概率统计课件：1-4 全概率公式和贝叶斯公式

1、 全概率公式和贝叶斯公式主要用于全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率计算比较复杂事件的概率, 它们实质上它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用是加法公式和乘法公式的综合运用. 综合运用综合运用加法公式加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥互斥乘法公式乘法公式P(AB)= P(A)P(B|A)P(A)01.4 全概率公式和贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式一一. 全概率公式全概率公式例例1 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红红3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人

2、从三箱中任取一箱，从某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，求取得红球的概率中任意摸出一球，求取得红球的概率.解解:记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, B =取得红球取得红球即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B两两互斥两两互斥B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B)运用加法公式得将此例中所用的方法推广到一般的情形，就将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的全概率公式得到在概率计算中常用的全概率公式.对每一项运用乘法公式31iiiABPAPBP)()(

3、)(代入数据计算得：代入数据计算得：P(B)=8/15 设设S为随机试验的样本空间，为随机试验的样本空间，A1,A2,An是是两两互斥的事件，且有两两互斥的事件，且有P(Ai)0，i =1,2,n, niiiABPAPBP1)()()(全概率公式全概率公式称满足上述条件的称满足上述条件的A1,A2,An为为完备事件组完备事件组.,1SAnii则对任一事件则对任一事件B，有，有证明niiBABSB1iiiABPAPBAP niiiniiABPAPBAPBP11两两互不相容，nAAA,21也两两互不相容；得BABABAn,21加法公式加法公式乘法公式乘法公式 某一事件某一事件B的发生有各种可能的原

4、因的发生有各种可能的原因(i=1,2,n)，如果，如果B是由原因是由原因Ai所引起，则所引起，则B发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致B发生，故发生，故B发生的概率是各原因引起发生的概率是各原因引起B发生概发生概率的总和，即率的总和，即全概率公式全概率公式.P(BAi)=P(Ai)P(B |Ai)全概率公式全概率公式我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解全概率公式的关键：全概率公式的关键：数学模型数学模型完备事件完备事件组组.%2%,4%,5%40%,35%,25. 2，求它是次品的概率从这批产品中任取一件，次品率分别为别占总数的分产同一种产品，其产

5、量甲、乙、丙三个车间生例B表示产品为次品321 , ,AAA分别表示产品由甲、乙、丙车间生产完备事件组完备事件组0345. 0)|()()|()()|()()(332211ABPAPABPAPABPAPBP全概率公式全概率公式 例例 3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三三人击中的概率分别为人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7 .飞飞 机被一人机被一人击中而击落的概率为击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的概被两人击中而击落的概率为率为0.6,若三人都击中若三人都击中,飞机必定被击落飞机必定被击落, 求飞机求飞机被击落的概率被击落的概率.设设B=飞机

6、被击落飞机被击落 Ai=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式 P(B)=P(A1)P(B |A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)依题意，依题意，P(B|A1)=0.2, P(B|A2)=0.6, P(B|A3)=1 为求为求P(Ai ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 )()(3213213211HHHHHHHHHPAP)()(3213213212HHHHHHHHHPAP)()(3213HHHPAPP(A1)=0.36; P(A2)=0.41; P(A3)=0.14.P(B)=P(A1)P(B |A

7、1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B |A3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.加法公式独立性该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大?实际中还有下面一类问题实际中还有下面一类问题“已知结果求原因已知结果求原因” 这一类问题在实际中更为常见，它所求这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意某人从任一箱中任意摸出一球摸出一球,发现是红球发现是红球,求求该球是

8、取自该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问: 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装号箱装有有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球从中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取求该球是取自自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?)()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B).3111kkkABPAPABPAP)()()

9、|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式条件概率公式条件概率公式二二. 贝叶斯公式贝叶斯公式njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯(Bayes)给出给出. 它是在观察到事件它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找已发生的条件下，寻找导致导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率. 设设A1,A2,An是完备事件组，则对任一事是完备事件组，则对任一事件件B，有，有ni, 21 贝叶斯公式在实际中有很多应用，它贝叶斯公式在实际中有很多

10、应用，它可以帮助人们确定某结可以帮助人们确定某结果发生的最可能原因果发生的最可能原因.)(BAPi-后验概率在B已经发生的前提下， 再对导致 B 发生的原因的可能性大小重新加以修正。 P( Ai ) -先验概率它是由以往的经验得到的，是事件 B的原因。大？个车间生产的可能性较品由哪，发现是次品，问这产今随机地从中任取一件，次品率分别为别占总数的分产同一种产品，其产量甲、乙、丙三个车间生例%2%,4%,5%40%,35%,25. 2该产品由乙车间生产的可能性最大。贝叶斯公式贝叶斯公式0345. 0)(BP362. 0)()()()|(111BPABPAPBAP406. 0)()()()|(222

11、BPABPAPBAP232. 0)()()()|(333BPABPAPBAP例例4 用甲胎蛋白检测法用甲胎蛋白检测法(AFP)诊断肝病，已知确诊断肝病，已知确实患肝病者被诊断为肝病的概率为实患肝病者被诊断为肝病的概率为0.95，未患肝病未患肝病者被误诊为肝病的概率为者被误诊为肝病的概率为0.02，假设人群中肝病的假设人群中肝病的发病率为发病率为0.0004，现在有一个人被诊断为患有肝病，现在有一个人被诊断为患有肝病，求此人确实为肝病患者的概率。求此人确实为肝病患者的概率。设设 A=肝病患者肝病患者，B=被诊断为患有肝病被诊断为患有肝病，由由贝叶斯公式贝叶斯公式， )|()()|()()|()(

12、)|(ABPAPABPAPABPAPBAP.0187. 002. 0)0004. 01 (95. 00004. 095. 00004. 0这一讲我们介绍了这一讲我们介绍了全概率公式全概率公式贝叶斯公式贝叶斯公式它们是加法公式和乘法公式的综合运用它们是加法公式和乘法公式的综合运用,同学们可通过进一步的练习去掌握它们同学们可通过进一步的练习去掌握它们.值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公值得一提的是，后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了一整套统计推断方法，叫式的思想发展了一整套统计推断方法，叫作作“贝叶斯统计贝叶斯统计”. 可见贝叶斯公式的影可见贝叶斯公式的影响响 .概率统计第一章习题课习题一.)

13、2() 1 (:13. 4有同号的概率；没有同号的概率求取出的三张牌中，中，有放回抽三次张黑桃从一副扑克牌的313111213)(AP)(1)(APAP3131112131不定任何报的。至少订一种报的；恰好订两种报的；只订一种报的；报的；与只订报的；只订求下列概率：报的占与同时订报的占与同时订报的占与同时订报的占与同时订报的占订报的占订报的占订在居民中三种报纸某城市有)6()5()4()3()2() 1 (%,3,%,5%,8%,01%,30%,35%,45,.,. 5BAACBACBCABACBACBA3 . 0)()()()()(ABCPACPABPAPCBAP07. 0)()()(ABC

14、PABPCABP73. 0)()()(CBAPCBAPCBAP14. 0)()()(CBAPBCAPCABP9 . 0)()()()()()()()(ABCPBCPACPABPCPBPAPCBAP1 . 0)(1)(CBAPCBAP的概率。中间号码为的概率；最大号码为的概率；最小号码为个，求：号球，任取袋子里有5)3(5)2(5) 1 (3101. 612131025CC20131024CC613101514CCC在两边。第一卷或第五卷不出现两边；第一卷或第五卷出现在两边；第一卷及第五卷出现在第一卷出现在两边；架上，求下列概率：五卷文集任意摆放在书)4()3()2() 1 (. 7521014

15、521074524242)()()()(ABPBPAPBAP或与第二问互为逆事件109形的概率。求恰好能构成一个三角，的木棒，任意折成三段有一根长为l. 84/1)(:.2,20 ,20| ),()()(: ,0 ,0 ,0),(,APlyxllylxyxGxyxlyyyxlxyxyxlGAlyxlylxyxyxlyx相应的几何概率即的原则两边之和大于第三边应满足相应的区域三段构成三角形而随机事件和设折得的三段长度为ll9.某种植物有三种基因型：AA ， Aa ， aa.每一基因的数量分别为200，600，50.随机抽取一个体，问(1)其基因型为AA的概率是多少？(2)其基因型为AA或aa的概

16、率是多少？174850200)(AP17585050850200)( BAP11. 100件产品中有件产品中有10件次品，用不放回的方式件次品，用不放回的方式取产品，每次取产品，每次1件，连取三次，求第三次才取得件，连取三次，求第三次才取得次品的概率。次品的概率。 213121321)(AAAPAAPAPAAAP0826. 09810998910090解解 令 Ai 为第 i 次取到正品13. 灌装注射液需要四道工序，各道工序的废灌装注射液需要四道工序，各道工序的废品率分别为品率分别为0.5% ，0.2%，0.1%，0.8%，假假设各道工序是否合格是独立的，求经四道工设各道工序是否合格是独立的

17、，求经四道工序全部合格的概率。序全部合格的概率。记记 Ai=第第 i 道工序合格道工序合格 i=1，2，3，4利用独立性)(4321AAAAP)()()()(4321APAPAPAP)(1)(1)(1)(1 4321APAPAPAP984. 014. 为了提高抗菌素的产量和质量，需要对菌种进行培养，如果某菌种的优良变异率p为0.03，试问从一大批菌株中，采取多少只来培养，才能以 95 % 的把握从中至少可以选到一只优良菌株？设需采取n只来培养 ，Ai 表示出现 i只优良菌株95. 097. 01)(11)(1nniniiAPAP99n率。求两个球颜色相同的概一个球，只黑球。从两袋中各取只白球、

18、只红球、只黑球，乙袋中有只白球、只红球、甲袋中有91061537.15独立性)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(P)(PP(A).332211332211BABABABABABAiBiAii种颜色球乙中第种颜色球，甲中第厂生产的概率是多少？箱是甲的是正品，问所取的那正品的概率；假如取到求取得再从中任取一件产品，从这十箱中任取一箱，产品的次品率依次为甲、乙、丙厂生产的该生产的，且已知箱依次是甲、乙、丙厂箱，箱，的知其中箱同样规格的产品，已设一个仓库里有.201,151,10123510.16教材例题类似31iiiABPAPBP)()()()|(1BAP3111)()()|()(kkkA

19、BPAPABPAP.3,3912.17球的概率求第一次取出的都是新二次取出的都是新球，若已知第是新球的概率个，求第二次取出的都中任取次比赛时再从盒用后仍放回盒中，第二个从盒中任取时个是新的，第一次比赛个乒乓球，其中盒中有31239312339)|(,)(CCABPCCCAPiiiii146. 0)|()()(30iiiABPAPBP设B表示第二次比赛取到3只新球 表示第1次比赛取到i只新球iA)()|()()|(333BPABPAPBAP18. 甲、乙两射手击中目标的概率分别为0.8与0.9 ，如果同时独立地射击一次,求下列概率：(1) 两人都命中；(2) 恰有一人命中；(3) 至少一人命中；

20、(4) 两人都不中。独立性)()()(BPAPABP)()()()()()()(BPAPBPAPBAPBAPBABAP)(1)(1 )()()(BPAPBPAPBAP)(1)(1 1)(1)(BPAPBAPBAP19. 某集成电路能用2000小时的概率为0.92, 能用3000小时的概率为0.85 , 求已用了2000小时的集成电路能用到3000小时的概率。解解 令 A集成电路能用到2000小时 B集成电路能用到3000小时所求概率为)()(APABPABPAB9239. 092. 085. 0)()(APBP)2 . 0()8 . 0()8 . 0()2() 3(223333CPP20. 日

21、光灯使用寿命在3000小时以上的概率为0.8,求3只日光灯在使用3000小时后,(1)都没有坏的概率；(2)坏了一个的概率；(3)最多只有一只损坏的概率.3重伯努利试验)2 . 0()8 . 0()2(2233CP33)8 . 0() 3(P21.某单位有12台电脑，各台电脑是否被使用是独立的，每台电脑被使用的概率为0.7，问在同一时刻有9台或更多电脑被使用的概率是多少? 在同一时刻观察12台电脑，它们工作与否是相互独立的，故可视为12重伯努里试验)12()11()10() 9 (12121212PPPP12912123 . 07 . 0kkkkC492. 022.一个人的血型为O, A, B

22、, AB型的概率分别为0. 46, 0. 40, 0. 11和0. 03. 现任选五人，求下列事件的概率：(1) 恰有两人为O型；(2) 三人为O型，两人为A型；(3) 没有一人为AB型. 32255)54. 0()46. 0()2(CP2335)4 . 0()46. 0(C5)97. 0(23.口袋中a只黑球，b只白球 随机地一只一只摸，摸后不放回 求第k次摸得黑球的概率 解法1：把球编号，按摸的次序把球排成一列，样本点总数就是a +b个球的全排列数 (a +b)! 所考察的事件相当于在第k 位放黑球，共有a种放法，每种放法又对应其它a+b1个球的(a+b1)! 种放法, 故该事件包含的样本点数为a(a