2021年湖南省湘西州高考数学二模试卷（文科）含答案解析

1、2021年湖南省湘西州高考数学二模试卷文科一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1假设集合A=3，1，0，2，4，集合B=x|xlog23，那么ARB等于A2，4B3，1C3，1，0D0，2，42复数z=2i31+2i的实部与虚部之和为A3B11C6D43如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50，50，60，60，70，70，80，80，9090，100，那么图中x的值等于A0.754B0.048C0.018D0.0124函数fx=sinx0的最小正周期为，那么f等于A BC D5命

2、题p：k0，2，直线y=kx与双曲线=1有交点，那么以下表述正确的选项是Ap是假命题，其否认是：k2，+，直线y=kx与双曲线=1有交点Bp是真命题，其否认是：k0，2，直线y=kx与双曲线=1无交点Cp是假命题，其否认是：k0，2，直线y=kx与双曲线=1无交点Dp是真命题，其否认是：k2，+，直线y=kx与双曲线=1无交点6如图是一个正方体被一个平面截去一局部后得到的几何体的三视图，那么该几何体的体积是原正方体的体积的A B C D7如图是一个程序框图，那么输出s的值是A5B7C9D118函数y=x21e|x|的图象大致是A B C D9假设x，那么fx=的最大值为A1B2C3D410向量

3、、满足|=2，|=3，且与+夹角的余弦值为，那么可以是A2B3C2D411椭圆+=1ab0的左右焦点分别为F1c，0、F2c，0，过点F2且斜率为的直线l交直线2bx+ay=0于M，假设M在以线段F1F2为直径的圆上，那么椭圆的离心率为A B C D12假设函数fx=lnx+xb2bR在区间，2上存在单调递增区间，那么实数b的取值范围是A，B，C，D，+二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13如果实数x，y满足条件，那么z=的最大值为14在ABC中，A=，b2sinC=sinB，那么ABC的面积为15设函数fx=，那么不等式f2x2fx的解集为16在三棱锥A1ABC中，AA1底面AB

4、C，BCA1B，AA1=AC=2，那么该三棱锥的外接球的外表积为三、解答题本大题共5小题，共70分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=3，其中前n项和为Sn等比数列bn的各项均为正数，b1=1，且b2+S3=21，b3=S21求an与Bn2设数列an的前n项和为Tn，求使不等式4TnSn成立的最小正整数n的值18为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取14件和15件，测量产品中的微量元素x，y的含量单位：毫克当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品甲厂该天生产的产品共有98件，如表是乙厂的5件产品的测量

5、数据：编号12345x169178166175180y75807770811求乙厂该天生产的产品数量；2用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；3从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率19在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点1求证：EF平面PAB；2求证：EF平面PBC20平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为1求圆O的方程；2假设直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当DE长最小时，求直线l的方程；3设M，P是圆O上任意两点，

6、点M关于x轴的对称点为N，假设直线MP、NP分别交于x轴于点m，0和n，0，问mn是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由21y=4x3+3tx26t2x+t1，xR，tR1当x为常数，t在区间变化时，求y的最小值为x；2证明：对任意的t0，+，总存在x00，1，使得y=0请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如下图，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分APC，分别交AC、BC于点M、N求证：1CMN为等腰三角形；2PBCM=PCBN选修4-4：坐标系与参数方程23在极坐标系中，三点O0

7、，0，A2，B2，1求经过O，A，B的圆C1的极坐标方程；2以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆C2的参数方程为是参数，假设圆C1与圆C2外切，求实数a的值选修4-5：不等式选讲24fx=|x+1|+|x1|，不等式fx4解集为M1求M；2假设不等式fx+a0有解，求a的取值范围2021年湖南省湘西州高考数学二模试卷文科参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。1假设集合A=3，1，0，2，4，集合B=x|xlog23，那么ARB等于A2，4B3，1C3，1，0D0，2，4【考点】交、并、补

8、集的混合运算【分析】先求出RB，再根据1log232，即可求出ARB【解答】解：B=x|xlog23，RBlog231log232，A=3，1，0，2，4，ARB=3，1，0，应选：C2复数z=2i31+2i的实部与虚部之和为A3B11C6D4【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】先利用复数代数形式的乘除运算法那么求出z=74i，由此能求出复数z=2i31+2i的实部与虚部之和【解答】解：z=2i31+2i=2i3+4i26i=74i，复数z=2i31+2i的实部与虚部之和为：74=11故答案为：113如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：40，50，50，

9、60，60，70，70，80，80，9090，100，那么图中x的值等于A0.754B0.048C0.018D0.012【考点】频率分布直方图【分析】根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；【解答】解：由图得300.006+100.01+100.054+10x=1，解得x=0.018应选C4函数fx=sinx0的最小正周期为，那么f等于A BC D【考点】三角函数的周期性及其求法【分析】由利用周期公式可求的值，进而利用诱导公式，特殊角的三角函数值即可计算得解【解答】解：由题意可得：=2，f=sin22=sin=应选：A5命题p：k0，2，直线y=kx与双曲线=1

10、有交点，那么以下表述正确的选项是Ap是假命题，其否认是：k2，+，直线y=kx与双曲线=1有交点Bp是真命题，其否认是：k0，2，直线y=kx与双曲线=1无交点Cp是假命题，其否认是：k0，2，直线y=kx与双曲线=1无交点Dp是真命题，其否认是：k2，+，直线y=kx与双曲线=1无交点【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程和斜率，由题意可得k或k可得命题P为真命题，运用命题的否认形式，即可得到结论【解答】解：假设直线y=kx与双曲线=1有交点，由双曲线的渐近线方程y=x，且双曲线的焦点在y轴上，可得k或k故k0，2，直线y=kx与双曲线=1有交点为真命题；否认是：k0，2，直

11、线y=kx与双曲线=1无交点应选：B6如图是一个正方体被一个平面截去一局部后得到的几何体的三视图，那么该几何体的体积是原正方体的体积的A B C D【考点】由三视图求面积、体积【分析】易知该几何体是底面腰长为2的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，从而解得【解答】解：由图可知，该几何体是底面腰长为2的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，其体积是原正方体的，应选C7如图是一个程序框图，那么输出s的值是A5B7C9D11【考点】程序框图【分析】根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出输出的s值【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；s=38，n=1，s=19+12=18，n=1+2=3，sn不成立

12、；s=9+32=10，n=3+2=5，sn不成立；s=5+52=8，n=5+2=7，sn不成立；s=4+72=9，n=7+2=9，sn成立，退出循环，输出s的值为9应选：C8函数y=x21e|x|的图象大致是A B C D【考点】函数的图象【分析】根据函数的函数奇偶性，值域即可判断【解答】解：因为fx=x21e|x|=fx，所以fx为偶函数，所以图象关于y轴对称，故排除B，当x+时，y+，故排除A当x1时，y0，故排除D应选：C9假设x，那么fx=的最大值为A1B2C3D4【考点】三角函数的最值【分析】由条件求得cotx的范围，再利用两角和差的三角公式化简fx为 +cotx，从而求得它的最大值

13、【解答】解：由x，可得cotxcot，1再根据cot=2，故cotx2，1fx=+=+cotx，故当x=时，fx取得最大值为1，应选：A10向量、满足|=2，|=3，且与+夹角的余弦值为，那么可以是A2B3C2D4【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的数量积公式，表示出，方程解之【解答】解：由向量、满足|=2，|=3，且与+夹角的余弦值为，那么+=|+|=，即，所以=2或；故可以是2或者；应选：A11椭圆+=1ab0的左右焦点分别为F1c，0、F2c，0，过点F2且斜率为的直线l交直线2bx+ay=0于M，假设M在以线段F1F2为直径的圆上，那么椭圆的离心率为A B C D【考点】

14、椭圆的简单性质【分析】由得出过点F2且斜率为的直线l的方程，与2bx+ay=0联立即可解得交点M的坐标，代入以线段F1F2为直径的圆的方程，即可得出离心率e【解答】解：设过点F2且斜率为的直线l的方程为y=xc，与2bx+ay=0联立，可得交点M，点M在以线段F1F2为直径的圆上，2+2=c2，b=a，c=a，e=应选：C12假设函数fx=lnx+xb2bR在区间，2上存在单调递增区间，那么实数b的取值范围是A，B，C，D，+【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】利用导函数得到不等式恒成立，然后求解b的范围【解答】解：函数fx在区间，2上存在单调增区间，函数fx在区间，2上存在子区间使得不等

15、式fx0成立fx= +2xb=，设hx=2x22bx+1，那么h20或h0，即84b+10或b+10，得b应选：B二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分13如果实数x，y满足条件，那么z=的最大值为2【考点】简单线性规划【分析】作出平面区域，那么表示过原点和平面区域内一点的直线斜率【解答】解：作出平面区域如下图：由平面区域可知当直线y=kx过A点时，斜率最大解方程组得得A1，2z的最大值为=2故答案为：214在ABC中，A=，b2sinC=sinB，那么ABC的面积为2【考点】正弦定理【分析】利用正弦定理将角化边得到bc=4，代入面积公式即可求出【解答】解：b2sinC=sinB，b2

16、c=4b，即bc=4SABC=bcsinA=2故答案为：215设函数fx=，那么不等式f2x2fx的解集为，1【考点】分段函数的应用【分析】由题意y1=x3+1在0，+上单调递增，y2=1在，0上是常数，利用f2x2fx，可得2x2x0或2x20且x0，解不等式可求【解答】解：y1=x3+1在0，+上单调递增，y2=1在，0上是常数，由分段函数的性质可知，f2x2fx2x2x0或2x20且x0解可得，0x1或x0，x1故答案为：，116在三棱锥A1ABC中，AA1底面ABC，BCA1B，AA1=AC=2，那么该三棱锥的外接球的外表积为8【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和外表积【分析】将三棱锥补

17、成长方体，它的对角线是其外接球的直径，从而即可求得该三棱锥的外接球的外表积【解答】解：由三棱锥A1ABC中，AA1底面ABC，BCA1B，将三棱锥补成长方体，它的对角线是其外接球的直径，那么三棱锥外接球的直径为2，半径为，外接球的外表积S=4R2=8故答案为：8三、解答题本大题共5小题，共70分。解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤17在等差数列an中，a1=3，其中前n项和为Sn等比数列bn的各项均为正数，b1=1，且b2+S3=21，b3=S21求an与Bn2设数列an的前n项和为Tn，求使不等式4TnSn成立的最小正整数n的值【考点】数列的求和【分析】1根据等差数列和等比数列的通项公式

18、，b2+S3=21，b3=S2，联立解方程组，解得q和d，2分别写出等比数列和等差数列的前n项和Sn、Tn，S15=360，4TnS15，解得n5【解答】解：1设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q，解得：q=3或q=舍去，d=3an=3n，；2由1得：Tn=，S15=360，4TnS15得3n181，解得n5，使得不等式4TnS15成立的最小正整数n的数值为518为了解某天甲乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲乙两厂生产的产品中分别抽取14件和15件，测量产品中的微量元素x，y的含量单位：毫克当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品甲厂该天生产的产品共有9

19、8件，如表是乙厂的5件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y75807770811求乙厂该天生产的产品数量；2用上述样本数据估计乙厂该天生产的优等品的数量；3从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率【考点】列举法计算根本领件数及事件发生的概率【分析】1利用频率=，能求出乙厂该天生产的产品总数2由频率=，能求出样品中优等品的概率和乙厂该天生产的优等品的数量3从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求出根本领件总数，乙厂的5件产品中优等品有两件，由此利用对立事件概率计算公式能求出抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率【解答】解：

20、1乙厂该天生产的产品总数为：5=352样品中优等品的概率为，乙厂该天生产的优等品的数量为35=143从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，根本领件总数n=，当产品中的微量元素x，y满足x175且y75时，该产品为优等品，乙厂的5件产品中优等品有两件，抽取的2件产品中优等品至少有1件的概率：p=1=19在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，且PA=AD=2，E，F分别是棱AD，PC的中点1求证：EF平面PAB；2求证：EF平面PBC【考点】直线与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定【分析】1设G是PB的中点，连接AG，GF，由条件能推导出AEFG是平行四边形，从而能够

21、证明EF平面PAB2由条件推导出AGPB，PABC，BCAB，从而得到BCAG，由此能够证明EF平面PBC【解答】本小题总分值7分证明：1设G是PB的中点，连接AG，GF，E，F分别是AD，PC的中点，GFBC，AEBC，GFAE，AEFG是平行四边形，EFAG，EF平面PAB，AG平面PAB，EF平面PAB2PA=AB，AGPB，PA面ABCD，PABC，又BCAB，BC平面PAB，BCAG，PB与BC相交，AG平面PBC，EFAG，EF平面PBC20平面直角坐标系xoy中，直线xy+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为1求圆O的方程；2假设直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，

22、当DE长最小时，求直线l的方程；3设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，假设直线MP、NP分别交于x轴于点m，0和n，0，问mn是否为定值？假设是，请求出该定值；假设不是，请说明理由【考点】直线和圆的方程的应用；直线与圆相交的性质【分析】1求出O点到直线xy+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；2设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及根本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；3设Mx1，y1，Px2，y2，那么Nx1，y1，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值【解答】解：1因为O点到直线xy+1=0的距离为，所以圆O的半径为，故圆O的方程为x

23、2+y2=2 2设直线l的方程为，即bx+ayab=0，由直线l与圆O相切，得，即，当且仅当a=b=2时取等号，此时直线l的方程为x+y2=03设Mx1，y1，Px2，y2，那么Nx1，y1，直线MP与x轴交点，直线NP与x轴交点，=2，故mn为定值2 21y=4x3+3tx26t2x+t1，xR，tR1当x为常数，t在区间变化时，求y的最小值为x；2证明：对任意的t0，+，总存在x00，1，使得y=0【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的零点；利用导数研究函数的单调性【分析】1当x为常数时，设ft=4x3+3tx26t2x+t1=6xt2+3x2+1t+4x31，是关于y的二次函数利用

24、二次函数图象与性质求解2设gx=4x3+3tx26t2x+t1，按照零点存在性定理去判断可利用导数计算函数的极值，有关端点值，作出证明【解答】解：1当x为常数时，设ft=4x3+3tx26t2x+t1=6xt2+3x2+1t+4x31，ft=12xt+3x2+1当x0时，由知ft0，ft在上递增，其最小值x=f0=4x31； 当x0时，ft的图象是开口向下的抛物线，其对称轴为直线；，假设，即，那么ft在上的最小值为假设，即或x1，那么ft在上的最小值为x=f0=4x31综合，得2证明：设gx=4x3+3tx26t2x+t1那么由t0，+，当x在区间0，+内变化时，gx，gx取值的变化情况如下表

25、：当，即t2时，gx在区间0，1内单调递减，g0=t10，g1=6t2+4t+3=2t3t2+3462+30所以对任意t2，+，gx在区间0，1内均存在零点，即存在x00，1，使得gx0=0当，即0t2时，gx在内单调递减，在内单调递增，假设t0，1，那么，g1=6t2+4t+36t+4t+3=2t+310，所以gx在内存在零点； 假设t1，2，那么g0=t10，所以gx在内存在零点所以，对任意t0，2，gx在区间0，1内均存在零点，即存在x00，1，使得gx0=0综合，对任意的t0，+，总存在x00，1，使得y=0请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，那么按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如下图，点P是圆O直径AB延长线上的一点，PC切圆O于点C，直线PQ平分APC，分别交AC、BC于点M、N求证：1CMN为等腰三角形；2PBCM=PCBN【考点】与圆有关的比例线段【分析】1根据题意，证明CNM=CMN，即可证明CMN是等腰三角形；2利用对应角相等证明PNBPMC，即可证明PBCM=PCB