=1,

8、2,.,13)表示；将地区生产总值y设为因变量。采用最小二乘法拟合一个多元线性回归模型，采用数学软件SPSS计算出回归系数，运行结果如下表： 典型实例典型实例典型实例典型实例因而 对13个自变量的线性回归方程为: 由于某些变量不显著，因此本文采取后退法简单的剔除多余变量，由于变量间的交互作用，不能一次性剔除所有不显著的变量，所以进行依次剔除，首先剔除P值最大的一个变量，然后再进回归系数的显著性检验，如果有不显著的变量，那么再进行剔除，依次下去，知道保留的变量都对y有显著性影响为止。 最终保留的变量为x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8,x9,x10,x11,x12,x13。将剩余变量

9、与y做回归分析，SPSS运行结果如下表典型实例典型实例由表建立新的多元线性回归模型:(3.2)典型实例典型实例 经过以上算法步骤，新建立的模型（3.2）通过了显著性检验，因此。模型（3.2）为最终确定的模型。数学模型案例数学模型案例删除1 1、问题重述、问题重述 随着经济的发展，近年来，人们对出行的要求不断提高，城市出租车以其方便、快捷、舒适和私密性的特点成为越来越多人的出行选择。但是，国内各大城市交通问题日趋严重，“打车难”也是人们关注的一个社会热点问题。数据显示，包括上海、杭州等众多大城市，出租车非高峰期的空驶率始终在30%上下徘徊，而高峰期却打不到车。这与众多市民反映的打车难背后所隐藏的

10、强烈需求看似形成了一个矛盾。究其原因，最主要的莫过于司机与乘客需求信息不对称，缺乏及时沟通交流的平台。 随着“互联网+”时代的到来，有多家公司依托移动互联网建立了打车软件服务平台，实现了乘客与出租车司机之间的信息互通，同时推出了多种出租车的补贴方案，吸引了越来越多的司机和乘客使用打车软件。然而，打车软件同时也导致出租车行业乱象丛生，存在马路扬招成功率降低、乘客怕司机接到大单拒载、司机分心忙于抢单影响行车安全等问题。 问题：请你建立合理的指标，并分析不同时空出租车资源的“供求匹配”程度数学模型案例数学模型案例2 2、问题分析、问题分析 为了建立合理的指标，分析不同时空出租车资源的供求匹配程度，首

11、先从城市居民出行对出租车的需求量入手，分析与需求量有关的主要指标，如城市居民出行量。为分析城市居民出行量与城市经济指标的相关性，先将这些指标进行聚类分析，继而得出每类最具代表性的经济指标，再将最具代表性的经济指标与居民出行总量进行回归分析，得到多元线性回归模型，从而预测居民的出行总量。通过查阅文献可以确定居民出行选择出租车作为出行方式的比例从而，计算得出城市的出租车运输量的需求量。然后根据供需平衡法预测出城市出租车需求量。将城市实际出租车数量与城市出租车需求数量作比，得到衡量出租车资源的供求匹配程度的指标即供求匹配率。对未来城市的出租需求量进行灰色关联预测，得到未来城市的出租需求量，通过计算不

12、同城市的出租车需求量，进行不同时空的出租车资源供求匹配的分析。 数学模型案例数学模型案例3 3、符号说明、符号说明P出租车供求匹配率M市民出行需要的出租车辆数,辆N城市实际运行的出租车辆数，辆Y市民日均出行次数，次/日W城市总人口数量，人市民选择打车出行的比例s出租车单车日均载客次数，次/车日出租车单车日均每次载客人数，人/车次出租车满载率vi城市的第i个经济指标RPearson相关系数w打车软件每单对司机的补贴钱数，元x每辆出租车每天接单的数量，单y 出租车每天的满载率数学模型案例数学模型案例删除4 4、建立评价出租车资源供求匹配程度的指标、建立评价出租车资源供求匹配程度的指标 为评价出租车

13、资源的“供求匹配”程度，引入出租车资源的供求匹配率这一指标，指标的定义为城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之比，即 其中，引入P表示出租车资源的供求匹配率，M表示市民出行需要的出租车辆数，N表示城市中实际运行的出租车辆数。市民出行需要的出租车辆M的意义是指这些出租车辆能够恰好满足市民打车出行的需求，即城市出租车资源供求平衡时的车辆数。 供求匹配率P反映了城市中实际运行的出租车辆数与市民出行需要的出租车辆数之间的差异。数学模型案例数学模型案例4.1、建立市民出行需要的出租车辆数M的预测模型 市民出行需要的出租车辆数M与市民人均日出行次数、城市总人口数量、市民出行选择乘坐出租车的

14、比例有关，也与每辆出租车日均载客次数、每单载客人数和车辆满载率有关，具体关系式为： 其中，M表示市民出行需要的出租车辆数（辆），Y表示市民人均日出行次数（单位：次/人日），W为城市总人口数量（人），表示市民选择打车出行的比例，s表示出租车单车日均载客次数（单位：次/车日），表示出租车单车日均每次载客人数（人/车次），为出租车满载率。 根据参考文献，选取出租车单车日均载客次数s=35（次/车日），出租车单车日均每次载客人数=2.0（人/车次），出租车满载率=65%，居民选择打车出行的比例为6%。数学模型案例数学模型案例4.2、建立市民人均日出行次数与城市经济指标关联的量化模型 市民人均日出行次数

15、是居民出行强度的最直接反映，其与城市人口总数量的乘积即为市民的出行总量，而市民人均日出行次数与城市经济指标有着极大联系。通常情况下，市民人均日出行次数的多少与出行目的、城市布局、交通设施、城市环境质量等因素有关。对于某一城市来说，影响居民人均出行次数的因素又间接地反映在该城市的相关经济指标上。因此，多种因素与市民人均日出行次数的内在关联可以转化为多种经济指标与市民人均日出行次数的内在关联。 STEP1：各经济指标的聚类分析； STEP2：典型指标的选取； STEP3：回归模型的建立； STEP4：模型的检验。数学模型案例数学模型案例STEP1： 选取北京、上海、天津、广州、深圳、成都、南京、杭

16、州、武汉、长春、珠海、大连、福州、苏州、常州十五个大中城市为研究对象，分析各城市人均日出行次数和十二个经济指标之间的关联。以12个经济指标为聚类单位，指标与指标间的距离选用欧式距离，采用组间平均联接法，进行聚类分析。利用SPSS19.0软件进行聚类分析，谱系图如下所示数学模型案例数学模型案例删除 根据聚类分析的谱系图可以看出，这十二个经济指标可分为三大类：第一大类包括人均GDP（v4）；第二大类包括在岗职工平均工资（v10）和市区居民人均可支配收入（v11）；第三大类包括市区面积（v1）、市区总人口数（v2）、第三产业值（v3）、工业产品销售收入（v5）、社会消费品零售总额（v6）、房地产开发

17、投资（v7）、城乡居民储蓄存款（v8）、居民消费价格总指数（v9）、农民人均纯收入（v12）。数学模型案例数学模型案例删除STEP2： 将十二个指标进行聚类分析得到三类指标后，出来第一类指标外，其他两类都包含多个指标，为了选取各类指标中的典型指标，分别计算类中每一变量与其余变量的Pearson相关系数，继而求得类中每一变量与其余变量的Pearson相关系数的平方和的平均值，最后把该值最大的变量作为典型指标。Pearson相关系数的定义为 相关系数R的数值范围是介于-1与+1之间: 如果|R|0，表明两个变量没有线性相关关系。 如果|R|1，则表示两个变量完全直线相关。线性相关的方向通过相关系数

18、的符号来表示，“+”号表示正相关，“-”表示负相关。 数学模型案例数学模型案例删除 式中， 表示变量 与其余变量 的Pearson相关系数R的平方和的平均值，m为变量的个数。 计算得到第二类和第三类指标中的各变量的 ，得二类指标中v10对应的值最大，第三类指标v3中对应的值最大。所以，选择v10、v3为典型数据。而第一类指标只有一个指标，故可选取v4、v10、 v3分别作为第一、二、三类指标的典型指标。数学模型案例数学模型案例聚类分析得到的典型变量，利用表2中的数据，建立2001年人均日出行次数Y与第三产业值（v3）、人均GDP（v4）、在岗+职工平均工资（v10）的多元线性回归方程。多元线性

19、回归模型为STEP3： 根据聚类分析得到的典型变量，利用表2中的数据，建立2001年人均日出行次数Y与第三产业值（v3）、人均GDP（v4）、在岗+职工平均工资（v10）的多元线性回归方程。 多元线性回归模型为 数学模型案例数学模型案例删除利用SPSS19.0软件计算得 R2=0.678表明因变量Y（人均出行次数）的67.8%可由回归方程确定，回归方程视为可用的。数学模型案例数学模型案例删除STEP4：模型检验： 由图可以看出所得到的2001年人均日出行次数的回归方程具有较好的回归效果。由于市民每天出行次数的多少与出行目的、城市布局、生活方式、工作方式、家庭经济状况、交通设施、通讯设施、城市环境质量等因素有关，随着社会经济的迅猛发展，人民生活水平也日渐提高，私家车数量大幅增加，城市的交通更加发达，人们之间的联系加强，越来越多的人选择逛街、旅游等休闲方式，综合考虑社会经济的发展带来的影响，修正2001年人均日出行次数的回归方程，得到2013年人均日出行次数的回归方程：数学模型案例数学模型案例删除根据从参考文献各城市2013年年鉴上收集到的数据，利用2013年人均日出行次数的上述回归方程，计算得到相应城市的人均日出行次数，结果如表所示。利用表中的数据计算八座城市的出租车资源的供求匹配率，结果如下表所示。数学模型案例数学模型案例删